5.3 函数的应用（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第五章 函数的概念、性质及应用 5.3 函数的应用（第1课时） 5.3.1 函数关系的建立（含指幂对函数） 【示例1】一次函数、二次函数、分段函数模型 例1 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100 元，已知总收入满足函数： 其中 是仪器的月产量. （1）将利润表示为月产量的函数（用 表示）; 解 设每月产量为 台，则总成本为 .又 ， 所以 2 （2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入 总成 本 利润） 解 当 时， ， 所以当 时，有最大值12 500； 当 时， 单调递减， . 所以当 时， 取最大值，最大值为12 500. 所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元. 3 跟踪训练1 我市某运输公司为积极响应国家节能减排的号召，年初以每台12 800元的价格购入一批风能发电机.经测算，每台发电机每年的发电收益约7 200元，已知每台发电机使用 年后的累计维修保养费用为 元，且满足关系式 （ , 为常数）.已知该批发电机第1年每台的维修保养费用为1 000元，第2年每台的累计维修保养费用为2 400元.设每台发电机使用 年后的总利润为 元. 4 （1）求 关于 的函数关系式 ; 解 由题意得 解得 所以 ， 所以每台发电机使用 年后的总利润（单位：元）为 ， 即 . 5 （2）问每台发电机在第几年的年平均利润最大？（注：年平均利润 总利润 年数） 解 每台发电机使用 年后的年平均利润为 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立（负值舍去）， 故每台发电机在第8年的年平均利润最大，且为3 200元. 6 例2 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． (1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？ 【示例2】幂函数 【示例3】指数型、对数型函数模型 例3 科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度 （单位:瓦/平方米） 有关.在实际测量时,常用 （单位:分贝）来表示声音强弱的等级,它与声音的强度 满 足关系式 （ 是常数）,其中 瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的 强度 瓦/平方米,它的强弱等级 分贝. 10 （1）已知生活中几种声音的强度如下表: 声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路 10 90 求 和 的值; 解 将 瓦/平方米, 瓦/平方米代入 ,得 , 即 , . 11 （2）为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音 强度 的最大值. 解 由题意得 , 即 , 得 ,即 , 即 . 故此时声音强度 的最大值为 瓦 平方米. 12 跟踪训练2 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆 飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空.近年来，得益于我国先进的运载火箭 技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想 状态下，可以用公式 计算火箭的最大速度 ，其中 是喷流 相对速度， 是火箭（除推进剂外）的质量， 是推进剂与火箭质量的总 和， 称为“总质比”，已知 型火箭的喷流相对速度为 . （1）当总质比为800时，利用给出的参考数据求 型火箭的最大速度; 解 ， 所以当总质比为800时，A型火箭的最大速度约为 . 13 （2）经过材料更新和技术改进后， 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的 ，若要使火箭的最大速度至少增加 ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. （参考数据： ， .） 14 解 设在材料更新和技术改进前总质比为 ， 则 ， ， 若要使火箭的最大速度至少增加 ， 所以 . 即 ， ， 所以 ，得 ,因为 ,所以 ， 所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11. 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 类型4　幂函数模型的应用 【例4】　在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式(可带参数)； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式． (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(结果保留整数)． 解：(1)由题意得R＝kr4(k是大于0的常数)． (2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，∴k＝，∴流量R的表达式为R＝·r4. (3)∵R＝·r4， ∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s)． 42 【例5】入冬以来，雾霾天气在部分地区频发，给人们的健康和出行造成严重的影响．经研 究发现，工业废气等污染排放是雾霾形成和持续的重要因素，治理污染刻不容缓．为 降低对空气的污染，某工厂采购一套废气处理装备，使工业生产产生的废气经过过滤 后再排放．已知过滤过程中废气的污染物数量 （单位： ）与过滤时间 （单 位： ）间的关系为 （ , 均为非零常数， 为自然对数底数）， 其中 为 时的污染物数量，若经过 处理， 的污染物被过滤掉，则常数 的值为( ) A A. B. C. D. 类型5　指数、对数函数模型的应用 43 [解析] 由题意可得， ， 则 ，两边同时取对数可得， ， 解得 .故选A. 44 45 1.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为 ，经过 天 后体积 与天数 的关系式为 .已知新丸经过50天后，体积变为 .若一个 新丸体积变为 ，则需经过的天数为( ) C A.125 B.100 C.75 D.50 [解析] 由已知，得 ，所以 . 设经过 天后，一个新丸体积变为 ， 则 ， 所以 ，所以 ，解得 . 故选C. [跟进训练] 46 2.某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案： 销售利润达到10万元及以上时，按销售利润进行奖励，且奖金数额 （单位：万元） 随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额 不超过利润的 ，其中下列模型中能符合公司要求的是____．（参考数据： ， ） ； ； ； . ③ 47 [解析] 由题意知，符合公司要求的模型只需满足：当 时， （1）函数为增函数； （2）函数的最大值不超过5； （3） ， ①中，函数 ，易知满足（1），但当 时， 不满足公司要求； ②中，函数 ，易知满足（1），但当 时， 不满足公司要求； ③中，函数 ，易知满足（1），且当 时， 取最大值 ，且 恒成立，故满足公司要求； ④中，函数 ，易知满足（1）， 但当 时， 不满足公司要求. 48 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING [解析]　(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)，结合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2， 所以f(x)＝x(x≥0)， g(x)＝(x≥0)． (2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元， 依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)， 令t＝(0≤t≤2)，则x＝20－t2， 所以y＝＋＝－(t－2)2＋3， 所以当t＝2时，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3. 故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元． 类型1　一次函数模型的应用 【例1】　某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　) A．2 000套　　　 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 D　[因为利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．] 1．一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． 2．一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值． eq \o([跟进训练]) 1．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像，根据图像填空： (1)通话2分钟，需要付电话费________元； (2)通话5分钟，需要付电话费________元； (3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________． (1)3.6　(2)6　(3)y＝1.2t(t≥3)　[(1)由图像可知，当t≤3时，电话费都是3.6元． (2)由图像可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元． (3)易知当t≥3时，图像过点(3,3.6)，(5,6)，求得y＝1.2t(t≥3)．] 类型2　二次函数模型的应用 【例2】　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ [思路点拨]　本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题． [解]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)， 化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 利用二次函数求最值的方法 二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答． eq \o([跟进训练]) 2．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100eq \r(6t)(0≤t≤24)，则当t为何值时蓄水池中的存水量最少？ [解]　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨， 则y＝400＋60t－100eq \r(6t)(0≤t≤24)． 设u＝eq \r(t)，则u∈[0,2eq \r(6)]， y＝60u2－100eq \r(6)u＋400＝60eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(5\r(6),6)))eq \s\up24(2)＋150， 所以当u＝eq \f(5\r(6),6)，即t＝eq \f(25,6)时，蓄水池中的存水量最少． 类型3　分段函数模型的应用 【例3】　某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－eq \f(1,2)t2(万元)． (1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数； (2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ [解]　(1)当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件． 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,2)x2))－0.5＋0.25x0<x≤5，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×5－\f(1,2)×52))－0.5＋0.25xx>5，)) 即f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋4.75x－0.50<x≤5，,12－0.25xx>5.)) 当x>5时，f(x)＝12－0.25x<12－0.25×5＝10.75(万元)． 故当年产量为475件时，当年所得利润最大． (2)当0<x≤5时，f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋4.75x－0.5＝ －eq \f(1,2)(x－4.75)2＋10.781 25， 所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值， f(x)max＝10.781 25(万元)． 1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． 3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． eq \o([跟进训练]) 3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨． (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． [解]　(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x； 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时， 即3x≤4，且5x>4时， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x>4时， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. 所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(14.4x，0≤x≤\f(4,5)，,20.4x－4.8， \f(4,5)<x≤\f(4,3)，,24x－9.6，x>\f(4,3).)) (2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增； 当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))时，y≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))<26.4； 当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(4,3)))时，y≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))<26.4； 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))时，令24x－9.6＝26.4， 解得x＝1.5. 所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5(吨)， 付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x＝4.5(吨)， 付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元). 幂函数模型有两个：y＝kxn(k，n是常数)，y＝a(1＋x)n(a，n是常数)，其中y＝a(1＋x)n也常常写作y＝N(1＋p)x(N，p为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分． 规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法 （1）指数型函数模型： y=max(a>0,a≠1,m≠0) .在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示. （2）对数型函数模型： y=mlogax+c(m≠0,a>0,a≠1) .对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解. （3）指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论. $$