第一章 集合与常用逻辑用语单元测试A卷-2024-2025学年高一数学同步课堂分层作业与单元测试（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语单元测试A卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 2．命题：“∀x∈（-1，1），都有x2＜1”的否定是（（　　） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 3．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 4．若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若中有两个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B．C．或 D．或 6．设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，苏大附中语文组为了解我校学生阅读四大名著的阅读情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．70 B．60 C．50 D．10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为假命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 C．若命题某班所有男生都爱踢足球，则某班至少有一个女生爱踢足球 D．“”是一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件 10．若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 11．设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（    ） A．集合为封闭集 B．集合为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个. 13．已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 14．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设全集为R，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围． 16．已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 17．已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 18．已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 19．设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由． (2)若．证明：A不可能具有性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年08月13日数学作业 一、单选题 1．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 2．命题：“∀x∈（-1，1），都有x2＜1”的否定是（（　　） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【详解】命题是全称命题，则否定是特称命题即： ∃x∈（-1，1），使得x2≥1， 故选C． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，利用全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础． 3．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再利用集合的并交补运算即可得解. 【详解】因为，， 又， 所以，. 故选：B. 4．若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为,根据题意,故, 所以, 则,即, 当时,与集合的互异性矛盾,故舍去; 当,时,,符合题意, 所以. 故选：B. 5．已知集合，，若中有两个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意先求出集合，再由中有两个元素，列出关于的不等式组，从而可求得结果. 【详解】因为，，且中有两个元素， 所以或， 解得或， 所以实数a的取值范围是或. 故选：C 6．设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 7．关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由二次不等式恒成立求得题设条件的等价条件，再利用充要条件与集合之间的关系对选项逐一判断即可. 【详解】因为解集为， 所以当时，不等式为，显然成立，满足题意； 当时，得，即，解得， 综上：，即的解集为等价于， 对于A，因为是的真子集，所以，即是的解集为的充分不必要条件，故A正确； 对于B，易知是的解集为的充要条件，故B错误； 对于C，因为与互不包含，所以是的解集为的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，因为与互不包含，所以是的解集为的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：A. 8．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，苏大附中语文组为了解我校学生阅读四大名著的阅读情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．70 B．60 C．50 D．10 【答案】A 【分析】首先可根据题意确定《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有位，然后确定只阅读过《红楼梦》的学生共有位，最后确定只阅读过《西游记》的学生共有位，即可求出结果. 【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位， 所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有位， 因为阅读过《红楼梦》的学生共有位， 所以只阅读过《红楼梦》的学生共有位， 所以只阅读过《西游记》的学生共有位， 故阅读过《西游记》的学生人数为位， 故选：A 二、多选题 9．下列命题为假命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 C．若命题某班所有男生都爱踢足球，则某班至少有一个女生爱踢足球 D．“”是一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【分析】根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断． 【详解】时一定有成立，但时还可能有，A正确； 和都是无理数时可能是有理数，如，， 反之是无理数时，中也可能有有理数，如，是无理数，但 是有理数，B错； 命题“某班所有男生都爱踢足球”的否定应是：某班存在男生不爱足球，C错； 一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴， 则，即， 反之也成立，故它们是互为充要条件，D错． 故选：BCD. 10．若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC. 11．设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（    ） A．集合为封闭集 B．集合为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有 【答案】BD 【分析】由封闭集的定义逐一判断即可求解 【详解】对于A，在集合中， 不在集合A中，集合A不是封闭集，故A错误； 对于B，集合， 设x，，则，，，， ，，， 集合为封闭集，故B正确； 对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误； 对于D，若A为封闭集，则取得，故D正确． 故选：BD 三、填空题 12．已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个. 【答案】31 【分析】根据集合的定义确定集合中可能含有的元素，然后结合子集个数可得.. 【详解】由题意1和36同时属于或不属于集合，2和18同时属于或不属于集合，3和12同时属于或不属于集合，4和9同时属于或不属于集合，又6也可以属于或不属于集合， 因此满足题意的集合的个数为， 故答案为：31. 13．已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 14．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】// 【分析】先由题意得到“，”为真命题，讨论和两种情况，即可求出结果. 【详解】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题. 当时，集合，符合. 当时，因为， 所以由，，得对于任意恒成立， 又，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．设全集为R，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）根据交集的定义求出，求出B的补集，从而求出其和A的并集即可； （2）得到，得到关于a的不等式组，解出即可． 【详解】（1）因为，， 则， 可得或， 所以或或. （2）因为，可知，且， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 16．已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，． 当时，，或 又， ； （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 17．已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当命题为假命题时，为真，分、讨论，可得答案； （2）求出命题为假命题、真命题的范围，求出命题为真命题、为假命题的范围，分命题为假命题、为真命题，或命题为假命题、为真命题两种情况可得答案. 【详解】（1）， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）由（1）知， 若命题为假命题，则， 若命题为真命题，则或， 若命题为真命题， 则，解得或， 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，； 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或. 18．已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1），可转化个； （2），可转化成方程有两不等实根； （3），即p或q为真命题，结合（1）（2）即可得到答案 【详解】（1）若命题p为真命题，则对恒成立， 即，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. （2）若命题q为真命题，则方程有两不等实根， 所以，则，解得或. 因此，实数m的取值范围是或. （3）若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题， 则结合（1）（2）得或， 因此，实数m的取值范围是 19．设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由． (2)若．证明：A不可能具有性质． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可； （2）将分为个子集，结合抽屉原理证明结论. 【详解】（1）因为，又， 但，所以集合不具有性质， 因为，又， 但， 所以集合具有性质． （2）将集合中的元素分为如下个集合， ， 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为， 所以A不可能具有性质 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$