平面向量及其应用专项训练-2025届高三数学一轮复习

平面向量及其应用专项训练-高三数学上学期一轮复习检测卷 一、单选题 1．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（    ） A．36 B． C．32 D． 2．已知向量，，，则向量在向量上的投影向量的模长为（    ） A．6 B．3 C．2 D． 3．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在直角坐标系中，向量，其中，若，三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 5．如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 6．已知平面向量，，满足，，若，共线，且，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 8．已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知平面内两个给定的向量，满足，，则使得的可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 10．已知D，E分别是的边BC，AB的中点，且AD，CE交于点O，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知向量，满足，，，则 ． 13．在中，点O在所在平面内，且，，则外接圆的面积为 ． 14．平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ． 四、解答题 15．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，． (1)求A； (2)若，，求△ABC的面积． 16．如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，． (1)求b边的长度； (2)求的面积； (3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 17．设平面向量，满足，设函数． (1)若函数的最大值为1，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，若使得，求证：． 18．已知向量（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），函数． （1）若，，求的值∶ （2）若，，，，求2a+β的值．． 19．在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．    (1)求椭圆C的标准方程； (2)若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由向量数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】设与的夹角为，则， . 故选：B 2．C 【分析】由条件结合向量的数量积的性质可求，再根据投影向量，向量的模的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，又， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的模的值为， 故选：C. 3．A 【分析】根据投影向量公式可求向量与夹角余弦值. 【详解】在上的投影向量为，故， 而，故，故， 故即， 故选：A. 4．C 【分析】先由题意求得，再利用向量共线的坐标表示列式计算即可得解. 【详解】因为， 所以，， 因为，，三点共线，则共线， 所以，则. 故选：C. 5．B 【分析】过点作，用表示线段长，结合给定图形借助向量加法、数量积的运算律及定义计算即得. 【详解】过点作于，令，由，得， ，由分别为的中点，得，， 所以. 故选：B 6．B 【分析】由与共线，分共线同向和共线反向讨论，并结合向量模和数量积运算求解. 【详解】因为与共线，，， 当与共线同向时，则， 所以， ，这与矛盾， 所以与共线反向时，则， ， ，即，解得， . 故选：B. 7．B 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 8．B 【分析】根据平面向量的线性运算，先求得，进而求得. 【详解】由题意，得， 所以，所以， 所以，所以， 解得， 所以. 故选：B    9．ABC 【分析】由给定条件用坐标表示、，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数即可判断作答. 【详解】因平面向量，满足，，在平面直角坐标系中，令，设， 由可得：，表示以点为圆心，1为半径的圆， 由得：， 整理得：，表示一条直线l， 依题意，同时满足直线l的方程和圆C的方程，因此直线l与圆C的公共点个数，即是向量的个数， 点C到直线l的距离 ， 显然，当时，，直线l与圆C相交，有两个公共点，向量有2个，C满足； 当时，，直线l与圆C相切，有1个公共点，向量有1个，B满足； 当时，，直线l与圆C相离，没有公共点，不存在向量满足条件，即有0个，A满足. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 10．BCD 【分析】根据平面向量的线性运算、向量的模的知识，依据题意，逐项分析即可. 【详解】由题知，点O是的重心．如图，连接BO． 对于A，当且仅当是等边三角形时，的重心与外心重合，此时满足，故A不一定成立； 对于B，因为E为边AB的中点，且， 所以，故B成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D成立． 故选：BCD． 11．ABC 【分析】连接AG并延长交BC于点M，由三角形重心结合向量运算探求m，n的关系， 再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答. 【详解】连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且， 又D，G，E三点共线，即，则有， 而，，又，于是得， 而与不共线，因此，，，A正确； 边AD上的高为，边AB上的高为， 则，B正确； 由A可知，，当且仅当时取“=”，则有， 即，而，于是得，C正确，D错误. 故选：ABC 12． 【分析】利用平面向量数量积的运算律求解. 【详解】因为， 所以, 又因为，，所以， 所以， 所以， 故答案为: . 13． 【分析】由题意判断出O为的重心，再由推出，即可得为正三角形，求出其边长，利用正弦定理求得外接圆半径，即可得答案. 【详解】由题意知，即，即 设D为AB边的中点，则，故， 则共线，即CD为AB边上的中线，故O为的重心， 又，则， 即，即，即， 故，结合可知为正三角形， 则由可得， 设的外接圆半径为R，则， 故外接圆的面积为， 故答案为： 14． 【分析】根据题意得到当时，取得最大值，设，，得到或，根据题意得到，，根据余弦和差公式求出答案. 【详解】当时，取得最大值， 又，如图所示， ， 设，， 则， 所以，即，解得， 故，或， ， 或， 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理角化边得到，再借助余弦定理即可求出A； （2）先利用余弦定理得到，再化简为，即可求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）∵，，， ∴． ∴，即． ∴． ∵， ∴． （2） 在△ABD中，由，和余弦定理，得 ． ∵D是AC的中点， ∴ ∴，化简得，即． ∵， ∴，解得． ∴． ∴△ABC的面积为． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可； （2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出，进而求出，再根据三角形面积公式求出面积即可； （3）首先设，，（），根据三点共线公式得到， 再根据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可． 【详解】（1）由已知条件可知： 在中，由正弦定理 得 在中，由余弦定理 得 ，又 （2）设 为BC边上中线 则 ① 或 由①，得 （3）设，，（） ， 根据三点共线公式，得 （，为∠BAC） 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力． 17．(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）由得是最大值，也是极大值，从而有，由此求得值，并验证是最大值点即得； （2）由（1）得函数的单调性，因此题中可不妨设，而，求出函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式，并证明时，，从而利用对称性、不等关系，及单调性得出证明． 【详解】（1）由题意，，所以是最大值点也是极大值点， ，则得， 时，， 时，，递增，时，，递减， 所以是极大值也是最大值，满足题意． 所以； （2）由（1），在上递增，在上递减， 时，，而， 若使得，不妨设，， 时，，它的图象关于轴对称的曲线的函数式为（）， 设是上点，则是上的点，，即， 令， 所以，时，，所以递增， 所以，所以， 所以， 又，所以，即． 18．（1）；（2）． 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示求解出的解析式，再运用三角函数的关系求解即可； （2）根据三角函数和差公式，由已知的三角函数值求解角度即可. 【详解】解:（1） 由，可得，由，得，， 则； （2）由可得，由可得， 则， 由，，可得cosβ>0， 由，可得． 19．(1)； (2). 【分析】(1)根据通径的性质即可求解； (2)取，则点M在直线上，且点M为线段的中点．得，设AB方程，与椭圆方程联立，表示出并求其范围即可. 【详解】（1）由右焦点知，， 当垂直于x轴时，最小，其最小值为． 又∵，解得，， ∴椭圆C的标准方程为． （2）解法一：取， 则点M在直线上，且点M为线段的中点． ∴．    当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，； 当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为． 则点O到直线的距离， 联立方程，消去y整理得， 则，，， ， ∴， 令，则， 此时． 综上可得，面积的取值范围为． 解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，， 由，得点P的坐标为， 则点P到直线的距离为1， 又，∴的面积为， 当不垂直于x轴时，设其斜率为k ， 则直线的方程为， 设P，A，B的坐标分别为，，， 则，， 由，得， ， 即． 故点P在直线上，且此直线平行于直线．    则点P到直线的距离， 联立方程，消去y整理得， 则，， ， ∴， 令，则， 此时． 综上可得，面积的取值范围为． 解法三：取， 则点M在直线上，且点M为线段的中点． ∴， 设直线的方程为，则点O到直线的距离． 联立方程，消去x整理得， 则，，， ， ∴， ∴， 即面积的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$