精品解析：福建省厦门市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题（三）

福建省厦门市2023-2024学年初三数学上学期期末模拟试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 2. 抛物线的对称轴是直线（　　） A. B. C. D. 3. 如图，点均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点绕点旋转，其对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 林业局为考察一种树苗移植成活率，展开了大量调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移3个单位，向下移动1个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 7. 一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：点与的距离为；；；；．其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 小强的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的．小强任意从口袋里取出两颗糖，问其中至少一颗是牛奶味糖的概率是______． 10. 已知是方程的一个根，则代数式的值是_____． 11. 如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为________． 12. 一个圆锥高为，底面圆的半径为2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为______． 13. 下表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果： 投篮次数 48 82 124 176 230 287 328 投中次数 33 59 83 118 159 195 223 投中频率 根据上表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为________．（结果精确到） 14. 如图，池中心竖直水管顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为_____________米． 15. 如图，在中，，，连接，将绕点A逆时针旋转至，点在的延长线上，若，则图中阴影部分的面积为________________________ 16. 如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 已知，如图，在平行四边形中，相交于O点，点E、F分别为的中点，试证明：． 19. 先化简，再求值：，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a代入求值． 20. 某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． （1）求与的关系式； （2）当时，求今年的总产值为多少万元？ 21. 为了刺激经济，扩大内需，改善民生，长治市政府开展了“晋情消费，海购长治”市级消费券发放活动．本次市级数字消费券发放活动将于2022年5月27日至年底开展，通过“云闪付APP”和“建行生活APP”两个平台分阶段发放数字消费券，总金额达5000万元，整体发放工作到年底前结束．主要包括住宿餐饮、商超百货、家电、成品油、汽车五种消费券．若每人只能预约一种消费券，在首轮发放活动结束后，为了了解本小区居民的预约情况，小明随机发放问卷进行调查，并根据收集的数据，绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整）． 请根据统计图解答下列问题： （1）小明本次共调查了__________名居民，在扇形统计图中，表示成品油消费券的扇形圆心角度数为__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）若小明和小刚在此次活动中各自领取了一张消费券，他们希望领到相同消费券后一起去消费，利用树状图或表格求他们能达成心愿的概率． 22. 如图，内接于． （1）作的高（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的大小． 23. 如图，点D是内一点，把绕点B顺时针方向旋转得到，若． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的度数． 24. 如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”． （1）如图2，是⊙O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①是弧的“幸运角”吗？请说明理由； ②设弧度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数； （2）如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长． 25. 如图，已知抛物线交轴于点、两点，交轴于点，连接． （1）如图1，求抛物线解析式； （2）如图，点为线段上一动点，连接，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，点的纵坐标为，连接并延长至点，连接，交横轴于点，点为轴负半轴上点左侧一点，连接并延长交抛物线于点，当点为线段中点，且时，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省厦门市2023-2024学年初三数学上学期期末模拟试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（为圆半径，为点到圆心距离），当，点在圆内；当，点在圆内；当，点在圆上；据此作答即可． 【详解】解：∵的半径为4，， ∴ ∴点P在内 故选：A 2. 抛物线的对称轴是直线（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，把解析式配成顶点式，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3. 如图，点均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，理解并掌握圆周角定理是解题关键．圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，直接利用圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，将点绕点旋转，其对应点的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，中心对称等知识，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：点绕点O旋转，得到的对应点的坐标是 ， 故选：D． 5. 林业局为考察一种树苗移植的成活率，展开了大量调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中数据可以看出这种树苗移植成活的频率在上下浮动，由此频率估计出概率即可． 【详解】解：根据图中数据可以看出这种树苗移植成活的频率在上下浮动． 故选：B． 6. 将抛物线向左平移3个单位，向下移动1个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，向下移动1个单位，所得抛物线的解析式是． 故选：C． 7. 一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤进行解答即可． 【详解】解： ， 故选：C． 8. 如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：点与距离为；；；；．其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形、勾股定理的逆定理，由题意可得，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形，可判断，由，可判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故正确； 过点作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴，故错误； 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故正确； 将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点， 易知是边长为的等边三角形，是边长为的直角三角形， ∴，故正确； ∴①②④⑤正确， 故选：． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 小强的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的．小强任意从口袋里取出两颗糖，问其中至少一颗是牛奶味糖的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及至少一颗是牛奶味糖的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将一颗巧克力味的糖记为A，一颗果味的糖记为B，两颗牛奶味的糖分别记为C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中至少一颗是牛奶味糖的结果有：，，共10种， ∴至少一颗是牛奶味糖的概率为． 故答案为：． 10. 已知是方程的一个根，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，把代入方程得，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质，根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：． 12. 一个圆锥的高为，底面圆的半径为2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是：先根据勾股定理求出母线长为6，设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：母线长为， 设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是， 根据题意得， 解得， 即圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是． 故答案为：． 13. 下表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果： 投篮次数 48 82 124 176 230 287 328 投中次数 33 59 83 118 159 195 223 投中频率 根据上表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为________．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．解题的关键是注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【详解】解∶由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为． 故答案为∶ ． 14. 如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为：，求解即可． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， 设抛物线解析式为： 将代入可得：，解得 即 将代入得，， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得抛物线的解析式． 15. 如图，在中，，，连接，将绕点A逆时针旋转至，点在的延长线上，若，则图中阴影部分的面积为________________________ 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转可得，，根据，，可得是等腰直角三角形，继而可得, ，最后根据阴影部分的面积´计算可得． 【详解】解：如图，以点A为圆心，长为半径画交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知：，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是求由旋转形成的图形的面积，观察图形通过割补法可知阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积，确定扇形的圆心角度数是解题关键，确定扇形半径是解决本题的难点． 16. 如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，解得或，即；当时，，即， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 周长的最小值就是的最小值， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，， 周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18. 已知，如图，在平行四边形中，相交于O点，点E、F分别为的中点，试证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，根据平行四边形性质即可证明结论． 【详解】证明：是平行四边形中的对角线，O是交点， ． 19. 先化简，再求值：，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a代入求值． 【答案】；时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， 把代入得：原式． 20. 某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． （1）求与的关系式； （2）当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】（1） （2）当时，今年的总产值为万元． 【解析】 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【小问1详解】 依题意得：； 【小问2详解】 当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 21. 为了刺激经济，扩大内需，改善民生，长治市政府开展了“晋情消费，海购长治”市级消费券发放活动．本次市级数字消费券发放活动将于2022年5月27日至年底开展，通过“云闪付APP”和“建行生活APP”两个平台分阶段发放数字消费券，总金额达5000万元，整体发放工作到年底前结束．主要包括住宿餐饮、商超百货、家电、成品油、汽车五种消费券．若每人只能预约一种消费券，在首轮发放活动结束后，为了了解本小区居民的预约情况，小明随机发放问卷进行调查，并根据收集的数据，绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整）． 请根据统计图解答下列问题： （1）小明本次共调查了__________名居民，在扇形统计图中，表示成品油消费券的扇形圆心角度数为__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）若小明和小刚在此次活动中各自领取了一张消费券，他们希望领到相同消费券后一起去消费，利用树状图或表格求他们能达成心愿的概率． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用住宿餐饮数量除以对应的百分比可得到共调查的居民数，用乘以成品油消费券的百分比即可得到成品油消费券的扇形圆心角度数； （2）求出商超百货消费券的数量、成品油消费券的数量、未领的数量，再补全条形统计图即可； （3）住宿餐饮、商超百货、家电、成品油、汽车五种消费券分别记为，用列表法找出所有情况和满足要求的情况，根据概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 即小明本次共调查了名居民， 在扇形统计图中，表示成品油消费券的扇形圆心角度数为， 故答案为：， 【小问2详解】 商超百货消费券的数量为（张）， 成品油消费券的数量为（张）， 未领的数量为（张）， 条形统计图补充完整如下： 【小问3详解】 住宿餐饮、商超百货、家电、成品油、汽车五种消费券分别记为，列表如下： A B C D E A AA BA CA DA EA B AB BB CB DB EB C AC BC CC DC EC D AD BD CD DD ED E AE BE CE DE EE 由表格可知，共有情况数25种，领到相同消费券共有5种情况，故他们能达成心愿的概率为． 【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、扇形统计图和条形统计图的信息关联等知识，弄清题意，准确计算是解题的关键． 22. 如图，内接于． （1）作的高（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据尺规作图的基本步骤画图即可． (2) 连接利用直角三角形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 ）如图所示， 即为所求． 【小问2详解】 连接， ∵为的高， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 23. 如图，点D是内一点，把绕点B顺时针方向旋转得到，若． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的度数． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识， （1）根据旋转的性质，证出，根据全等三角形的性质，得到，再结合绕点B顺时针方向旋转得到为等边三角形，再根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形． （2）根据，得到，求出的度数即可． 【小问1详解】 解：绕点B顺时针方向旋转得到， ，， 和均为等边三角形， ，， 又， ， 为直角三角形； 【小问2详解】 为直角三角形， ， 为等边三角形， ， ， 即． 24. 如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”． （1）如图2，是⊙O直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①是弧的“幸运角”吗？请说明理由； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数； （2）如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长． 【答案】（1）①是弧的“幸运角”，理由见解析；②用含n的式子表示弧的“幸运角”度数为n； （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据是⊙O的直径，弦可得，从而得到， 结合等腰三角形底边上三线合一即可得到答案；②根据圆周角定理可得，，结合可得，结合内外交关系即可得到答案； （2）连接，，由（1）可得，，即可得到，，设，则有，根据“幸运角”为结合勾股定理即可得到答案； 【小问1详解】 解：①∵是⊙O的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是弧的“幸运角”； ②∵弧的度数为n， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的“幸运角”度数为n； 【小问2详解】 解：连接，， ∵弧的“幸运角”为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， 解得：，， ∴或； 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质，解题的关键是作辅助线． 25. 如图，已知抛物线交轴于点、两点，交轴于点，连接． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图，点为线段上一动点，连接，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，点的纵坐标为，连接并延长至点，连接，交横轴于点，点为轴负半轴上点左侧一点，连接并延长交抛物线于点，当点为线段中点，且时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作于点，，先求得直线的解析式，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）过点作轴于点，过点作于点，，把点的纵坐标代入直线的解析式中得到，分别证明，，，证得为等腰直角三角形，进而得到，，过作于点，则，设，则，，进而求得点坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，然后与抛物线的解析式联立方程组并求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于点、两点， 把、代入， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过点作于点， 对于抛物线， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵、， ∴， ∴； 【小问3详解】 过点作轴于点，过点作于点， ∴， 把点的纵坐标代入直线的解析式， 可得，则， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，又， ∴， ∴，则，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 过作于点，则， ∴， ∵ 可设，则，， ∴，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 直线KC的解析式与抛物线的解析式联立方程组为 ， 解得，（舍去）， ∴点的横坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握相关知识的联系与运用，并注意数形结合的思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$