第1章《有理数》章节总复习（知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第1章《有理数》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+七考点讲练+难度分层真题练） 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：正数和负数 3 考点讲练2：有理数 5 考点讲练3：数轴 6 考点讲练4：相反数 7 考点讲练5：绝对值 8 考点讲练6：非负数的性质：绝对值 8 考点讲练7：有理数大小比较 9 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 13 新知精讲梳理 知识点01：正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 知识点02：有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 知识点03：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 知识点04：相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 知识点05：绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质： 正数的绝对值是它本身。 负数的绝对值是它的相反数。 0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 知识点06：有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则： 同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 高频易错知识点拨 易错点知识01：正数和负数 忽视0的位置：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 误解带负号的数：不是所有带负号的数都是负数，例如-a（当a为负数时，-a是正数）。 易错点知识02：有理数的概念 混淆有理数与整数、分数的概念：有理数不仅仅是分数，还包括整数（整数可以看作分母为1的分数）。 误解π等无理数：π等不能表示为两个整数之比的数不是有理数。 易错点知识03：数轴 忽视数轴的方向性：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点大。 误解数轴上的点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个实数，但并非所有实数都能在有限长度的数轴上精确表示。 易错点知识04：相反数 忽视相反数的成对性：相反数是成对出现的，不能单独存在。 误解0的相反数：0的相反数还是0，这一点容易在判断相反数时忽略。 易错点知识05：绝对值 误解绝对值的性质：绝对值表示的是距离，因此总是非负的。容易误解为若|b|=b，则b>0；实际上，当b≥0时，|b|=b。 忽视0的绝对值：0的绝对值是0，在这一点判断绝对值时容易忽略。 易错点知识06：有理数的大小比较 考点讲练1：正数和负数 【精讲题】（2024•船营区校级模拟）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【举一反三练1】（2023秋•平顶山期末）刚上大学的小亮8月份到银行开户，存入了600元钱月开始，家里按月给小亮生活费．由于小亮在校理性消费，所以他每月都有结余存入银行．下表为小亮从9月到12月每月与上一月存入银行的金额比较的情况（比上一月增加为正） 月份 9 10 11 12 与上一月比较元 则9月到12月中，小亮单月存钱最多的月份是　　 A．12月 B．11月 C．10月 D．9月 【举一反三练2】（2023秋•衢江区期末）为迎接校运会，需要在七年级男生中选拔彩旗队，要求彩旗队队员的标准身高为，身高在“”为合格身高．某体育老师在两个班中挑选了与标准身高接近的12名男生，如表是这12名男生的身高情况： 与标准身高的差 0 1 2 3 人数（人 3 2 3 1 2 1 （1）这12名男生中有多少人身高合格？ （2）身高合格男生的平均身高比标准身高高（或低）多少？ 【举一反三练3】（2023秋•忻州期末）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 （1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 　六　；最少的一天是星期 　　；最多的一天比最少的一天多分拣 　　万件包裹； （2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 考点讲练2：有理数 【精讲题】（2024春•兰山区校级月考）在，，，0，，中，非负数的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三练1】（2023秋•平度市校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号里： 、3.14、、、、、、0、． 正数集合 　 ； 分数集合 　　 ； 非负整数集合 　　 ． 【举一反三练2】（2023•海州区校级开学）选择合适的数填在相应的括号里（每个数只能选用一次）． 15，，1.2，，41.5． 小明是七年级学生，身高160厘米，体重 　 　千克．他每天坚持晨练30分钟，即使冬天的早上温度达到 　　，他也不怕，坚持锻炼．他沿着学校400米的跑道跑3圈，共 　　千米，大约用 　　分钟，跑步时间占整个晨练时间的 　　． 【举一反三练3】（2023秋•新洲区校级期末）定义：若有理数，满足等式，则称，是“准对称有理数对”，记作．如：数对，都是“准对称有理数对”． （1）判断数对是否为“准对称有理数对”，并说明理由； （2）是否存在，均为负数，使是“准对称有理数对”的情况，若存在，求，的值；若不存在，说明理由． 考点讲练3：数轴 【精讲题】（2023秋•德清县期末）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 　 　． 【举一反三练1】（2023秋•福田区校级期末）已知、、三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①；②；③；④中，错误的是 　（写序号） 【举一反三练2】（2023秋•紫金县期末）已知数轴上，，三点对应的数分别为、3、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． （1）若，则　1　； （2）若，求的值； （3）若点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为秒，试判断：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 【举一反三练3】（2024•峰峰矿区三模）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数　　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的，两点也重合，且，两点之间的距离为10（点在点的左侧），求，两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点，设点表示的数为．当时，直接写出的值． 考点讲练4：相反数 【精讲题】（2024•海州区校级模拟）8的相反数是　　 A． B． C． D．8 【举一反三练1】（2023秋•越秀区校级期中）3的相反数的是　　 A． B． C． D．3 【举一反三练2】（2023秋•铜川期末）如图，数轴上，两点表示的数是互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度，则点表示的数是 　　． 【举一反三练3】（2023秋•景县校级期末）已知表示数的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出的相反数的位置． （2）若数与其相反数相距20个单位长度，则表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数表示的数与数的相反数表示的点相距5个单位长度，求表示的数是多少？ 考点讲练5：绝对值 【精讲题】（2023秋•通山县期末）下列化简正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•市中区校级一模）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若．则的值是 　　． 【举一反三练2】（2023秋•锦江区校级期末）有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为 　　． 【举一反三练3】（2023秋•新罗区期中）我们已经学习了一个数的绝对值可分为两种情况： ．请用你所学的知识解决下面的问题： （1）若，求的值； （2）若数轴上表示数的点位于与0之间（含端点），化简； （3）当　 　时，取到最小值，最小值是 　　． 考点讲练6：非负数的性质：绝对值 【精讲题】（2023秋•开福区校级月考）已知． （1）求，的值； （2）已知，求的值． 【举一反三练1】（2021秋•浏阳市期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意得：、、三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当、、都是正数，即，，时， 则：； （备注：一个非零数除以它本身等于1，如：，则， ②当、、有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 的值为3或． （备注：一个非零数除以它的相反数等于，如：，则， 【举一反三练2】（2023秋•柳州期末）若，则　　． 【举一反三练3】（2023秋•灞桥区校级期中）设，其中，则的最小值为 　 ． 考点讲练7：有理数大小比较 【精讲题】（2024•柘城县校级模拟）下列各数中，最大的数是　　 A．2 B．0 C． D． 【举一反三练1】（2023秋•泗县期末）已知有理数，，在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•高港区期末）规定：用表示大于的最小整数，例如，，．用，表示，两数中较大的数，例如，．按上述规定： （1）　 　，　　； （2）若，则的取值范围是 　　； （3）如果整数满足，，求的值． 【举一反三练3】（2023秋•镇雄县期末）如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，． （1）填空：　　0，　　0，　　0．（用或或号填空） （2）化简：． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）实数m、n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A．m B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）在，，，0，，中，非负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．一个正数与一个负数的和一定是0 B．正数的绝对值大于负数的绝对值 C．两数相加，同号得正 D．相加得零的两个数一定互为相反数 4．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）化简，，，这四个数中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024七年级上·全国·专题练习）在数，，，中，有理数的个数有 个． 6．（22-23七年级上·四川成都·期中）下列各数中：1.2，，0，，1.010010001，5%，，分数有 个． 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）在下列数，，，，0，，，，中，属于负分数的是 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为 . 10．（22-23七年级上·四川眉山·期中）将，，，，，分类： (1)整数集合：{ }； (2)分数集合：{ }； (3)非正数集合：{ }； (4)非负数集合：{ }； 11．（22-23七年级上·广西南宁·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，0． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 13．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值|等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)______； (2)______； (3)如果有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：. 14．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 培优题真题汇编练 15．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 16．（21-22七年级上·河北·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 17．（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（21-22七年级上·贵州铜仁·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是___________ 20．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    21．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知，，均为有理数，且满足，，那么的值为 ． 22．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 23．（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上表示下列各数：，2，0，，4.5，0.5，，，并将它们的相反数用“”符号连接起来． 24．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数______两点间的距离； (2)表示数轴上数与数______两点间的距离； (3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和； (4)满足的所有整数的值是______． 25．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 26．（24-25七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 27．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 28．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则 ． 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 ，此时x的值为 ． ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为 ，如果，那么x的值为 ； ③式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第1章《有理数》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+七考点讲练+难度分层真题练） 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：正数和负数 3 考点讲练2：有理数 6 考点讲练3：数轴 7 考点讲练4：相反数 11 考点讲练5：绝对值 12 考点讲练6：非负数的性质：绝对值 15 考点讲练7：有理数大小比较 17 中等题真题汇编练 19 培优题真题汇编练 27 新知精讲梳理 知识点01：正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 知识点02：有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 知识点03：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 知识点04：相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 知识点05：绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质： 正数的绝对值是它本身。 负数的绝对值是它的相反数。 0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 知识点06：有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则： 同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 高频易错知识点拨 易错点知识01：正数和负数 忽视0的位置：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 误解带负号的数：不是所有带负号的数都是负数，例如-a（当a为负数时，-a是正数）。 易错点知识02：有理数的概念 混淆有理数与整数、分数的概念：有理数不仅仅是分数，还包括整数（整数可以看作分母为1的分数）。 误解π等无理数：π等不能表示为两个整数之比的数不是有理数。 易错点知识03：数轴 忽视数轴的方向性：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点大。 误解数轴上的点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个实数，但并非所有实数都能在有限长度的数轴上精确表示。 易错点知识04：相反数 忽视相反数的成对性：相反数是成对出现的，不能单独存在。 误解0的相反数：0的相反数还是0，这一点容易在判断相反数时忽略。 易错点知识05：绝对值 误解绝对值的性质：绝对值表示的是距离，因此总是非负的。容易误解为若|b|=b，则b>0；实际上，当b≥0时，|b|=b。 忽视0的绝对值：0的绝对值是0，在这一点判断绝对值时容易忽略。 易错点知识06：有理数的大小比较 考点讲练1：正数和负数 【精讲题】（2024•船营区校级模拟）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【思路点拨 】根据正负数来表示相反意义，盈利50元，记作：元，亏损30元，则记作；元即可求解． 【规范解答】解：盈利50元，记作：元， 亏损30元，记作：元． 故选：． 【考点评析】本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正负数的意义的运用． 【举一反三练1】（2023秋•平顶山期末）刚上大学的小亮8月份到银行开户，存入了600元钱月开始，家里按月给小亮生活费．由于小亮在校理性消费，所以他每月都有结余存入银行．下表为小亮从9月到12月每月与上一月存入银行的金额比较的情况（比上一月增加为正） 月份 9 10 11 12 与上一月比较元 则9月到12月中，小亮单月存钱最多的月份是　　 A．12月 B．11月 C．10月 D．9月 【思路点拨 】分别算出每个月存入的钱，进一步比较得出答案即可． 【规范解答】解：9月存入银行的金额为（元， 10月存入银行的金额为（元， 11月存入银行的金额为（元， 12月存入银行的金额为（元， 所以小亮单月存钱最多的月份是11月． 故选：． 【考点评析】本题主要考查正数和负数，解题的关键是熟练掌握有理数的加减法的运算法则． 【举一反三练2】（2023秋•衢江区期末）为迎接校运会，需要在七年级男生中选拔彩旗队，要求彩旗队队员的标准身高为，身高在“”为合格身高．某体育老师在两个班中挑选了与标准身高接近的12名男生，如表是这12名男生的身高情况： 与标准身高的差 0 1 2 3 人数（人 3 2 3 1 2 1 （1）这12名男生中有多少人身高合格？ （2）身高合格男生的平均身高比标准身高高（或低）多少？ 【思路点拨 】（1）根据身高在“”为合格身高，即可计算； （2）计算出合格男生的平均身高，与标准身高比较即可求解． 【规范解答】解：（1）由表知，与标准身高的差为或3的不合格，而这样身高的人数分别为3人与1人， 这12名男生中身高合格的有：（人； 答：这12名男生中有8人身高合格； （2）身高合格男生的平均身高为：， 而， 答：身高合格男生的平均身高比标准身高高． 【考点评析】本题考查了正负数的应用，掌握有理数四则运算的应用是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•忻州期末）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 （1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 　六　；最少的一天是星期 　　；最多的一天比最少的一天多分拣 　　万件包裹； （2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 【思路点拨 】（1）依据超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负，可知周六最多，周日最少，用最多减去最少可得差值； （2）求出本周内的分拣总量，然后再求平均值即可． 【规范解答】解：（1）由表可知： 本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六， 最少的一天是星期日， 最多的一天比最少的一天多分拣：（万件）， 故答案为：六，日，13； （2）（万件）． 答：该仓库本周实际平均每天分拣21万件包裹． 【考点评析】本题考查了正负数的实际应用、有理数的混合运算；理解正负数的实际意义并正确计算是解题的关键． 考点讲练2：有理数 【精讲题】（2024春•兰山区校级月考）在，，，0，，中，非负数的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨 】根据非负数的定义进行判断即可． 【规范解答】解：在，，，0，，中， ，0，是非负数，共3个， 故选：． 【考点评析】此题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•平度市校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号里： 、3.14、、、、、、0、． 正数集合 　3.14，，，　； 分数集合 　　； 非负整数集合 　　． 【思路点拨 】根据整数集合包括所有的正整数、0和负整数，负分数指既是负数又是分数的数，进行解答即可． 【规范解答】解：正数集合 3.14，，， 分数集合，3.14，，， 非负整数集合， 故答案为：3.14，，，；，3.14，，，；，0． 【考点评析】此题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 【举一反三练2】（2023•海州区校级开学）选择合适的数填在相应的括号里（每个数只能选用一次）． 15，，1.2，，41.5． 小明是七年级学生，身高160厘米，体重 　41.5　千克．他每天坚持晨练30分钟，即使冬天的早上温度达到 　　，他也不怕，坚持锻炼．他沿着学校400米的跑道跑3圈，共 　　千米，大约用 　　分钟，跑步时间占整个晨练时间的 　　． 【思路点拨 】根据小明的年龄和身高，晨练的季节、地点和项目选择适当的数据，进行解答即可． 【规范解答】解：小明是七年级学生，身高160厘米，体重41.5千克．他每天坚持晨练30分钟，即使冬天的早上温度达到，他也不怕，坚持锻炼．他沿着学校400米的跑道跑3圈，共1.2千米，大约用15分钟，跑步时间占整个晨练时间的， 故答案为：41.5，，1.2，15，． 【考点评析】本题主要考查了有理数，解题关键是根据实际问题选择适当数据． 【举一反三练3】（2023秋•新洲区校级期末）定义：若有理数，满足等式，则称，是“准对称有理数对”，记作．如：数对，都是“准对称有理数对”． （1）判断数对是否为“准对称有理数对”，并说明理由； （2）是否存在，均为负数，使是“准对称有理数对”的情况，若存在，求，的值；若不存在，说明理由． 【思路点拨 】（1）根据“准对称有理数对”的定义即可判断； （2）由，均为负数可得，．又由，可得，再进行判断即可． 【规范解答】解：（1），，， 是“准对称有理数对”． （2），均为负数， ，． ， ， 故不存在，均为负数，使是“准对称有理数对”的情况． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算、整式的加减求值、“准对称有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用新定义解决问题． 考点讲练3：数轴 【精讲题】（2023秋•德清县期末）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 　①④　． 【思路点拨 】根据表示数，的点在数轴上的位置可确定，与1，的大小关系，从而确定，，，的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答． 【规范解答】解：由数轴可得：，， ，，，， ，故式子①正确； ，故式子②错误； ，故式子③错误； ，故式子④正确． 正确的式子是①④． 故答案为：①④． 【考点评析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数的乘法法则，正确记忆相关知识点是解题关键． 【举一反三练1】（2023秋•福田区校级期末）已知、、三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①；②；③；④中，错误的是　②③④　（写序号） 【思路点拨 】先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出，再由相反数、绝对值的定义以及有理数的加减法法则得出结果． 【规范解答】解：由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数，可知． ①正确； ②，则一定大于2，而，所以，错误； ③，，，，③错误； ④，，错误． 故答案为②③④． 【考点评析】此题主要考查学生数轴上的点的位置和数的关系，给学生渗透数形结合的思想． 【举一反三练2】（2023秋•紫金县期末）已知数轴上，，三点对应的数分别为、3、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． （1）若，则　1　； （2）若，求的值； （3）若点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为秒，试判断：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 【思路点拨 】（1）观察数轴，可得答案； （2）根据点在点左侧或点在点右侧，分别列式求解即可； （3）分别用含的式子表示出和，再计算，即可得答案． 【规范解答】解：（1）由数轴可得：若，则； 故答案为：1； （2）， 若点在点左侧，则， ， 若点在点右侧，则， ， 的值为或5． （3）， ， ， 的值不会随着的变化而变化． 【考点评析】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键． 【举一反三练3】（2024•峰峰矿区三模）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数　　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的，两点也重合，且，两点之间的距离为10（点在点的左侧），求，两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点，设点表示的数为．当时，直接写出的值． 【思路点拨 】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论； （2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为2； ①设9表示的点所对应点表示的数为，根据中点坐标公式列方程可得的值，可得结论； ②根据折叠的性质可得结论； ③根据列出方程，求解方程可得出的值． 【规范解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与重合，折叠点对应的数为， 则表示4的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，折叠点对应的数为， ①设表示9的点与表示的点重合，于是有，解得， 即表示9的点与表示的点重合； 故答案为：； ②点表示的数为， 点表示的数为， 答：点表示的数是，点表示的数是7； ③， ， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，的值为或8． 【考点评析】本题考查数轴表示数的意义和方法，知道数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的关键． 考点讲练4：相反数 【精讲题】（2024•海州区校级模拟）8的相反数是　　 A． B． C． D．8 【思路点拨 】直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案． 【规范解答】解：8的相反数是． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 【举一反三练1】（2023秋•越秀区校级期中）3的相反数的是　　 A． B． C． D．3 【思路点拨 】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【规范解答】解：3的相反数的是， 故选：． 【考点评析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，知道正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【举一反三练2】（2023秋•铜川期末）如图，数轴上，两点表示的数是互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度，则点表示的数是 　　． 【思路点拨 】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【规范解答】解：， 则这两个数是和． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，熟记互为相反数的两个数的绝对值相等是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•景县校级期末）已知表示数的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出的相反数的位置． （2）若数与其相反数相距20个单位长度，则表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数表示的数与数的相反数表示的点相距5个单位长度，求表示的数是多少？ 【思路点拨 】（1）在数轴上表示出来即可； （2）根据题意得出方程，求出方程的解即可； （3）分为两种情况，列出算式，求出即可． 【规范解答】解：（1）如图： ． （2）， ． 即表示的数是． （3）， 当在的右边时，表示的数是， 当在的左边时，表示的数是， 即表示的数是5或15． 【考点评析】本题考查了数轴，相反数，两点间的距离的应用，关键是能根据题意列出算式和方程． 考点讲练5：绝对值 【精讲题】（2023秋•通山县期末）下列化简正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨 】根据绝对值和相反数的运算进行选择． 【规范解答】解：选项中，，故选项不符合题意； 选项中，，故选项不符合题意； 选项中，，故选项符合题意； 选项中，，故选项不符合题意， 故选：． 【考点评析】本题考查了绝对值和相反数，解题的关键是对数的绝对值和相反数进行正确地计算． 【举一反三练1】（2024•市中区校级一模）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若．则的值是 　　． 【思路点拨 】运用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 因为，且， 所以， 则． 当时， 解得． 若，则， 故舍去． 若，则， 故舍去． 当时， 则为非负数． 又因为， 所以，且是非负数，满足要求． 所以． 故答案为：． 【考点评析】本题考查绝对值，分类讨论思想的巧妙运用是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•锦江区校级期末）有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为 　　． 【思路点拨 】在原点的左侧，并且比离原点的距离远，因此．的绝对值大于的绝对值，的相反数是正的，因此，，，所以根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数得，，，去括号合并同类项得出结果． 【规范解答】解：由数轴可得， ，， ，，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了数轴，绝对值，去括号和合并同类项有关知识，是一道综合性强的题目． 【举一反三练3】（2023秋•新罗区期中）我们已经学习了一个数的绝对值可分为两种情况： ．请用你所学的知识解决下面的问题： （1）若，求的值； （2）若数轴上表示数的点位于与0之间（含端点），化简； （3）当　1　时，取到最小值，最小值是 　　． 【思路点拨 】（1）根据绝对值可得：，即可解答； （2）根据已知范围，化简绝对值，再合并即可； （3）分四种情况讨论，即可解答． 【规范解答】解：（1）， ， 解得：或； （2）数轴上表示数的点位于与0之间（含端点）， ， ； （3）当时，原式，此时的最小值为； 当时，原式，此时的最小值为； 当时，原式，此时的最小值为； 当时，原式，这时的最小值为； 综上所述当时，式子的最小值为8， 故答案为：1，8． 【考点评析】本题考查了化简绝对值，掌握去绝对值的方法是解题的关键． 考点讲练6：非负数的性质：绝对值 【精讲题】（2023秋•开福区校级月考）已知． （1）求，的值； （2）已知，求的值． 【思路点拨 】（1）根据非负数的性质列式计算即可得解； （2）根据绝对值的性质进行计算即可得解． 【规范解答】解：（1）由题意得，，， 解得，； （2），，， ， ， 或． 【考点评析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【举一反三练1】（2021秋•浏阳市期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意得：、、三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当、、都是正数，即，，时， 则：； （备注：一个非零数除以它本身等于1，如：，则， ②当、、有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 的值为3或． （备注：一个非零数除以它的相反数等于，如：，则， 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数、、满足，求的值； （2）已知，，且，求的值． 【思路点拨 】（1）读懂题意，按照题目给的解题思路求解即可： （2）利用绝对值定义以及与的大小关系确定、的值，再求代数式的值． 【规范解答】解：（1）， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时， 则； ②、、有一个为负数，另两个为正数时， 设，，， 则． 因此的值为或1． （2），，且， ，或1， 则或4． 【考点评析】本题考查了非负数的知识探究，做题关键是读懂题意，按照题目给出的思路去解决新问题． 【举一反三练2】（2023秋•柳州期末）若，则　　． 【思路点拨 】根据非负数的性质求出，的值，代入代数式求值即可． 【规范解答】解：，， ，， ，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•灞桥区校级期中）设，其中，则的最小值为 　20　． 【思路点拨 】根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解：由于，其中， ， 当时，的值最小， 此时， 故答案为：20． 【考点评析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法是正确解答的前提． 考点讲练7：有理数大小比较 【精讲题】（2024•柘城县校级模拟）下列各数中，最大的数是　　 A．2 B．0 C． D． 【思路点拨 】正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小．据此解答． 【规范解答】解：，，且， ， ， 下列各数中，最大的数是2，故正确． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较法则． 【举一反三练1】（2023秋•泗县期末）已知有理数，，在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨 】判断出，，各数的取值，再依次判断即可． 【规范解答】解：由图得，，，故错误，不符合题意； ，，，故错误，不符合题意； ，，，故错误，不符合题意； ，，故正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了数轴，绝对值的性质的应用是解题关键． 【举一反三练2】（2023秋•高港区期末）规定：用表示大于的最小整数，例如，，．用，表示，两数中较大的数，例如，．按上述规定： （1）　4　，　　； （2）若，则的取值范围是 　　； （3）如果整数满足，，求的值． 【思路点拨 】（1）根据新定义，即可求解； （2）根据新定义，即可求解； （3）分两种情况讨论：当，即时，当，即时，结合新定义，即可求解． 【规范解答】解：（1），； 故答案为：4；． （2）， 的取值范围是：． 故答案为：． （3）当，即时，，， 整数满足，， ， 解得：； 当，即时，，， 整数满足，， ， 解得：； 综上所述，或． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握求解步骤是关键． 【举一反三练3】（2023秋•镇雄县期末）如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，． （1）填空：　　0，　　0，　　0．（用或或号填空） （2）化简：． 【思路点拨 】（1）根据数轴上，右边的数总比左边的大和有理数的加法法则判断即可； （2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可． 【规范解答】解：（1）由数轴得：， ， 由数轴得：，，， ， 由数轴得：， ， 故答案为：，，； （2）由数轴得：， ， 原式 ． 【考点评析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）实数m、n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A．m B． C． D． 【答案】A 【思路点拨 】本题考查化简绝对值问题，先根据m、n在数轴上的位置判断出m、n的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求解即可． 【规范解答】∵由图可知，，， ∴， ∴原式． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）在，，，0，，中，非负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨 】此题考查了有理数的分类，先根据有理数的乘方及绝对值化简原数，再根据非负数的定义进行判断即可． 【规范解答】解：在，，，0，，中， ，0，是非负数，共3个， 故选：B． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．一个正数与一个负数的和一定是0 B．正数的绝对值大于负数的绝对值 C．两数相加，同号得正 D．相加得零的两个数一定互为相反数 【答案】D 【思路点拨 】本题考查了有理数的加法、相反数、绝对值等知识点，理解加法法则是解决本题的关键． 可通过举反例的办法判断对错． 【规范解答】解：例如与的和是不等于0，故选项A错误； ，故选项B错误； 两个负数相加，其和为负，故选项C错误； 互为相反数的两数的和是0，故选项D正确． 故选：D． 4．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）化简，，，这四个数中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨 】本题主要考查了有理数运算、负数的判定等知识，正确化简个数是解题关键．首先化简各数，然后确定负数的个数，即可获得答案． 【规范解答】解：∵，，，， ∴负数的个数为2个． 故选：B． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）在数，，，中，有理数的个数有 个． 【答案】3 【思路点拨 】本题考查有理数的定义，熟知有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，据此判定即可． 【规范解答】解：有理数有：，，，因此有3个， 故答案为：3． 6．（22-23七年级上·四川成都·期中）下列各数中：1.2，，0，，1.010010001，5%，，分数有 个． 【答案】5 【思路点拨 】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．根据分数包括正分数和负分数解答即可． 【规范解答】解：在实数1.2，，0，，1.010010001，5%，中， 分数有1.2，，1.010010001，5%，，共5个． 故答案为：5． 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 【答案】 ，，6， ，， 【思路点拨 】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 根据正数与负数的特征可判定求解． 【规范解答】解：在，，，0，，，6，中， 正数，，6，；负数有，，． 故答案为：，，6，，，， 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）在下列数，，，，0，，，，中，属于负分数的是 ． 【答案】，， 【思路点拨 】本题考查有理数的分类，小数、百分数均属于分数，据此求解即可． 【规范解答】解：，，，，0，，，，中，属于负分数的有：，，， 故选答案为：，，． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为 . 【答案】/ 【思路点拨 】本题主要考查了数轴，有理数的比较大小．观察数轴可得，再由，可得，即可求解． 【规范解答】解：观察数轴得：， ∵， ∴． 故答案为：. 10．（22-23七年级上·四川眉山·期中）将，，，，，分类： (1)整数集合：{______…}； (2)分数集合：{______…}； (3)非正数集合：{______…}； (4)非负数集合：{______…}； 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，，． 【思路点拨 】本题考查了整数、分数、非正数、非负数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、分数、非正数、非负数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【规范解答】（1）整数集合：{，，，…} 故答案为：，，； （2）分数集合：{，，，…} 故答案为：，，； （3）非正数集合：{，，，…} 故答案为：，，； （4）非负数集合：{，，，，…} 故答案为：，，，． 11．（22-23七年级上·广西南宁·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，0． 【答案】数轴见解析； 【思路点拨 】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【规范解答】解：，，， 把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【思路点拨 】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【规范解答】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 13．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值|等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)______； (2)______； (3)如果有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：. 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【思路点拨 】此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键. （1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）判断的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值. 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：∵, 即, ∴， 故答案为：； （4）解： ． 14．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【思路点拨 】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 【规范解答】（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 培优题真题汇编练 15．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 【答案】A 【思路点拨 】本题考查了用数轴上的点表示有理数，解题的关键是用数形结合的思想去解题． 先计算出点A、B表示的数，再与比较大小，即可得出答案． 【规范解答】解：由题可知，数轴上点C表示的数是2，点A，B到点C的距离均为4个单位长度， ∴点A表示的数为，点，B表示的数为， ∵， ∴数轴上表示的点落在点A左侧， 故选：A． 16．（21-22七年级上·河北·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【思路点拨 】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【规范解答】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 17．（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨 】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质、相反数的意义逐项判断即可求解，掌握有理数的大小比较法则和绝对值的性质是解题的关键． 【规范解答】解：、∵，，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：． 18．（21-22七年级上·贵州铜仁·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨 】本题考查了数轴，有理数的运算，先由数轴判断出的符号及大小，再根据有理数的运算法则和相反数的定义逐项判断即可求解，由数轴确定出的符号及大小是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴， ∴正确的结论为， 故选：． 19．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是___________ 【答案】5/11 【思路点拨 】本题考查了数轴，先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点求出C点表示的数；能根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 【规范解答】解：设是点的对应点， 由题意可知点是和的中点， 当点在的右侧，， 表示的数为， 那么C表示的数为：；， 当点在的左侧， ， 表示的数为， 那么C表示的数为：， 故答案：5或11． 20．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【答案】或/或 【思路点拨 】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点运动到点右侧时”和“当点运动到点左侧时”两种情况讨论，根据“点到点的距离与点到点的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【规范解答】解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 21．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知，，均为有理数，且满足，，那么的值为 ． 【答案】2或10 【思路点拨 】本题考查了绝对值的性质，求绝对值的值．根据绝对值的性质，求得和，得到，再分类讨论，计算即可求解． 【规范解答】解：，， ，， ，， ， 于是可分类计算： ①， ②， ③， ④； 综上，的值为2或10． 故答案为：2或10． 22．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【思路点拨 】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由可得，结合可得，，，再进一步解答即可． 【规范解答】解：， ， ， ∴ ， ，，， ，，， ， ． 故答案为： 23．（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上表示下列各数：，2，0，，4.5，0.5，，，并将它们的相反数用“”符号连接起来． 【答案】数轴见解析， 【思路点拨 】本题主要考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，将题目中的数据标在数轴上，根据数轴左边的数总是小于右边的数将各数用大于号连接起来，正确表示出各数是解题的关键． 【规范解答】解：在数轴上表示如下： 各数的相反数分别为：5，，0，，，，，， 它们的相反数用“”符号连接为：． 24．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数______两点间的距离； (2)表示数轴上数与数______两点间的距离； (3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和； (4)满足的所有整数的值是______． 【答案】(1) (2) (3)，2 (4)，，，0，1，2 【思路点拨 】此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）根据绝对值的几何意义即可解答； （4）根据与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，使得成立的整数可以是和2之间的任意一个整数（包括和2），由此可解． 【规范解答】（1）解：由题意可知，表示8与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：5； （2）解：由题意可知，，表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：； （3）解：由题意可知，表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示数轴上数与数的距离和数与数2的距离的和， 故答案为：，2； （4）解：由题意知，表示数轴上有理数x所对应的点到和数与数2的距离之和为5， ， ， 满足等式成立的所有整数x的值为：，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2． 25．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【思路点拨 】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【规范解答】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 26．（24-25七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【思路点拨 】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【规范解答】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 27．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【思路点拨 】（）根据伴随点的定义，求出，进而得出点的值； （）根据伴随点的定义，列出关于点的方程 ，代入即可求的得值； （）随着两点运动的情况，分四种情况讨论，列出关于的方程，求出值即可； 本题考查了新定义下数轴上两点之间的距离，根据新定义列出方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意得，， ∴， ∴点表示的数是 ∴点关于原点的伴随点表示的数是； （2）解：根据题意得，， 即， 根据数轴有， ∴可化为，， 解得； （3）解：根据题意得：点秒后的位置为，点秒后的位置为，点表示的数是， 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即 ， ∵， ∴， 解得不合，舍去， 故点关于点的伴随点是点不存在； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得； 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 综上：或或． 28．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则 ． 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 ，此时x的值为 ． ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为 ，如果，那么x的值为 ； ③式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 【答案】概念延伸：①3，3；②3，3；③4，4 归纳总结： 拓展应用：①0，1；②，或1；③有最小值，最小值为3 【思路点拨 】本题为新定义问题，考查了绝对值概念的进一步理解．理解题意，根据绝对值的概念，结合题目的概念延伸，逐步理解即可求解． 概念延伸：①根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； ②根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； ③根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； 归纳总结：根据概念延伸规律可以得到数轴上两点间的距离等于表示这两个点的有理数的差的绝对值，据此即可求解； 拓展应用 ①根据绝对值的非负性可以得到的最小值为0，进而即可求出x的值为1； ②根据归纳总结的内容即可得到，根据绝对值的化简即可求出x的值为或1； ③根据绝对值的意义得到表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和，据此即可求出当时， 最小值为3． 【规范解答】解：概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3，； 故答案为：3，3； ②数轴上表示和的两点之间的距离是3，； 故答案为：3，3； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是4，． 故答案为：4，4； 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则． 故答案为：； 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 0，此时x的值为1． 故答案为：0，1 ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为，如果，那么x的值为或1； 故答案为：，或1； ③∵， ∴表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和， 所以当时，此时的值最小，最小值为3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$