5.3 函数的应用（第1课时）（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

5.3函数的应用（第1课时） -含指幂对函数 题型1：一次函数、二次函数 1．某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 2．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 3．已知某气垫船的最大船速是海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距海里． (1)试把船每小时使用的燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数； (2)试把船从甲地到乙地所需的总费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数； (3)当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？ 4．邮局规定：当邮件质量不超过100g时，每20g邮费0.8元，且不足20g时按20g计算；超过100g时，超过100g的部分按每100g邮费2元计算，且不足100g按100g计算；同时规定邮件总质量不得超过2000g.请写出邮费关于邮件质量的函数表达式，并计算50g和500g的邮件分别收多少邮费. 题型2：分段函数 5．为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地地铁实行新的计费标准，其分段计费规则如下：0至6 km（含6 km）票价3元；6至16 km（含16 km）票价4元；16 km以上每6 km（不足6 km时按6 km计）票价递增1元，但总票价不超过8元． (1)试作出票价y（单位：元）关于路程x（单位：km）的函数的大致图象； (2)某人买了5元的车票，他乘车的路程不能超过多少？ 6．某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 7．杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 题型3：幂函数 8．在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 9．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 10．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． (1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； (2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 题型4：指数函数 11．动物死亡后，体内碳的放射同位素的含量每年衰减0.012%，设在动物死亡的时刻时，的含量为a． (1)写出的含量y随时间t变化的函数表达式； (2)问至少经过多少年，的含量才能低于原来的90%． 12．某商家生产卤鸭子，每千克鸭子的成本为20元，加工费为t元（t为常数），且．设商家每千克卤鸭子的售价为x元（，），日销量q（单位：kg），且（e为自然对数的底数）根据市场调查，当每kg卤鸭子的出售价为40元时，日销售量为50 kg． (1)求该商家的每日利润y元与每千克卤鸭子的出售价x元的函数关系式； (2)若，当每千克卤鸭子的出售价x为多少元时，该商家的利润y最大，并求出利润的最大值．（精确到元） 13．“实施科教兴国战略,强化现代化建设人才支撑”是2022年10月16日习近平同志在中国共产党第二十次全国代表大会上报告的一部分.必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力,深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略,开辟发展新领域新赛道,不断塑造发展新动能新优势.某科技企业通过加大科技研发投资,提高了企业的技术竞争力,也提高了收入.下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位:亿元),2017年记为1,后面的年份依次类推. x/年 1 2 3 4 5 6 y/亿元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30 (1)给出以下两个函数模型:①y=;②y=.试问:用哪个模型更适合模拟该企业的收入? (2)该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据:） 题型5：对数函数 14．声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 15．2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活.为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于等于80时听课效果最佳. (1)试求的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由. 16．近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 题型6：函数模型综合 17．2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益. (1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：） (2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围. 18．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 19．人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 20．某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计）， 每件的销售价格）（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元. (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 题型7：填空、选择题 21．甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第 天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店. 22．里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的 倍． 23．某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以110 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x的取值范围为 km/h．（结果保留整数） 24．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于等于且小于的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少，那么他至少经过 小时才能驾驶汽车．（参考数据：，） 25．中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（    ）． A．20% B．23% C．28% D．50% 26．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 一、填空题 1．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车 .（精确到小时） 2．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：） 3．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型． 已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强： ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是 ． 二、单选题 4．某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（    ）（附：） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元 5．在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，这是双自变量的函数，其表达式为：，其中自变量分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值表示产量，常数是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数．在产量不变的情况下，点组合构成一条曲线，称为等效产出曲线．如图，某企业时的等效产出曲线分别与过原点的射线交于点，若，则约为（    ） 参考数据： A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8 三、解答题 6．为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 7．在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程： (1)对于数学建模，我们需要给出合理假设. 假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动 假设二：_________________ (2)提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数； 提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ (3)总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议. 8．2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3函数的应用（第1课时） -含指幂对函数 题型1：一次函数、二次函数 1．某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式. （2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解. 【解析】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 2．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 【答案】(1)， (2)行驶的最大速度为70千米时． 【分析】（1）把点，代入函数解析式，求解，的值即可； （2）令求出的取值范围即可． 【解析】（1）由图象可知，点，在函数图象上， ，解得， ，； （2）令，得， 解得， 又，    ， 即行驶的最大速度为70千米时． 3．已知某气垫船的最大船速是海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距海里． (1)试把船每小时使用的燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数； (2)试把船从甲地到乙地所需的总费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数； (3)当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？ 【答案】(1) (2) (3)海里/时，元 【分析】（1）设，再根据条件得到，即可求解； （2）设船从甲地到乙地所需的时间为小时，从而有，再利用，即可求出结果； （3）利用（2）中结果及基本不等式，即可求出结果. 【解析】（1）由题设燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数为， 又当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，所以，解得， 所以. （2）设船从甲地到乙地所需的时间为小时，所以，又， 得到. （3）由（2）知，， 当且仅当，即时取等号， 所以当船速为海里/时时，船从甲地到乙地所需的总费用最少，最少为元. 4．邮局规定：当邮件质量不超过100g时，每20g邮费0.8元，且不足20g时按20g计算；超过100g时，超过100g的部分按每100g邮费2元计算，且不足100g按100g计算；同时规定邮件总质量不得超过2000g.请写出邮费关于邮件质量的函数表达式，并计算50g和500g的邮件分别收多少邮费. 【答案】，分别收取2.4元和12元 【分析】根据题意，分类讨论与两种情况，得到相应的函数表达式，再分别代入与即可得解. 【解析】设邮件重量为g，邮费为元，则， 当时，，（其中表示取大于或等于的最小整数）； 当时，； 所以， 则当时，（元）， 当时，（元）， 则50g和500g的邮件分别收取2.4元和12元. 题型2：分段函数 5．为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地地铁实行新的计费标准，其分段计费规则如下：0至6 km（含6 km）票价3元；6至16 km（含16 km）票价4元；16 km以上每6 km（不足6 km时按6 km计）票价递增1元，但总票价不超过8元． (1)试作出票价y（单位：元）关于路程x（单位：km）的函数的大致图象； (2)某人买了5元的车票，他乘车的路程不能超过多少？ 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）先求出关于的解析式，利用分段函数的性质，即可求解结果； （2）利用（1）中结果，即可求解结果. 【解析】（1）由题知，作出图象，如图所示， （2）由（1）得该乘客乘车的路程不能超过. 6．某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【解析】（1）由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． （2）当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 7．杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元 【分析】（1）依题意可得，根据的解析式计算可得； （2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值. 【解析】（1）依题意可得， 又， 当时； 当时， 所以； （2）当时，， 由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数在上单调递增， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元. 题型3：幂函数 8．在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 【答案】 【分析】首先建立函数关系式，并代入求值. 【解析】由题意可知，，，则， 即，当时，. 所以气体通过半径为的管道时的速率为. 9．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【解析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 10．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． (1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； (2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 【答案】(1)，, (2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 【分析】（1）根据已知条件，分别求解1年，2年后，….，进而归纳后的利润，即可求解． （2）分别求出两种方案的净收益，再通过比较，即可求解． 【解析】（1）对于甲方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， 对于乙方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， （2）甲方案十年共获利（万元）， 10年后，到期时银行贷款本息为（万元）， 故甲方案的净收益为（万元）， 乙方案十年共获利（万元）， 贷款本息为（万元）， 故乙方案的净收益为（万元）， 由，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 题型4：指数函数 11．动物死亡后，体内碳的放射同位素的含量每年衰减0.012%，设在动物死亡的时刻时，的含量为a． (1)写出的含量y随时间t变化的函数表达式； (2)问至少经过多少年，的含量才能低于原来的90%． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可直接写出函数解析式. （2）列出不等式，利用计算器解不等式可得结果. 【解析】（1）因为每年衰减0.012%，剩余，所以年后的含量为： . （2）由 所以至少经过年，的含量才能低于原来的90%． 12．某商家生产卤鸭子，每千克鸭子的成本为20元，加工费为t元（t为常数），且．设商家每千克卤鸭子的售价为x元（，），日销量q（单位：kg），且（e为自然对数的底数）根据市场调查，当每kg卤鸭子的出售价为40元时，日销售量为50 kg． (1)求该商家的每日利润y元与每千克卤鸭子的出售价x元的函数关系式； (2)若，当每千克卤鸭子的出售价x为多少元时，该商家的利润y最大，并求出利润的最大值．（精确到元） 【答案】(1) (2)36元，利润最大为元 【分析】（1）首先求，再代入利润=销量每只鸭子的利润，即可求解； （2）根据（1）的结果，结合函数的定义域，利用代入的方法，判断利润的最大值. 【解析】（1）由题， 所以，所以， 所以； （2）当时， 所以， 所以用计算器探究得 时，元， 即当每千克卤鸭子的出售价为36元时， 该商家的利润最大为元． 13．“实施科教兴国战略,强化现代化建设人才支撑”是2022年10月16日习近平同志在中国共产党第二十次全国代表大会上报告的一部分.必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力,深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略,开辟发展新领域新赛道,不断塑造发展新动能新优势.某科技企业通过加大科技研发投资,提高了企业的技术竞争力,也提高了收入.下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位:亿元),2017年记为1,后面的年份依次类推. x/年 1 2 3 4 5 6 y/亿元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30 (1)给出以下两个函数模型:①y=;②y=.试问:用哪个模型更适合模拟该企业的收入? (2)该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据:） 【答案】(1)用模型②y=更适合模拟该企业的收入 (2)大约在2025年该企业的收入超过100亿元. 【分析】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象,并在此坐标系内描出表格提供的数据对应的点,观察即可； （2）解出，,则，即可求解. 【解析】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象, 并在此坐标系内描出表格提供的数据对应的点如图所示. 观察图象知,这些点基本上都落在函数的图象上或附近, 所以用模型②更适合模拟该企业的收入. （2）当时,, 因此=≈, 而,则, 所以大约在2025年该企业的收入超过100亿元. 题型5：对数函数 14．声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 【答案】(1)30（分贝） (2) (3) 【分析】（1）令，代入求出声音强度； （2）根据题意，得到，解出； （3）令，，解得即可 【解析】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）人在100分贝至120分贝的空间内会暂时失聪．令， 解得，令，解得， 所以当能量达到时会暂时失聪． 15．2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活.为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于等于80时听课效果最佳. (1)试求的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由. 【答案】(1) (2)教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析． 【解析】（1）当，时，设， 将点代入得， 当，时，； 当，时，将点代入，得， 所以； （2）当，时，， 解得，所以，， 当，时，， 解得，所以，， 综上，时学生听课效果最佳， 此时， 所以，教师能够合理安排时间讲完题目． 16．近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）当时，设，当时，设（且），将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出关于的函数解析式； （2）分析函数的单调性，当时，解不等式，即可得出结论. 【解析】（1）解：当时，设，将代入得，解得，此时，； 当时，设（且），将、代入得， 解得，此时，. 综上：. （2）解：因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得， 则，即， 所以，. 所以，从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室. 题型6：函数模型综合 17．2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益. (1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：） (2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数模型能符合公司奖励方案的要求，理由见解析 (2) 【分析】（1）结合题中的两个标准对每一种模型分别验证即可； （2）根据题中的标准建立不等式组，解不等式组即可. 【解析】（1）函数模型，满足奖金随收益增加而增加， 因为， 所以当时，，即奖金超过90万，不满足要求； 函数模型，当时，，此时奖金超过收益的，不满足要求； 函数模型，满足奖金随收益增加而增加， 当时，，满足奖金不超过90万元， 又时，，满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求. （2）函数模型， 因为奖金随收益增加而增加，所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，恒成立， 即， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 综上所述，实数的取值范围是. 18．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 【答案】(1) (2)， (3)55 【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型， （2）将，代入求解系数即可. （3）将代入解析式即可. 【解析】（1）根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选； （2）将，代入解析式得到，即， 解得，，即. 当时，， 满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为； （3）由，， 得，得， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟. 19．人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【答案】(1)选择更合适 (2)2031年 【分析】 （1）根据数据量随年份增长呈爆炸增长判断即可； （2）将2009年和2020年的数据量代入可得，再设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算求解即可. 【解析】（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适. （2）依题意，，故，即，代入可得，故. 设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则， 即，解得，此时为2031年. 即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍. 20．某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计）， 每件的销售价格）（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元. (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1)选②， (2) 【分析】（1）由第10天的日销售收入为505元，求出，再根据表中数据可知时间变换时，先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解； （2）分和，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性即可得出答案. 【解析】（1）因为第10天的日销售收入为505元， 则，解得， 由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减， 函数模型：①；③；④都是单调函数， 所以选择模型②：， 由，可得，解得， 由，解得， 所以日销售量与时间的变化的关系式为； （2）由（1）知， 所以， 即， 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值. 题型7：填空、选择题 21．甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第 天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店. 【答案】11 【分析】设从第天起，由题设条件列出不等式，再借助计算器计算即得. 【解析】假设从第天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店， 则，整理得， 由计算器计算， 当时，， 当时，， 所以从第11天开始，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店. 故答案为：11 22．里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的 倍． 【答案】1000 【分析】结合已知条件，利用对数运算以及指数和对数的互化即可求解. 【解析】， ，所以， 所以． 故答案为：1000. 23．某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以110 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x的取值范围为 km/h．（结果保留整数） 【答案】 【分析】首先求出的值，再解不等式即可求得答案. 【解析】由，解得， 所以， 所以，故． 故答案为：. 24．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于等于且小于的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少，那么他至少经过 小时才能驾驶汽车．（参考数据：，） 【答案】5 【分析】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，解出的范围即可求解． 【解析】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则， ， ， 他至少经过5个小时才能驾驶汽车， 故答案为：5． 25．中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（    ）． A．20% B．23% C．28% D．50% 【答案】B 【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形求解增加率即可. 【解析】由题意，将信噪比从1000提升至5000， 则最大信息传递速率从增加至， 所以. 故选：B. 26．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别计算，的范围以及的值，进行运算比较即可求解. 【解析】由题意得, ,所以， ,所以, ,故C错误； 则有， 因为， 可得，故A错误； 因为，，则， 所以，故B错误; ， 所以，故D正确. 故选: D. 一、填空题 1．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车 .（精确到小时） 【答案】4 【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升时，才能开车，因此只需由，求出的值即可. 【解析】当时，由得， 解得，舍去； 当时，由得，即， 解得， 因为，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车. 故答案为：4 2．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：） 【答案】74 【分析】根据题意，建立指数函数模型，然后结合指数，对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【解析】根据题意可得，该指数衰减的学习模型为， 当时，代入得，，解得， 由学习率衰减到以下（不含），可得，即， 所以，因为， 所以，则取. 故答案为： 3．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型． 已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强： ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得. 【解析】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机， 对于①，，，，， ∴，， 则， ∴，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， ∴，， 则， ∴，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， ∴，， ， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， ∴，， ∴， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故答案为：①②④. 二、单选题 4．某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（    ）（附：） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元 【答案】C 【分析】观察表格中数据，越往后的年份的产值比上一年增加的越多，由此可结合函数的性质确定最符合实际的函数模型，再代入数值计算，即得答案. 【解析】由表中数据可知该企业年产值（万元）随着新政策实施年数（年）的增加而增加， 结合2012年比2011年增加31万元，2021年比2020年增加82万元， 可知越往后的年份比上一年增加的产值越多，即y的增长速度越来越快， 结合三种函数模型：，（，且），（，且）， 可知（，且）为最符合实际的函数模型； 则，故， 故预测该企业2024年的年产值约为，则（万元）， 即预测该企业2024年的年产值约为1109万元， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据表中数据分析数据的增加趋势，即函数值的增加速度越来越快，从而确定最符合实际的函数模型，还要注意选择接近于2024年的产值去计算，更为精确一些. 5．在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，这是双自变量的函数，其表达式为：，其中自变量分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值表示产量，常数是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数．在产量不变的情况下，点组合构成一条曲线，称为等效产出曲线．如图，某企业时的等效产出曲线分别与过原点的射线交于点，若，则约为（    ） 参考数据： A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8 【答案】D 【分析】根据题目条件得到，设，求出，，从而得到，代入计算，结合，求出答案. 【解析】由题意得且， 设，则， 则， 两式相除得，， 两边取对数得，， ， 又，故， 又，即， 所以，故， 故， 因为，所以， ，所以 故选：D 三、解答题 6．为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据题意可知时，，代入即可求得的值； （2）根据题意可知，由此化简可得； （3）分段讨论的最小值，从而得到的最小值及的值. 【解析】（1）依题意得，当时，， 因为，所以当时，， 所以，解得， 故的值为. （2）依题意可知， 又由（1）得，， 所以. （3）当时，，显然在上单调递减， 所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，故； 综上：，此时， 所以当为平方米时，取得最小值，最小值是万元. 7．在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程： (1)对于数学建模，我们需要给出合理假设. 假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动 假设二：_________________ (2)提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数； 提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ (3)总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议. 【答案】(1)根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，速度浮动为0. (2)当时,最低值为多少 (3)由上面分析可知，体力的最小值在后期出现，运动员可以在后期补充相应的水分以提高补充的效率，坚持就是胜利. 【分析】（1）结合条件，提出合理的假设即可. （2）由条件求解析式，结合基本不等式求求最小值. （3）第三小问属于开放式试题,合理的建议即可. 【解析】（1）根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，速度浮动为0. （2）稳定阶段: 疲劳阶段: 故. 当时， 当时， 当且仅当时，即时取等号. 比较可知，当时 故最低值为多少 （3）由上面分析可知，体力的最小值在后期出现，运动员可以在后期补充相应的水分以提高补充的效率，坚持就是胜利. 【点睛】分段函数要找到分段点，时间的变化要带入数学式子中计算,以免产生错误. 8．2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)125. (2)存在，. 【分析】（1）根据题意，得到，解得，结合条件，可求得，由此可知调整后的研发人员的人数最少为125人； （2）由条件①得，由条件②得，假设存在同时满足以上两个条件，则上述不等式恒成立，进而求得，即，故确定存在，且. 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，整理得， 解得， 因为且，所以，故， 所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人. （2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得， 上式两边同除以得，整理得； 由条件②由技术人员年人均投入不减少，得，解得； 假设存在这样的实数, 使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 即恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立, 所以， 又因为，当时，取得最大值，所以， 所以，即， 即存在这样的满足条件，其范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$