专题08 解三角形(讲义+练习)-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题08 解三角形(练习) 一、填空题 1．在中，，其面积为，则边 . 2．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 3．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 4．如图A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，则A，B两点间的距离为 米． 5．已知中，，则AB中线CM长等于 . 6．在中，内角所对的边分别是，若，则的值为 . 7．已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为 . 8．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则的值是 ． 9．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为 . 10．已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时， ． 11．在中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有 个． 12．为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为 . 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值为 . 14．在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 二、单选题 15．在中，，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 16．已知，，且、不共线，则的面积为（    ） A． B． C． D． 17．对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 18．在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 19．在中，点D在上，，. (1)求的值； (2)若，求的长. 20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D是线段AC上的一点，且，．求的周长． 21．已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 22．在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． (1)求的面积； (2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 23．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 24．如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β. (1)求的值； (2)若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值. 25．在中，内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，且. (1)若，，求的面积； (2)若点D在线段CB上，于点E，且，当最大时，求的值． 26．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. (1)求角A； (2)若，求bc的值； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解三角形(练习) 一、填空题 1．在中，，其面积为，则边 . 【答案】10 【分析】由三角形的面积公式求解． 【解析】由，得， 得， 故答案为：10 2．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理可得答案. 【解析】， ， 故答案为： 3．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】直接由平方关系以及正弦定理即可求解. 【解析】中，由，，, 可得，， 又，故由正弦定理得，． 故答案为：. 4．如图A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，则A，B两点间的距离为 米． 【答案】 【分析】求出，结合正弦定理即可求解. 【解析】由题意， 由正弦定理得， 故，故A，B两点间的距离为． 故答案为：. 5．已知中，，则AB中线CM长等于 . 【答案】/ 【分析】利用两次余弦定理计算即可求解. 【解析】由题意知， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 6．在中，内角所对的边分别是，若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理可得答案. 【解析】若，则， 可得， 由余弦定理得. 故答案为：. 7．已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先由图象依次求解的值，由，代入解析式求，在中，设三边，由已知对边角，利用余弦定理与重要不等式求最大值，从而得面积的最大值. 【解析】由图象可得，解得， 所以，由， 由图， 即， 由，得. 故， 在中，， ，即， 设角的对边为，由， 则， ，当且仅当时等号成立. ， 所以面积最大值为. 故答案为：. 8．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则的值是 ． 【答案】3 【分析】依次由正弦定理、余弦定理边角互换得条件等式，代入所求式子即可求解. 【解析】因为，所以， 所以，所以. 故答案为：3. 9．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为 . 【答案】 【分析】先由已知条件结合正弦定理得到，然后证明，最后说明当时，即可得到周长的最大值为. 【解析】由已知有， 结合正弦定理就有，故. 从而， 故，从而，由知. 而当时，满足全部条件，此时. 所以周长的最大值为. 10．已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时， ． 【答案】 【分析】根据向量运算得出边长，再应用余弦定理结合基本不等式即可求出边长. 【解析】因为，, 所以, 在中，设， 所以, 当余弦值最小时，最大， 当且仅当，即，最大， 所以满足条件. 故答案为：. 11．在中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有 个． 【答案】0 【分析】根据余弦定理及一元二次方程的判别式求解即可． 【解析】由余弦定理可得， 即，则， 所以方程无实数根，即满足条件的三角形的个数有0个． 故答案为：0． 12．为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助正弦定理结合所给条件可将周长用表示，结合锐角三角形的性质可得的范围，即可得解. 【解析】由正弦定理可得， 则，， 则周长为 ， 由为锐角三角形，则，解得， 故，则， 即周长的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理结合所给条件将边用角表示出来后，可用表示周长，从而可由的取值范围得到周长的取值范围. 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理结合两角和差的正余弦公式求解可得，再根据正弦定理化简，结合三角函数值与角度范围的关系求解即可. 【解析】由正弦定理结合，得， 则，即， 故，则，故，解得. 由正弦定理，有， 故 ， 设，且，则. 又，故，且，故. 故，即， 故，则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦定理进行边换角，然后再结合辅助角公式和正弦型函数的最值即可. 14．在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征求出的最大值；由数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【解析】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： ， 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 所以当时，最大， 同理时，最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 二、单选题 15．在中，，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合余弦定理化简即可得解. 【解析】在中，，则， 由余弦定理得，整理得，则， 所以是直角三角形. 故选：B 16．已知，，且、不共线，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积写出其夹角的表达式，结合同角三角函数的平方式以及三角形的面积公式，可得答案. 【解析】设与的夹角为，由，则， 由，则. 故选：B. 17．对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦函数单调性判断①；根据正弦定理判断②；根据余弦定理判断③；根据两角和的余弦公式和余弦函数相关知识判断④. 【解析】对于①，若，由单调递减可知，，则为等腰三角形，故①正确； 对于②，若，则，由正弦定理可知，故②正确； 对于③，若，，，由余弦定理得，，则， 所以符合条件的有一个，故③错误； 对于④，若，则， 所以，因为，所以，所以是钝角三角形，故④正确. 综上所述，①②④正确，③错误，正确的个数为3. 故选：C 18．在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点坐标，根据向量线性运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积. 【解析】根据题意，不妨过点作的垂线，垂足为， 以为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示： 根据题意，可得坐标如下： ， 设点的坐标为，由 可得：， 故可得.则点坐标为. 设点的坐标为，由， 由向量的线性运算性质可知，点的轨迹是： 以为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界. 故可得， 故可得,则. 则以为一组邻边的平行四边形的面积 . 故选：. 【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用；需要注意，本题中，也可以通过几何方法确定点的轨迹图形，解析法只是方法之一；属综合困难题. 三、解答题 19．在中，点D在上，，. (1)求的值； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理依次求得，从而得解； （2）利用向量的线性运算与数量积的运算法则即可得解. 【解析】（1）在中，，，则， 所以 ，所以， 又，则. （2）因为，则，    所以， 又， 所以 ， 则. 20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D是线段AC上的一点，且，．求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，由题设得到，结合内角范围即得； （2）由等面积和余弦定理联立,求出即得三角形的周长. 【解析】（1）由和正弦定理，(*)， 因, 代入(*)化简得，,即， 因，故得，因,则. （2）由题意知，是的平分线.由可得， ，化简得，① 又由余弦定理，，即②， 将①代入②可得，，解得，（舍去）， 故的周长为. 21．已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式，结合正弦函数单调性求出角B. （2）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求解即得. 【解析】（1）在锐角中，，则，， 于是，即，而，则， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 由正弦定理得 ， 而，则，， 所以的取值范围是. 22．在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． (1)求的面积； (2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 直接由三角形的面积公式即可求得答案； （2）首先由等面积法可得内接圆的半径，再结合题干给的公式以及正、余弦定理即可求得外接圆半径为R. 【解析】（1）可知，即，解得． （2）可知内接圆的半径． 连接IB、OB，设，则． 不妨设外接圆半径为R，则． 由角度关系，， 因此代入有 ， 整理：． 右式 由于，因此，解得． 23．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【解析】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 24．如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β. (1)求的值； (2)若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可； （2）根据题意，由（1）知，求出取得最大值，最大值为. 【解析】（1）在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 所以， 所以， . （2）由题意知，， 所以， 由（1）知，，所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为. 25．在中，内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，且. (1)若，，求的面积； (2)若点D在线段CB上，于点E，且，当最大时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开化简即可得，再根据C的范围则得到，再利用余弦定理得到关于a的方程，解出后结合三角形面积公式即可得到三角形面积； （2）设，，通过正切定义和得，再利用两角和与差的正切公式和基本不等式即可求出的最大值，最后利用两角和与差的余弦公式计算即可． 【解析】（1）因为的内角为A，B，C，所以, 由，结合正弦定理，得， 所以，， 所以, 因为，所以，所以, 因为，所以, 因为，所以, 由余弦定理，得， 所以，解得或 （不合题意，舍去）， 所以，， 的面积. （2） 如图，设，， 则在和中，， 所以, 又，所以, 因为，所以当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为, 由于正切函数在上是增函数，所以当最大时，角最大， 故当，时，最大，此时，， . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角恒等变换的化简应用，解题的关键在于表示出和的关系，进而将消元，再利用基本不等式求出最值. 26．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. (1)求角A； (2)若，求bc的值； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）由正弦定理与和角公式即可推理计算得到； （2）设利用向量数量积定义式和等面积计算即得； （3）利用余弦定理，推理求出，将恒成立转化为在上恒成立问题，求出在上的最小值即得. 【解析】（1）由可得，， 由正弦定理，，即， 因代入可得：， 因，则，故，得； （2）设则由可得， ，整理得，①， 又由可得，， 整理得，； （3）在中，由余弦定理，，即② 分别在中，由余弦定理，， 将三个等式左右分别相加，， 将①，②代入整理得，，于是， 从而，， 依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立， 因，当且仅当时等号成立， 故有，即实数n的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合图形利用等面积得到，求得的值；多次利用余弦定理推理得到，从而求得，将不等式恒成立问题转化为求相关函数的最值问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解三角形(讲义) Ⅰ、基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） Ⅱ、相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． Ⅲ、实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 解题方法总结 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． Ⅳ、方法归纳 一、利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2，c，cosA. (1)求sinC和b的值 ； (2)求的值. 答案 (1)，1 (2) 分析 （1）由，代入即得解，利用可得，再利用正弦定理可得解； （2）先求解，利用两角和的余弦公式展开，即得解. 解析 （1）因为， 且，， 所以； 因为，且， 所以 又， 解得； （2）因为， ， 所以 方法归纳：　解三角形问题的技巧 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 二、正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1　三角形形状判断 例2　在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 答案 C 分析 由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案. 解析 由正弦定理可得， 所以， 即，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以. 故选：C. 方法归纳：　判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 命题点2　三角形的面积 例3　已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小： (2)若，求的面积． 答案 (1) (2) 分析 （1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解； （2）由和余弦定理可得，再次利用余弦定理求出a、b，结合三角形的面积公式计算即可求解. 解析 （1）， 由正弦定理得， 即， 得， 即，又， 所以，即，又， 所以； （2）由，得， 由余弦定理得，得， 所以，又， 所以. 由（1）知，， 由余弦定理得， 又，所以，由，解得， 所以，故. 方法归纳：　三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 命题点3　与平面几何有关的问题 例4　如图所示，在梯形中，，，点是上一点，，的面积为，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 答案 A 分析 设，求得，得到方程，再由的面积为，得到，联立方程组，求得的值，即可求解. 解析 由题意，设，则， 可得，整理得， 又由，即， 联立可得，联立方程组，解得， 所以. 故选：A. 方法归纳：　平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想． 三、解三角形的应用举例 命题点1　距离问题 例5　为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 答案 D 分析 画出图形，由题意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由为等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得结果. 解析 根据题意画出图形，如图所示： 由题意知，，，所以， 在中，由正弦定理得：解得， 又，，所以，， 又， 在中，由余弦定理得：， 解得，所以、两岛屿之间的距离为海里． 故选：D． 命题点2　高度问题 例6　如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高（    ）    A． B． C． D． 答案 B 分析 在中计算，然后在中计算，最后在中计算出即可. 解析 根据题意，， 在中，， 由正弦定理得， 所以， 在中，. 故选：B 命题点3　角度问题 例7　《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 答案 A 分析 由图形可知，由余弦定理求出，可得. 解析 由题意，，所以， 切线，，由切线长定理，不妨取， 又，由余弦定理， 有， . 故选：A 四、解三角形中的最值和范围问题 例8　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin C＋ccos B＝a. (1)若a＝2，b＝，求△ABC的面积； (2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围． 解　(1)∵bsin C＋ccos B＝a， ∴sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin A， ∴sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)， ∴sin Bsin C＋sin Ccos B ＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ∴sin Bsin C＝sin Bcos C， ∵sin B≠0，∴sin C＝cos C， 又易知cos C≠0， ∴tan C＝， ∵0<C<π， ∴C＝. ∵a＝2，b＝，C＝， ∴S△ABC＝absin C＝×2××sin ＝×2××＝. (2)在△ABC中，c＝2，C＝， 由余弦定理得4＝a2＋b2－ab， ∴(a＋b)2－4＝3ab≤3·2， 即(a＋b)2－4≤(a＋b)2， 即(a＋b)2≤16， ∴0<a＋b≤4，当且仅当a＝b时等号成立， 又a＋b>c＝2， ∴2<a＋b≤4，∴4<a＋b＋c≤6， 故△ABC周长的取值范围是(4,6]． 方法归纳：　解三角形中最值(范围)问题的解题策略 利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)． ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$