精品解析：黑龙江哈尔滨市巴彦县华山乡中学2023-2024学年八年级下学期期末模拟数学试题（一）

2023-2024学年度八年级下期末模拟测试（一）（人教版） 数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷（选择题）（共30分，每题3分） 涂卡 一、单选题 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是正比例函数的是（ ） A B. C. D. 3. 将沿y轴向上平移1个单位得到的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 在 中， ，那么∠A的度数是（ ） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° 5. 排球队12名队员年龄情况如下： 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这12名队员年龄的众数、中位数分别是 ( ) A 19岁，20岁 B. 19岁，19岁 C. 19岁，2岁 D. 20岁，19岁 6. 若对角线相交于点O，点E中点，若，则长为（ ） A 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，点A在轴的正半轴上，的平分线交于点，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，于于，平行四边形的周长为（　　） A. B. C. 20 D. 12 9. 已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的2倍；③；④，其中正确的结论个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷（非选择题）（共30分，每题3分） 二、填空题 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a=6，b=8，则c=________． 12. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 13. 计算=_______． 14. 若将直线的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位所得直线解析式是______ ． 15. 如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米 16. 如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则________． 17. 如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为________． 18. 如图矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=__． 19. 在中，，，边上的高为2，则的长为______． 20. 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，则AE＝_____． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 先化简，再求值：，其中. 22. 图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求（1），（2），（3）的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合． （1）画一个底边为4，面积为8的等腰三角形； （2）画一个面积为10的等腰直角三角形； （3）画一个面积为12的平行四边形． 23. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　，图①中m的值是　　　　； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 24. 如图，中，，E、F分别是上的点，且，连接交于O． （1）求证：； （2）若，延长交的延长线于G，当时，求的长． 25. 某学校正在推进课堂信息化建设，希望通过采购一体机，提高学校硬件设备水平，更好辅助教师教学，现有，两种型号英寸的教学一体机，若购买台型一体机，台型一体机需要万元；台型一体机，台型一体机需要万元． （1）请问每台，型一体机售价各是多少万元； （2）现需要采购一体机共台，并且按照学校现有的设备匹配发现购进型一体机不超过台，请问怎么安排采购方案，能使得本次采购费用最少． 26. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 27. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度八年级下期末模拟测试（一）（人教版） 数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷（选择题）（共30分，每题3分） 涂卡 一、单选题 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故符合题意； B、是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义进行逐一判断即可 【详解】解：A、是正比例函数，符合题意； B、不是正比例函数，不符合题意； C、不是正比例函数，不符合题意； D、不是正比例函数，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做正比例函数． 3. 将沿y轴向上平移1个单位得到的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的性质即可得出结论． 【详解】解：将的图象沿y轴向上平移1个单位， 则平移后所得图象的解析式是：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键． 4. 在 中， ，那么∠A的度数是（ ） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质：对角相等，邻角互补． 5. 排球队12名队员年龄情况如下： 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这12名队员年龄的众数、中位数分别是 ( ) A. 19岁，20岁 B. 19岁，19岁 C. 19岁，2岁 D. 20岁，19岁 【答案】A 【解析】 【分析】19出现了4次，次数最多，根据众数的概念即可得到这12名队员年龄的众数；这组数据共有12个，第6和第7个数分别为20，20，所以这12名队员年龄的中位数为它们的平均数． 【详解】解：19出现了4次，次数最多，所以这12名队员年龄的众数为19岁； 共有12个数据，最中间两个数分别为20，20， 所以这12名队员年龄的中位数为岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的概念． 6. 若对角线相交于点O，点E是中点，若，则长为（ ） A 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到，推出是的中位线，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，点A在轴的正半轴上，的平分线交于点，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质证得，设，则，由勾股定理得出，求出，则可得出答案． 【详解】解：设与y轴交于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∵平方， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形中，于于，平行四边形的周长为（　　） A. B. C. 20 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形内角和可得，根据平行四边形得性质可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得即可得出，即可求出平行四边形的周长． 详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长=． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，直角三角形的性质． 9. 已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数，随着的增大而增大， ∴． ∵， ∴， ∴此函数图象经过一、三、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知函数（）中，当，时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键． 10. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的2倍；③；④，其中正确的结论个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由图象所给信息对结论判断即可． 【详解】解：由图象可知当时，甲、乙两人在A、B两地还未出发， 故A，B之间的距离为，故①正确； 前为甲、乙的速度和行走了， 故， 由图象可知乙用了走完了， 则， 则， ，故②错误； 又∵两人相遇时停留了， ∴两人相遇后从开始继续行走，由图象时的拐点可知，到乙到达目的地， 则两人相遇后行走了，两人之间的距离为（米）， 则，故③正确； 从开始甲独自行走， 则 ， 故，故④正确； 综上所述①③④正确，共有三个结论正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，路程、时间与速度的关系，正确理解函数图象得到相关信息并运用数形结合的思想是解题的关键． 第II卷（非选择题）（共30分，每题3分） 二、填空题 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a=6，b=8，则c=________． 【答案】10 【解析】 【详解】根据勾股定理 c为三角形边长，故c=10. 12. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】. 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 13. 计算=_______． 【答案】 【解析】 【分析】化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解： 详解】解：． 故答案为：． 14. 若将直线的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位所得直线解析式是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线与轴的交点坐标，将点先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到平移后的点坐标，再设平移后的直线解析式为，利用待定系数法求解析式即可． 详解】解：当时，， 直线经过点， 将点先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 设平移后的直线解析式为， 代入点， 得， 解得， 平移后的直线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，熟练掌握直线的平移特点和待定系数法是解题的关键． 15. 如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，米，米， ， 米， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16. 如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 17. 如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换及勾股定理，熟知折叠是种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是翻折而成， ∴，，是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 故答案为：6． 18. 如图矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=__． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF-∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°， ∵∠ACG=∠AGC， ∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°， ∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°， ∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°， 在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2， 由勾股定理，AB=． 【点睛】1.矩形的性质；2.等腰三角形的判定与性质；3.含30度角的直角三角形；4.直角三角形斜边上的中线；5.勾股定理． 19. 在中，，，边上的高为2，则的长为______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当为锐角三角形或钝角三角形时，分别画出相应的图形，结合勾股定理解答． 【详解】解：分两种情况讨论，当为锐角三角形时，如图 ∵，，， ∴， 中，， ∴； 当为钝角三角形时，如图， ∵，，， ∴， 中，， ∴； 即或3． 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 20. 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，则AE＝_____． 【答案】20 【解析】 【分析】首先证明DG=BG=AG，CG=GF，设CG=GF=x，AG=BG=DG=y．构建方程组即可解决问题． 【详解】解：∵CD=CB，∠ACB=∠ACD，CA=CA， ∴△CAB≌△CAD（SAS）， ∴AD=AB，∠DAC=∠BAC， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∴∠DAC=∠BAC=45°， ∵CD=CB，AD=AB， ∴AC垂直平分线段BD， ∴DG=BG=AG， ∵AC=DF， ∴CG=GF， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC=∠BGC=∠AGF=90°， ∴∠BCG+∠CBG=90°，∠BCG+∠FAG=90°， ∴∠CBG=∠FAG， ∵BG=AG， ∴△BGC≌△AGF（ASA）， ∴AF=BC=CE+BE=5+12=17， 设CG=GF=x，AG=BG=DG=y． ① ∵ ② ①×12得到：172×12=12x2+12y2， ②×17得到172×12=17y2-17xy， ∴12x2+12y2=17y2-17xy， ∴12x2+17xy-5y2=0， ∴（3x+5y）（4x-y）=0， ∵3x+5y≠0 ∴y=4x， ∴12×17=4x×3x， ∴x2=17， 连接CF，可得CF2=2x2=34， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，根据勾股定理建立方程组是解题的关键． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解． 【详解】解：原式= 将代入原式得． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则． 22. 图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求（1），（2），（3）的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合． （1）画一个底边为4，面积为8的等腰三角形； （2）画一个面积为10的等腰直角三角形； （3）画一个面积为12的平行四边形． 【答案】图见详解 【解析】 【分析】（1）底边长为4，面积为8，即高也要为4，所以就从网格中找一条为4的底边，找这个边的垂直平分线上距离底边也为4的点，即是三角形的顶点； （2）面积为10的等腰直角三角形，根据三角形的面积公式可知，两直角边要为，那就是找一个长为4，宽为2的矩形的对角线为直角边，然后连接斜边； （3）画一个面积为12的矩形后再通过平移一对对边得到平行四边形． 【详解】 23. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　，图①中m的值是　　　　； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【答案】（1）50； 32；（2）16；10；15；（3）608人． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量：4+16+12+10+8=50（人）；根据扇形统计图得出m的值：； （2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可． （3）根据样本中捐款10元的百分比，从而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【详解】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人）， m=100-20-24-16-8=32； 故答案为：50； 32． （2）∵， ∴这组数据的平均数为：16． ∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次， ∴这组数据的众数为：10． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15， ∴这组数据的中位数为：， （3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%， ∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数有1900×32%=608人． ∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608人． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 24. 如图，中，，E、F分别是上的点，且，连接交于O． （1）求证：； （2）若，延长交的延长线于G，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）通过证明和全等即可求得； （2）由是等腰直角三角形，得出，因为得出，所以与都是等腰直角三角形，从而求得的长和，然后等腰直角三角形的性质即可求解 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵  ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ 在等腰中 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握各图形的性质是解题的关键 25. 某学校正在推进课堂信息化建设，希望通过采购一体机，提高学校硬件设备水平，更好的辅助教师教学，现有，两种型号英寸的教学一体机，若购买台型一体机，台型一体机需要万元；台型一体机，台型一体机需要万元． （1）请问每台，型一体机售价各是多少万元； （2）现需要采购一体机共台，并且按照学校现有的设备匹配发现购进型一体机不超过台，请问怎么安排采购方案，能使得本次采购费用最少． 【答案】（1）每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元； （2）购买台型一体机，台型一体机时采购费用最少． 【解析】 【分析】（1）设每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元，根据“购买台型一体机，台型一体机需要万元；台型一体机，台型一体机需要万元”列出方程组，解方程组即可； （2）设学校购进型一体机台，则购进型一体机台，采购费用为元，根据总费用等于，型一体机的费用之和列出函数解析式，根据自变量的取值范围和函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元， 根据题意得：， 解得:， 答：每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元； 【小问2详解】 设学校购进型一体机台，则购进型一体机台，采购费用为元， 根据题意得：， ，， 当时，有最小值，最小值为， 此时型一体机台， 购买台型一体机，台型一体机时采购费用最少． 【点睛】本题主要考查的二元一次方程组应用、一次函数的应用，根据题意得到与的函数关系式是解题的关键． 26. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 【答案】（1）见详解； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； （2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长； （3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：过点作于， 由折叠可知：，， 在中，，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形的周长； （3）解：过点作，交的延长线于，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在 中，． 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键． 27. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）（1）中结论仍然成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【小问1详解】 如图1，连接，延长交于， 四边形是菱形，， ，都是等边三角形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， 同理可证是等边三角形， ， ，即 又， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 （1）中结论仍然成立，理由如下： 如图2，连接， ，为等边三角形， 在和中，，， 又， ， ， ，， 设与交于点， 同理可得， ， 又， ． 【小问3详解】 如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ， ， ， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形，， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$