5.2 函数的基本性质（第3课时）（六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

5.2函数的基本性质（第3课时） 题型1：判断函数的奇偶性 1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)，（其中常数）. 2．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)，； (4)，． 3．判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）. 4．下列命题正确的是（    ） A．奇函数的图象关于原点对称，且 B．偶函数的图象关于y轴对称，且 C．存在既是奇函数又是偶函数的函数 D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称 题型2：由函数的奇偶性求解析式 5．已知是定义在R上的奇函数，当时时， （1）求解析式 （2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明） 6．已知函数是上的奇函数,时,. 求：(1)的解析式； (2)的值域. 7．若函数在上是奇函数，则的解析式为． A． B． C． D． 8．为奇函数，为偶函数，且则（    ） A．3 B．-1 C．1 D．-3 9．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 题型3：由函数的奇偶性求参数 10．函数是上的奇函数，则 ． 11．设函数为奇函数，则 ． 12．已知函数，（且）是偶函数，则的值为 ． 13．若函数为偶函数，则实数 . 14．函数是奇函数，则满足条件的实数的最大值为 . 15．函数是定义在上的偶函数,则 ． 16．已知.若是奇函数，则实数a的值是 . 题型4：由函数的性质解不等式 17．已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为 . 18．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如下图，则不等式的解是 ． 19．定义在上的奇函数在上的图像如图所示，则不等式的解集是 . 20．若奇函数定义域为R，当时，，则是 函数（填写单调性）；不等式的解集是 ． 21．已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 22．已知是定义在上的奇函数，且它在区间上是严格增函数，若不等式成立，则实数的取值范围为 . 23．已知函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为 . 24．已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为 ． 题型5：抽象函数的奇偶性 25．已知是奇函数，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 26．已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，也是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 27．设函数对任意，都有，证明：为奇函数． 28．已知是奇函数，其定义域为R；而是偶函数，其定义域为D，判断函数的奇偶性，并说明理由. 29．已知函数满足，当时，成立，且． (1)求，并证明函数的奇偶性； (2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围． 30．若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 题型6：函数的奇偶性的综合应用 31．若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（　　） A． B． C． D． 32．已知为奇函数，其局部图象如图所示，那么（   ）    A． B． C． D． 33．已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（  ） A． B． C． D． 34．如果奇函数在区间上是减函数且最大值为5，那么函数在区间上是（  ） A．增函数且最小值为-5 B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5 D．减函数且最大值为-5 35．若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 36．已知函数是定义在上的偶函数，令，若实数b满足，则 37．已知，若实数且，则的最小值是 ． 38．已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 一、填空题 1．已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ． 2．设函数是定义在R上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 3．已知是偶函数，当时，，且对任意的时，都成立，则的取值范围是 ． 4．已知，若实数且，则的最小值为 . 5．，已知是定义在上的偶函数，且时，，则集合 . 6．已知记函数的最大值为，则的取值范围是 ． 二、单选题 7．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 三、解答题 9．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 10．定义在R上的函数，对任意x，都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为R上的增函数； (3)已知解关于x的不等式，. 11．已知函数的定义域为D，区间，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． (1)已知，判断函数是否为区间上的增长函数，并说明理由； (2)已知，设，且函数是区间上的增长函数，求实数n的取值范围； (3)如果函数是定义域为R的奇函数，当时，，且函数为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2函数的基本性质（第3课时） 题型1：判断函数的奇偶性 1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)，（其中常数）. 【答案】(1)偶函数. (2)奇函数． (3)既不是奇函数也不是偶函数． 【分析】（1）由奇偶函数的定义判断即可. （2）由奇偶函数的定义判断即可. （3）由奇偶函数的定义判断即可. 【解析】（1）是偶函数，理由如下： 由题意得的定义域为， 所以， 所以是偶函数． （2）是奇函数，理由如下： 由题意得的定义域为． 因为，都有， 且， 所以是奇函数． （3），（其中常数），既不是奇函数也不是偶函数，理由如下： 的定义域为，（其中常数）， 定义域不关于原点对称， 所以，（其中常数），既不是奇函数也不是偶函数． 2．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)，； (4)，． 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)奇函数，理由见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 (4)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着求出函数定义域为R，关于原点对称，再计算求出函数满足即可得解. （2）先判断函数奇偶性，接着求出函数定义域为，关于原点对称，再计算求出函数满足即可得解. （3）先判断函数奇偶性，接着由函数定义域为，不关于原点对称即可得解. （4）先判断函数奇偶性，接着函数定义域关于原点对称，再根据题意得即可得解. 【解析】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数是偶函数. （2）奇函数，理由如下： 由且， 所以函数定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 因为函数定义域为，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 因为函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 3．判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）奇函数 （2）既不是奇函数也不是偶函数 （3）既是奇函数又是偶函数 （4）奇函数 【分析】根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可. 【解析】（1）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数. （3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （4）函数的定义域为，定义域关于原点对称. ①当时，， 所以，，所以； ②当时，，所以； ③当时，，所以. 综上，可知函数为奇函数. 4．下列命题正确的是（    ） A．奇函数的图象关于原点对称，且 B．偶函数的图象关于y轴对称，且 C．存在既是奇函数又是偶函数的函数 D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义判断． 【解析】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如，A错误； 偶函数的图象关于y轴对称，但不一定等于0，如，B错误； 函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确； 奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误. 故选：C. 题型2：由函数的奇偶性求解析式 5．已知是定义在R上的奇函数，当时时， （1）求解析式 （2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明） 【答案】（1）；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：，单调递减区间为：，. 【分析】（1）根据奇函数的性质，当时，，当时，，即可得解； （2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性. 【解析】（1）当时，， 当时，，， 所以， （2）的图像为： 单调递增区间为：， 单调递减区间为：，. 6．已知函数是上的奇函数,时,. 求：(1)的解析式； (2)的值域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)由是上的奇函数,可以直接求出的值,再由奇函数的性质 ,可以求出当时函数的解析式,最后用分段函数形式写出函数的解析式. (2)利用二次函数的性质和反比例函数的性质可以求出函数的值域. 【解析】(1)因为是上的奇函数,所以. 当时,所以有,由奇函数的性质可知：, 所以函数的解析式.为. (2)当时,,由反比例函数的性质可知； 当时, ,由反比例函数的性质可知,而, 所以的值域为. 【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求函数解析式,考查了奇函数值域问题,考查了分类思想. 7．若函数在上是奇函数，则的解析式为． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数得，代入后求出解析式 【解析】函数在上是奇函数 ， 即，， 即 ， 解得 则 故选 【点睛】本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有，然后再赋值法求出解析式，较为基础． 8．为奇函数，为偶函数，且则（    ） A．3 B．-1 C．1 D．-3 【答案】A 【分析】 根据函数奇偶性可知，解方程组即可求得. 【解析】 因为为奇函数，为偶函数， 则 所以 两式相加可得，即 故选：A. 9．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是奇函数，可得，由是偶函数，可得，令，，结合，可求出的值，然后结已知条件对化简可求得结果 【解析】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 从定义入手．， ， 所以． 故选：． 题型3：由函数的奇偶性求参数 10．函数是上的奇函数，则 ． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【解析】由题意可知. 故答案为： 11．设函数为奇函数，则 ． 【答案】－1 【分析】利用函特殊函数值求出，再验证即可. 【解析】因为函数为奇函数， 所以，即 ，解得， 可得， 因为函数定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，故. 故答案为：. 12．已知函数，（且）是偶函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据奇偶函数的性质结合二次函数的对称性分析运算. 【解析】由题意可得：函数的对称轴为y轴，且定义域关于原点对称， 则，解得， 故. 故答案为：. 13．若函数为偶函数，则实数 . 【答案】1 【分析】利用偶函数定义，列式计算即得. 【解析】函数的定义域为R，且为偶函数， 则，，即， 于是，化简得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为：1 14．函数是奇函数，则满足条件的实数的最大值为 . 【答案】4 【分析】由函数是奇函数，且是偶函数，得出为奇函数，再根据奇函数的定义以及绝对值的几何意义得出结果. 【解析】由题意可知，函数的定义域为且且， 因为函数是奇函数，且是偶函数 令，则为奇函数， ，即 且. 则满足条件的实数的最大值为4. 故答案为：. 15．函数是定义在上的偶函数,则 ． 【答案】3 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称即可解得,再根据偶函数定义可得,代入即可得解析式,从而可求出. 【解析】因为是定义在上的偶函数, 所以,解得, 由得,即, 则,故． 故答案为:3 16．已知.若是奇函数，则实数a的值是 . 【答案】 【分析】利用已知函数的定义域，结合奇函数的定义计算作答即可. 【解析】函数的定义域为且， 因为函数是奇函数，则当且时，恒成立， 因此，整理得， 即，于是得，解得， 所以实数a的值是. 故答案为： 题型4：由函数的性质解不等式 17．已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由偶函数和函数的单调性可得出，可得出，解之即可. 【解析】因为定义域为的偶函数在区间上严格减， 则， 所以，即或，解得或， 即所求解集为. 故答案为：. 18．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如下图，则不等式的解是 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合图象进行求解即可. 【解析】因为奇函数的定义域为，所以函数图象关于原点对称， 由图可知，当时，或， 所以不等式的解是. 故答案为：. 19．定义在上的奇函数在上的图像如图所示，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】解不等式组得解. 【解析】因为函数f(x)是奇函数， 所以函数的图像为 因为， 所以函数的第二、四象限的图像满足题意， 所以x＞2或x＜-2. 所以不等式的解集为. 故答案为 【点睛】本题主要考查奇函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．若奇函数定义域为R，当时，，则是 函数（填写单调性）；不等式的解集是 ． 【答案】 严格减 【分析】设,由条件推出即得单调性；利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式，最后解一元二次不等式即得. 【解析】由，不妨设， 由可得，，即， 故是严格减函数． 由可得，． 因函数是奇函数，则有． 又函数是严格减函数， 则，解得或． 故答案为：严格减；. 21．已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 【答案】 【分析】根据偶函数的性质和单调性知识解不等式即可. 【解析】因为是定义域为上的偶函数，成立， 所以，， 则， 又因为在上严格减函数， 所以，平方得，解得， 所以. 故答案为： 22．已知是定义在上的奇函数，且它在区间上是严格增函数，若不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性与奇偶性计算即可. 【解析】由题意可知：在R上单调递增， 等价于， 则. 故答案为： 23．已知函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的奇偶性质，再根据函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【解析】函数的定义域为， 且， 即为偶函数，又函数在区间上单调递增， 则在区间上单调递减， 所以不等式，即，则， 即，解得， 即满足的取值范围为. 故答案为： 24．已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据条件推导出 的单调性，再结合奇偶性解不等式即可. 【解析】不等式， 即，， 故函数在R上是增函数，函数 在R上为奇函数， ， 若不等式，则，或，， ； 故答案为： . 题型5：抽象函数的奇偶性 25．已知是奇函数，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据奇函数定义去判断与之间的关系，以及与之间的关系、与之间的关系，即可解决. 【解析】是奇函数， 则有，即， 故选项A判断正确；选项B判断错误； 把函数的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数的图像， 则由函数有对称中心，可知函数有对称中心. 选项C：由，可得函数的周期为2.判断错误； 选项D：由，可得函数有对称轴.判断错误. 故选：A 26．已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，也是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】首先求，再通过赋值，结合奇函数的定义，证明函数是奇函数. 【解析】令x＝y＝0，所以f（0）＝f（0）＋f（0）， 所以f（0）＝0. 又因为f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0， 所以f（－x）＝－f（x）， 所以f（x）是奇函数. 故选：A 27．设函数对任意，都有，证明：为奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】根据函数满足，通过赋值，求得，再继续赋值，使表达式产生与，代入，整理得，可证明结论成立. 【解析】证明：函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数对任意，都有， 令，则，得， 令，则， 所以， 即，所以为奇函数． 28．已知是奇函数，其定义域为R；而是偶函数，其定义域为D，判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】函数为奇函数 【解析】是奇函数，定义域为R，则 是偶函数，定义域是D，则 令且定义域为D，则， 则，所以为奇函数. 所以函数为奇函数. 29．已知函数满足，当时，成立，且． (1)求，并证明函数的奇偶性； (2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析； (2). 【分析】（1）令，可得，令，，从而即可证明； （2）由已知条件，可得为增函数，又原不等式等价于恒成立，则在上恒成立，令，分离参数即可求解. 【解析】（1）解：令，可得， 令，则，所以， 所以， 所以为奇函数； （2）解：，即， 所以， 又当时，成立，所以为增函数， 所以在上恒成立， 令，可得在上恒成立， 又，，所以当时，， 所以，即. 30．若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)最大值为2，最小值为 【分析】（1）赋值法得到，再由得到，得到函数为奇函数； （2）赋值法求出，利用（1）中的函数奇偶性求出，再用赋值法求出； （3）先证明出函数的单调性，结合（2）中结论得到答案. 【解析】（1）定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； （2）因为，故令得，即， 又是奇函数，所以， 令得， 令得 故； （3）不妨设， 中，令得， ， 因为，又时，， 所以，即， 所以在R上单调递减， 故． 题型6：函数的奇偶性的综合应用 31．若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，比较函数值的大小. 【解析】∵，且在区间上是增函数，∴． 故选：B 32．已知为奇函数，其局部图象如图所示，那么（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由图象可知，再根据函数是奇函数，判断选项. 【解析】由图可知，因为函数是奇函数，所以， 即. 故选：D. 33．已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可求得答案. 【解析】是上的奇函数，， 令，解得，此时， 故函数的图象恒过点， 故选：C 34．如果奇函数在区间上是减函数且最大值为5，那么函数在区间上是（  ） A．增函数且最小值为-5 B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5 D．减函数且最大值为-5 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质判断即可得对称区间上的单调性与最值. 【解析】为奇函数，在区间上的单调性与在区间上的单调性一致，且为最小值.又已知 故选：C. 35．若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】A 【分析】根据题意得到函数在区间为增函数，结合选项，即可求解. 【解析】由题意，奇函数在区间上是增函数， 则函数在区间也为增函数， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 故选：A. 36．已知函数是定义在上的偶函数，令，若实数b满足，则 【答案】2022 【分析】根据条件，结合函数为偶函数得，继而代入化简即可求得答案. 【解析】由题意可知， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以b) ． 故答案为：2022. 37．已知，若实数且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【解析】易知，且，，故是奇函数， 又易得函数单调递增，必有，化简得，则， 当且仅当，即时取等，则的最小值是. 故答案为： 38．已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意在上严格单调递减，所以原题转换为了恒成立，当时，有，满足题意，得知，即当且仅当满足题意，由此即可得解. 【解析】由题意定义在上的奇函数在区间上是严格减函数， 所以在上严格单调递减， 所以， 由题意若对于任意的，恒有成立， 则恒成立， 当时，有，满足题意， 当时，恒成立， 此时， 解得，满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 一、填空题 1．已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用赋值法判定函数的奇偶性与单调性，再根据条件求出，根据单调性解不等式即可. 【解析】令得， 令，得，则为奇函数， 设，则， 因为当时，，所以，则， 所以在R上单调递增． 由，得， 所以． 可化为，所以， 解得． 故答案为： 2．设函数是定义在R上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后根据函数的单调性列出不等式，转化为最值问题，即可求得结果. 【解析】设，则，因为当时，，则， 且函数是定义在R上的奇函数，则 所以，则． 因此，原不等式等价于． 因为在R上是增函数，所以，即． 又，所以当时，取得最大值． 因此，，解得． 故a的取值范围是． 故答案为: 3．已知是偶函数，当时，，且对任意的时，都成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由偶函数的性质，求解时的值域，得出m，n的取值范围. 【解析】∵是偶函数， ∴在上的值域与在上的值域相同， 求解在上的值域， ， 当且仅当 时，取得最小值4， 而 所以在 上的值域为 ， 由于 时 恒成立， 则，， 则， 故答案为： 4．已知，若实数且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】易知函数为奇函数，可得，则利用基本不等式即可求得其最小值为. 【解析】易知函数的定义域为，且满足， 可得函数为奇函数， 若可得，即； 所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 即的最小值为. 故答案为： 5．，已知是定义在上的偶函数，且时，，则集合 . 【答案】 【分析】 结合分段函数性质利用偶函数作出函数图象，根据函数单调性分析即可求解集合M. 【解析】当时，， 又是定义在上的偶函数，所以其图象关于y轴对称，作出图象如下： 因为，所以在上的值小于， 由图象可知：，即集合. 故答案为： 6．已知记函数的最大值为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】同一坐标系中画出和的图象，然后根据图象分，，讨论求解即可. 【解析】设，则，即函数在上为奇函数， 又当时，，当且仅当时等号成立， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减， 故 设，则， 令，解得 同一坐标系中画出和的图象如下：    由图可知，当时，，      当时，，    当时，，    综上的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于分段函数，其中每一段对应的变量范围在没有确定的情况下，需要在一个坐标系中画出每一段的完整图象，对变量的取值变化情况分析，从而得到分类的标准进行讨论. 二、单选题 7．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：利用特殊值对错误选项进行排除，从而确定的该正确答案.法二：根据函数的解析式、单调性、奇偶性化简不等式，从而求得的取值范围. 【解析】解法一：（排除法）当则得， 即在时恒成立， 而最大值，是当时出现，故的最大值为， 则恒成立，排除B项， 同理再验证时，恒成立，排除C项， 时，不成立，故排除D项 解法二：∵是上的奇函数，当时，， ∴当时，， ∴是上的增函数， ∵对任意恒成立， ∴，∴， ∴，其中， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】方法点睛：排除法是解选择题的一个方法.利用单调性、单调性处理不等式恒成立问题，将不等式化为形式是解题的关键，然后利用函数的单调性去掉符号“”，由此来求得参数的取值范围. 8．已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解. 【解析】对于命题，令函数， 则，此时，当函数不是奇函数， 所以命题为假命题， 对于命题，当时，都有，即，不可能， 即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题. 故选：C. 三、解答题 9．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得以及，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义即可证明； （3）由函数的奇偶性与单调性列出不等式，即可得到结果. 【解析】（1）由奇函数的性质可知，， ， . . 经验证，满足题设. （2）函数在上单调递增， 证明：令， ， ， 即， 函数在上单调递增. （3）由已知：， 由（2）知在上单调递增， ， 不等式的解集为. 10．定义在R上的函数，对任意x，都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为R上的增函数； (3)已知解关于x的不等式，. 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 (3)答案详见解析 【分析】（1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义证得结论成立. （2）根据函数的奇偶性和单调性证得为R上的增函数 （3）化简不等式，结合函数的奇偶性和单调性以及对分类讨论来求得不等式的解集. 【解析】（1）由， 令得， 令得， 所以，所以是奇函数. （2）任取， ， 所以，所以在上单调递增， 由于是定义在上的奇函数，所以在上单调递增. （3）由，得，， 由，令得， 所以由， 得，即， 即，所以， 由于，所以①， 由，解得或， 当时，，所以①的解集为. 当时，，所以①的解集为空集. 当时，，所以①的解集为. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减. 11．已知函数的定义域为D，区间，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． (1)已知，判断函数是否为区间上的增长函数，并说明理由； (2)已知，设，且函数是区间上的增长函数，求实数n的取值范围； (3)如果函数是定义域为R的奇函数，当时，，且函数为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)是，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合函数单调性分析运算； （2）根据题意整理可得对恒成立，根据恒成立问题结合一次函数分析运算； （3）根据函数的单调性，先取特值，可求得，再证明当时，对任意，均有. 【解析】（1）数为区间上的增长函数，理由如下： 由题意可知：在上单调递增， 对，则，可得， 故函数为区间上的增长函数. （2）若函数是区间上的增长函数， 可得对，则，即， 可得对恒成立， 则，解得， 故实数n的取值范围为. （3）由题意可得：， ∵函数是定义域为R的奇函数， 当时，则， 故， 可得在上单调递增，在上单调递减， 注意到， 故当时，，当时，， 若函数为R上的增长函数，则对，均有， 取，即，故，则，即， 若，即时，则有： ①当时，则，且在上单调递增， 故； ②当时，则，且， ∵在上单调递减，在上单调递增， 则， 且在上单调递增，则， 故； ③当时，则， 可得， 注意到在上单调递增， 故； ④当时，则， 注意到在上单调递减，在上单调递增， 可得； ⑤当时，则，且在上单调递增， 可得； 综上所述：当时，对，均有. 故实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： 根据的单调性，取特值，先求出实数a的取值范围，再证明其充分性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$