精品解析：广东省肇庆市德庆县香山中学2023-2024学年高一下学期5月第二次段考数学试卷

2023-2024学年高一第二学期第二次段考数学试卷 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数： 9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0 9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2 若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的平均数为（ ） A. 9.075 B. 9.05 C. 9.025 D. 9 2. 若复数(是虚数单位)的共轭复数是，则( ) A. B. C. D. 3. 已知事件A与事件B互相独立，且，则（　　） A. 0.06 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.56 4. 样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 5. 某地质勘探单位从甲､乙､丙､丁､戊5人中选取2人到某矿区进行地质勘探，则甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若A与B相互独立，则 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若平面向量满足，则 11. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ） 参考公式： A. 抽取的样本里男生有60人 B. 每一位学生被抽中的可能性为 C. 估计该学校学生身高的平均值为170 D. 估计该学校学生身高的方差为236 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，那么______． 13. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 14. 已知的三边长，则的面积为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图. （1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率. 17. 已知的角、、所对的边分别是，，，设向量，，. （1）若，判断的形状； （2）若，边长，，求的面积. 18. 某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 19. 成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． （1）若米，求的长； （2）绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高一第二学期第二次段考数学试卷 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数： 9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0 9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2 若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的平均数为（ ） A. 9.075 B. 9.05 C. 9.025 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的公式直接计算即可. 【详解】由题意去掉的数据有：9.3，9.2，8.7，8.8， 所以剩下8个分数的平均数为. 故选：C 2. 若复数(是虚数单位)的共轭复数是，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算出z，再根据共轭复数的概念即可计算出结果． 【详解】， ∴， ∴． 故选：D． 3. 已知事件A与事件B互相独立，且，则（　　） A. 0.06 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.56 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】因为事件A与事件B互相独立，且， 则. 故选：D. 4. 样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】将数据从小到大排序可得，共8个样本数据， 则上四分位数即第百分位数为，即为. 故选：D 5. 某地质勘探单位从甲､乙､丙､丁､戊5人中选取2人到某矿区进行地质勘探，则甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】从甲､乙､丙､丁､戊5人中选取2人的所有等可能结果有：甲乙､甲丙､甲丁､甲戊､乙丙､乙丁､乙戊､丙丁､丙戊､丁戊，共10种， 其中甲被选中的结果有甲乙､甲丙､甲丁､甲戊，共4种， 故所求概率为，故选D. 故选：D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取特值可排除B，C；判断为奇函数可排除D，即可得出答案. 【详解】当时，，故排除选项C； 当时，，故排除选项B； 令，则在上恒成立， 函数在区间上是奇函数，其函数图象关于原点对称， 故排除选项D，A选项正确. 故选：A. 7. 已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，利用投影向量求解公式得到答案. 【详解】平面向量， ， 所以向量在上的投影向量为． 故选：C． 8. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式及三角函数的周期性计算即可. 【详解】， 由正弦函数的周期性公式知最小正周期为. 故选：B 二、多选题（共3小题，每小题6分共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若A与B相互独立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析计算得解. 【详解】对于A，A与B互斥，则，A错误； 对于B，A与B互斥，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，A与B相互独立，则，D正确. 故选：BD 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若平面向量满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量模的意义判断A；利用相反向量的定义判断B；结合正方体的结构特征及相等向量的定义判断C；利用相等向量的定义判断D. 【详解】对于A，模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B，向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C，在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：BCD 11. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ） 参考公式： A. 抽取的样本里男生有60人 B. 每一位学生被抽中的可能性为 C. 估计该学校学生身高的平均值为170 D. 估计该学校学生身高的方差为236 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项. 【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确； 对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确； 对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误； 对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确. 故选：ABD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，再根据二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为，所以， . 故答案为：. 13. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 14. 已知的三边长，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出一角，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】由余弦定理有， 又，所以， 所以的面积. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解； （2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围． 【小问1详解】 是纯虚数， 故，解得. 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 16. 本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图. （1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率. 【答案】（1）平均数为75.5，分位数为88； （2）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求出后，再由平均数，百分数的算法求出即可； （2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可； 【小问1详解】 由，解得. 该校高三学生期初数学成绩的平均数为. 前3组的频率和为，所以分位数为. 【小问2详解】 分层抽样抽取的6人中，的有人，记为 的有人，记为， 从6人中任取2人，基本事件有，共15种， 其中2人分数都在的有共6种， 所以从6人中任取2人，分数都在的概率为. 17. 已知的角、、所对的边分别是，，，设向量，，. （1）若，判断的形状； （2）若，边长，，求的面积. 【答案】（1）为等腰三角形或直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直向量数量积为0，结合正弦定理与正弦二倍角公式与三角形内角关系判断即可； （2）由向量平行公式可得，再结合余弦定理可得，进而求得面积. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 由正弦定理，得，所以， 又为三角形内角，所以或， 即或. 所以为等腰三角形或直角三角形 【小问2详解】 因为，由题意，故，即. 由余弦定理，又，， 故，则， 故，则，或（舍）， 所以 18. 某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）令甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，由，，根据相互独立事件性质可求解； （2）令甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，即三个家庭中有一个家庭回答错误或者三个家庭都回答正确 则：，代入第一问数据即可. 【小问1详解】 设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件， 根据题意，则有，则， 又，所以，即， 又，所以. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和. 【小问2详解】 设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件， 则有 ， 所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为. 19. 成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． （1）若米，求的长； （2）绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）记，由正弦定理得，可得由辅助角公式可得答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得 ， 所以米； 【小问2详解】 因为，所以，记， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 其中， 所以当时，的最大值为米. 即游客所走路程的最大值为米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $