第1章 有理数知识归纳与题型突破（18类题型清单）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第1章 有理数知识归纳与题型突破（18类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点二：有理数的分类 (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 知识点三：数集 把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称为数集。所有有理数组成的数集叫做有理数集；所有整数组成的数集叫做整数集；所有正数组成的数集叫做正数集，等。 一般用将一个数集里的所有数都写在大括号里或放在一个圆圈中的方式来表示这个数集。 知识点四：数轴 数轴的画法 第一步：画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点O，叫做原点，用这点表示数0；（相当于温度计上的0℃。） 第二步：规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来）。相反的方向就是负方向；（相当于温度计0℃以上为正，0℃以下为负。） 第三步：适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在0的右面取一点表示1，0与1之间的长就是单位长度。（相当于温度计上1℃占1小格的长度。） 在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示–1，–2，–3，…。 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。 链接课件素材20302，动态演示各种类型的数轴。认识和掌握判断一条直线是不是数轴的依据。 温度计里的大小：观察温度计的刻度，发现上边的温度总比下边的高。类似地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 知识点五：相反数与绝对值 1.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number) （1）一般的，互为相反数。这里，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0 （2）特别的，0的相反数是0 （3）互为相反数的两数之和为0 （4）互为相反数的两数在数轴上的对应点离原点距离相等。 2.绝对值的定义：一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值(absolute value)，记作 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即： 互为相反数的两数的绝对值相等。 知识点六：有理数的大小比较 （1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数 （2）两个负数，绝对值大的反而小 （3）数轴上两个点表示的数，右边的数大于左边的数 知识点七：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点八：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点九：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点十：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 知识点十一：有理数的乘除 1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0. 说明：进行有理数的乘法时，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 2.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。（数a（a≠0）的倒数是什么？a（a≠0）的倒数是，0没倒数。 注： （1）当a（a≠0）为整数时，倒数为； (2)当a为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求； (3)正数倒数为正，负数倒数为负； (4)倒数等于本身的数是1，-1； (5)相反数等于本身的数是0； (6)绝对值等于本身的数是非负数 3.多个有理数相乘的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0． 4.有理数乘法运算律: (1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 式子表达为：ab=ba. (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．式子表达：(ab)c=a(bc)． (3）分配率:一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。 式子表示为：a(b+c)=ab+ac (a,b,c为任意有理数) 5.有理数的除法法则：（1）除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数 (2) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的数,都得0。 知识点十二：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 03 题型归纳 题型一　正数和负数 1．在数，，，，1中，负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列四个数中，是负数的是（    ） A．0 B． C． D．7 3．如图所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（    ） A．223 B． C．263 D． 巩固训练 1．下列语句中正确的有     个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 3．读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 题型二　相反意义的量 1．规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作（　　） A． B． C． D． 2．下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．气温上升和零下 B．胜2局和负4局 C．身高增加和体重下降 D．向上和向右 3．如图，这是小伟国庆期间的支付情况，表示的意思是（    ）     零钱明细: 红包 10月2日　14:39 余额：669．27 转账 10月1日　13:20 余额：769．27 A．发出100元红包 B．余额100元 C．收入100元 D．抢到100元红包 巩固训练 1．中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．卖掉20吨粮食 B．运出20吨粮食 C．吃掉20吨粮食 D．亏损20吨粮食 2．唐朝是一个诗人辈出的时代，李白、杜甫、白居易等为我们留下了不朽的篇章，杜甫出生于公元712年，白居易出生于公元772年记作年，那么李白出生于 记作年． 3．某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 题型三　有理数的概念与分类 1．下列说法中，正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数 C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数 2．在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．下列各数：3，，，0，，（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 巩固训练 1．下列各数：，，，，是无理数的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．在，， 0，（每两个1之间依次多2），中， 无理数有 个． 3．把下列各数填在相应的大括号内： 1，，，25，0，，，． (1)整数集合{_______________}； (2)负分数集合{_______________}； (3)正有理数集合{_______________}． 题型四　正负数的实际应用 1．化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．某大米包装袋上标注着“净含量”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（    ） A． B． C． D． 3．为了保持乐器的音准，演奏者常常需要使用调音器进行调音，如图所示是某调音器软件的界面，现在指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦，下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在中间0处为标准音）的是（    ） A．25 B．10 C． D． 巩固训练 1．机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下：．其中不合格的零件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是 ． 0 0 3．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 题型五　用数轴上的点表示有理数 1．在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若O是中点，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 2．如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 3．如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 巩固训练 1．数轴上点M到表示的点的距离是5，则点M表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或5 2．在数轴上把5对应的点移动3个单位长度后所得的对应点表示的数是 ． 3．请把下面不完整的数轴补充完整，把下列各数：，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 题型六　数轴上点的距离 1．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 2．如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ）      A． B． C． D． 3．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1），刻度尺上“0”和“3”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D．1.6 巩固训练 1．数轴上表示整数的点叫作整点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画出一条长度为的线段，则线段盖住的整点个数为（   ） A．2025个 B．2024个 C．2025或2024个 D．2024或2023个 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段，则盖住的整数点的个数共有 个． 3．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 题型七　数轴的动点问题 1．A 为数轴上表示 的点，将点 A 沿着数轴向右移8个单位长度后，再向左移动4个单位长度到点 B，则点B表示的数为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是（   ）. A． B． C．或 D．或 3．如图，一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，将半径为1的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 3．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 题型八　相反数相关知识 1．若一个数的绝对值的相反数是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 2．若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D．3 3．下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 巩固训练 1．数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 2．设与互为相反数，则 ． 3．若与互为相反数，求的值 题型九　利用绝对值比较有理数的大小 1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，，1的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则从大到小的顺序为 ．    3．把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 题型十　化简绝对值 1．数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 2．如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 巩固训练 1．若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 2．a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 3．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 题型十一　绝对值非负性 1．如果，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 巩固训练 1．若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 2．已知，则 ． 3．已知． (1)求的值． (2)求的值． 题型十二　有理数的加减法运算 1．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 巩固训练 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1) (2) (3) (4)． 3．利用加法运算律计算各题． (1) (2) 题型十三　有理数的乘除法运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十四　含乘方的有理数运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算：． 3．计算 (1) (2) 巩固训练 1．计算：． 2．计算 (1)； (2)． 3．计算：． 题型十五　有理数运算的实际应用 1．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，1，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为（　　） A． B． C． D．3 2．某地电话拨号入网有两种收费方式：①计时制：元/分；②包月制：50元/月．此外，每一种上网方式都得加收通信费元/分．某用户估计一个月上网时间为1000分钟，你认为采用哪种收费方式较为合算（    ） A．计时制 B．包月制 C．两种一样 D．不确定 3．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．若在该快递公司寄一件9千克的物品，则需要付费（   ） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 巩固训练 1．某校食堂买了5袋白菜，以每袋千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（    ） A．千克 B．2千克 C．千克 D．千克 2．如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 3．2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． (1)A站至F站的票价是多少元？ (2)王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 题型十六　程序流程图与有理数计算 1．下图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为30，则输出的结果为（    ） A．100 B．120 C．150 D．420 2．如图所示为利用计算机编制的工作程序．若输入的数是3，则输出的数为（　　）    A． B．92 C． D．116 3．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 巩固训练 1．按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 2．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 3．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 题型十七　算“24”点 1．在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 2．“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 3．如果一个整数与，，这三个数，通过加、减、乘，除运算可以添加括号组成算式，能使结果等于，那么这个整数就称为可用的．在，，，，，，，，，这十个数中，可用的数有 个． 巩固训练 1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2．“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 3．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 题型十八　科学记数法 1．5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是 ． 2．中国华为麒麟处理器是采用纳米制作工艺的手机芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸上塞进了个晶体管，将用科学记数法表示为 ． 3．为庆祝党的二十大胜利召开，大型电视专题片《领航》隆重上映，这部专题片让人们在时代光影之中真切感受到祖国日新月异的变化．截止10月17日，相关视频内容及宣传报道，点击率达1666000000次．将数1666000000用科学记数法表示为 ． 巩固训练 1．拒绝餐桌浪费，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省万斤，这些粮食可供万人吃一年．万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 3．某农科所要在长为、宽为的长方形试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种粮食需要一块边长为的正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育多少种新品种粮食？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数知识归纳与题型突破（18类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点二：有理数的分类 (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 知识点三：数集 把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称为数集。所有有理数组成的数集叫做有理数集；所有整数组成的数集叫做整数集；所有正数组成的数集叫做正数集，等。 一般用将一个数集里的所有数都写在大括号里或放在一个圆圈中的方式来表示这个数集。 知识点四：数轴 数轴的画法 第一步：画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点O，叫做原点，用这点表示数0；（相当于温度计上的0℃。） 第二步：规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来）。相反的方向就是负方向；（相当于温度计0℃以上为正，0℃以下为负。） 第三步：适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在0的右面取一点表示1，0与1之间的长就是单位长度。（相当于温度计上1℃占1小格的长度。） 在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示–1，–2，–3，…。 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。 链接课件素材20302，动态演示各种类型的数轴。认识和掌握判断一条直线是不是数轴的依据。 温度计里的大小：观察温度计的刻度，发现上边的温度总比下边的高。类似地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 知识点五：相反数与绝对值 1.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number) （1）一般的，互为相反数。这里，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0 （2）特别的，0的相反数是0 （3）互为相反数的两数之和为0 （4）互为相反数的两数在数轴上的对应点离原点距离相等。 2.绝对值的定义：一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值(absolute value)，记作 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即： 互为相反数的两数的绝对值相等。 知识点六：有理数的大小比较 （1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数 （2）两个负数，绝对值大的反而小 （3）数轴上两个点表示的数，右边的数大于左边的数 知识点七：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点八：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点九：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点十：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 知识点十一：有理数的乘除 1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0. 说明：进行有理数的乘法时，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 2.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。（数a（a≠0）的倒数是什么？a（a≠0）的倒数是，0没倒数。 注： （1）当a（a≠0）为整数时，倒数为； (2)当a为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求； (3)正数倒数为正，负数倒数为负； (4)倒数等于本身的数是1，-1； (5)相反数等于本身的数是0； (6)绝对值等于本身的数是非负数 3.多个有理数相乘的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0． 4.有理数乘法运算律: (1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 式子表达为：ab=ba. (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．式子表达：(ab)c=a(bc)． (3）分配率:一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。 式子表示为：a(b+c)=ab+ac (a,b,c为任意有理数) 5.有理数的除法法则：（1）除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数 (2) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的数,都得0。 知识点十二：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 03 题型归纳 题型一　正数和负数 1．在数，，，，1中，负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查负数的定义，根据负数的定义判断即可．理解负数的定义是解题关键． 【详解】解：，， 则在数，，，，1中，负数有，，，共3个， 故选：C． 2．下列四个数中，是负数的是（    ） A．0 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据负数的定义即可得出答案． 【详解】解：A.0既不是正数，也不是负数，故选项A不符合题意； B. 是负数，故选项B符合题意； C. ，是正数，故选项C不符合题意； D.7是正数，故选项D不符合题意； 故选：B． 3．如图所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（    ） A．223 B． C．263 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题干描述的算筹计数法计数即可． 【详解】 根据算筹计数法，表示的数是：． 故选：D． 巩固训练 1．下列语句中正确的有     个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正数与负数．根据正数与负数的性质及意义可求解． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：． 2．已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 【答案】 ，，6， ，， 【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 根据正数与负数的特征可判定求解． 【详解】解：在，，，0，，，6，中， 正数，，6，；负数有，，． 故答案为：，，6，，，， 3．读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 【答案】读法见解析，正数有：5，，；负数有：，，， 【分析】根据正负数的概念判定即可． 【详解】解：5读着正五或五，读着负七分之五，读着负三点五，读着正1又三分之一或1又三分之一，读着负零点零一，读着正二点五或二点五，读着负七佰； 正数有：5，，； 负数有：，，，． 【点睛】本题考查正负数及其读法，熟记正负数的概念是解题的关键． 题型二　相反意义的量 1．规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对，据此求解即可， 本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】解： “正”和“负”相对， 如果表示向右移动，记作，则表示向左移动，记作， 故选：B． 2．下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．气温上升和零下 B．胜2局和负4局 C．身高增加和体重下降 D．向上和向右 【答案】B 【分析】此题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：A、气温上升和零下不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意； B、胜2局和负4局是一对相反意义的量，故此选项符合题意； C、身高增加和体重下降不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意； D、向上和向右不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．如图，这是小伟国庆期间的支付情况，表示的意思是（    ）     零钱明细: 红包 10月2日　14:39 余额：669．27 转账 10月1日　13:20 余额：769．27 A．发出100元红包 B．余额100元 C．收入100元 D．抢到100元红包 【答案】A 【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可． 【详解】由题意得：表示的意思是发出100元红包 故选：A． 巩固训练 1．中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．卖掉20吨粮食 B．运出20吨粮食 C．吃掉20吨粮食 D．亏损20吨粮食 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可解答． 【详解】粮库把运进20吨粮食记为“”， “”表示为运出20吨粮食， 故选：B． 2．唐朝是一个诗人辈出的时代，李白、杜甫、白居易等为我们留下了不朽的篇章，杜甫出生于公元712年，白居易出生于公元772年记作年，那么李白出生于 记作年． 【答案】公元701年 【分析】本题主要考查了正数和负数，具有相反意义的量都是互相依存的两个量，理解具有相反意义的量是解题的关键． 依据正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求出答案． 【详解】解：杜甫出生于公元712年，白居易出生于公元772年记作年， 故李白出生于公元701年记作年， 故答案为：公元701年． 3．某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【答案】(1)5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm (2)身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0 【分析】（1）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （2）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （3）根据题意作答即可． 【详解】（1）5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm； （2）身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm； （3）既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0． 【点睛】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，准确理解题意是解题的关键． 题型三　有理数的概念与分类 1．下列说法中，正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数 C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数 【答案】A 【分析】此题考查了有理数，利用分数，整数，以及有理数定义判断即可． 【详解】解：A、正分数和负分数统称为分数，选项说法正确； B、0是整数，选项说法错误； C、正整数、负整数和0统称为整数，选项说法错误； D、正数、负数和0统称为有理数，选项说法错误， 故选：A． 2．在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的分类，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键．根据非负数的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，0，，，，，7中， 非负数有，0，，，7共5个， 故选：B． 3．下列各数：3，，，0，，（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义进行判断即可得；掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，无理数有：，（每两个3之间增加1个0）， 即无理数的个数是2， 故选：A． 巩固训练 1．下列各数：，，，，是无理数的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了对无理数的定义，根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】下列各数：，，，， 无理数有，共1个． 故选：B． 2．在，， 0，（每两个1之间依次多2），中， 无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数作答即可． 【详解】解：由题意知，，0，是有理数，故不符合要求； ，（每两个1之间依次多2）是无理数，故符合要求； 故答案为：2． 3．把下列各数填在相应的大括号内： 1，，，25，0，，，． (1)整数集合{_______________}； (2)负分数集合{_______________}； (3)正有理数集合{_______________}． 【答案】(1)1，，25，0， (2)， (3)1，25， 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义，即可获得答案； （2）根据负分数的定义，即可获得答案； （3）根据正有理数的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：整数集合{1，，25，0，}． 故答案为：1，，25，0，； （2）解：负分数集合{，}． 故答案为：，； （3）解：正有理数集合{1，25，}． 故答案为：1，25，． 题型四　正负数的实际应用 1．化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用，熟悉掌握其中的含义是解题的关键． 比较绝对值的大小即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴最接近的为g 故选：D． 2．某大米包装袋上标注着“净含量”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相反意义的量，根据“正”和“负”所表示的意义得出每袋大米的最多含量和最小含量，再用最多含量减去最小含量，即可得出答案． 【详解】解：， 根据题意得： ， ， 因为两袋两大米最多差， 所以这两袋大米相差的克数不可能是； 故选：D． 3．为了保持乐器的音准，演奏者常常需要使用调音器进行调音，如图所示是某调音器软件的界面，现在指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦，下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在中间0处为标准音）的是（    ） A．25 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题的关键． 根据指针指向的数字，结合正负数表示的含义即可求得答案． 【详解】指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦，指针指向的数字中表示需拧紧琴弦， 则所选的数字为负数，离0最近， ∴最接近标准音的是． 故选：C． 巩固训练 1．机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下：．其中不合格的零件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，找到数值大于的零件数即可得到答案． 【详解】解：∵要求误差不大于， ∴只有和误差大于， ∴不合格的零件有2个， 故选：B． 2．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是 ． 0 0 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数．成绩记录中“”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，由于达标成绩为18秒，0和负数表示成绩为达标．则记录中的数不大于0则表示成绩达标．故应该有6人达标，从而求出达标率． 【详解】解：“正”和“负”相对，从表格中我们会发现，这8个人中有6人是达标的， 这个小组女生的达标率是． 故答案为：． 3．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 【答案】见详解 【分析】根据题意，可得合格范围，根据合格范围，可得答案． 本题主要考查了正数和负数的意义，理解正数和负数的意义是解题的关键． 【详解】解：表示比多，表示比少； 所以产品合格的容量为这个范围内， 所以抽查样品容量，，，，，只有不合格，其它的都合格． 题型五　用数轴上的点表示有理数 1．在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若O是中点，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据中点得到即可． 【详解】解：∵点A，B 在原点O的两侧，且O是中点， ∴， 故选B． 2．如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题综合考查了数轴上两点之间的路线，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 在数轴上表示出A点，找到与点A距离2个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点的左侧或右侧． 【详解】如图所示， ∴在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是和． 故选B． 3．如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一应，根据题目中的条件，可以把四个点分别求出来，即可判断． 【详解】解：数轴上与5两点间的线段的长度为， 平均每条线段的长度为：， 所以，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， 因此，位置最靠近原点的是点C， 故选：C． 巩固训练 1．数轴上点M到表示的点的距离是5，则点M表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或5 【答案】C 【分析】本题考查数轴，根据数轴上的点所表示的数的特征即可解决问题． 【详解】解：因为数轴上到表示-1的点的距离是5的点有两个， 且， 所以点M表示的数是或4． 故选：C． 2．在数轴上把5对应的点移动3个单位长度后所得的对应点表示的数是 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键． 分两种情况讨论，表示5的点向右移动3个单位或向左移动3个单位，分别求出移动后的点表示的数即可． 【详解】解：将表示5的点向右移动3个单位得到数8， 将表示5的点向左移动3个单位得到数2， 故答案为：2或8． 3．请把下面不完整的数轴补充完整，把下列各数：，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 【答案】数轴见解析，． 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较．先画好数轴，再在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】解∶如图所示∶    ∴． 题型六　数轴上点的距离 1．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是求出的长度．根据图1算出的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点表示的数． 【详解】解：图1：， 图， ， 点表示的数是：， 故选：B 2．如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是．设A表示的数是a，根据题意得出方程，求出即可． 【详解】解：设A表示的数是a，根据题意得： ， 解得：， 即A点对应的数是． 故选：C． 3．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1），刻度尺上“0”和“3”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D．1.6 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握在数轴上右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离是解题关键．利用点在数轴上的位置，以及两点之间的距离分析即可求解． 【详解】解：设刻度尺上“”对应数轴上的数的点在原点的左边，距离原点有的单位长度，所以这个数是 故选：C． 巩固训练 1．数轴上表示整数的点叫作整点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画出一条长度为的线段，则线段盖住的整点个数为（   ） A．2025个 B．2024个 C．2025或2024个 D．2024或2023个 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，分当长度为的线段的两个端点恰好都是整点时，当长度为的线段的两个端点恰好都不是整点时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当长度为的线段的两个端点恰好都是整点时，那么线段盖住的整点个数为个， 当长度为的线段的两个端点恰好都不是整点时，那么线段盖住的整点个数为个， 故选：C． 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段，则盖住的整数点的个数共有 个． 【答案】11或10 【分析】本题主要考查了数轴的实际应用，学生一时想不出来，可以动手亲自画一画．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为10厘米的线段，则线段盖住的整点的个数可能正好是11个，当线段起点不在整点，那就是10个． 【详解】解：依题意得：①当线段起点在整点时覆盖个数； ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故答案为：11或10． 3．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 题型七　数轴的动点问题 1．A 为数轴上表示 的点，将点 A 沿着数轴向右移8个单位长度后，再向左移动4个单位长度到点 B，则点B表示的数为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查数轴上点的移动规律：左减右加，有理数的加减法则，熟记规律是解题的关键． 【详解】解：． 故点B表示的数为2． 故选：A． 2．如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是（   ）. A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，先求出圆的周长为，点沿数轴滚动周滚动的路程为圆的周长，分向左和向右两种情况讨论即可解答，理解点沿数轴滚动周滚动的路程为圆的周长是解题的关键． 【详解】解：∵圆的直径为个单位长度， ∴这个圆的周长为， ∵该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动周，点到达点的位置， ∴当圆沿数轴向左滚动一周时，点所表示的数是；当圆沿数轴向右滚动一周时，点所表示的数是，即， 故选：． 3．如图，一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每向左运动秒就向右运动秒，可得每经过秒就向左移动个单位，根据可得答案．正确得出数轴上动点的运动规律是解题关键． 【详解】解：∵动点每向左运动秒就向右运动秒， ∴每经过秒就向左移动个单位， ∴，即经过个秒后，又向左移动秒， ∴个单位， ∴动点运动到第秒时所对应的数是， 故选：B． 巩固训练 1．如图，将半径为1的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，确定点的位置表示的实数是解题关键．首先确定点的位置表示的实数，然后计算线段的中点表示的数即可． 【详解】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长， ∴点的位置表示的实数为， ∴中点表示的实数为． 故选：C． 2．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后确定出点C的位置，再向左移动3个单位确定出点B，向右移动2个单位确定出A，即可得解，逆向思维确定出各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 【详解】解：如图所示： 点表示的数为4， 故答案为：． 3．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 【答案】(1)1； (2)； (3)能，移动方法共有种：方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为． 【分析】本题考查数轴的简单应用，理解点在数轴上的移动规律与点对应的数相应的变化是解题的关键． （1）由数轴上的点的移动规律即可求解． （2）由数轴上的点的移动规律即可求解． （3）由数轴上的点的移动规律并分类讨论即可求解． 【详解】（1）因为点表示的数是，所以将点向右移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （2）因为点表示的数是，所以将点向左移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （3）一共有种移动方法能使移动，，三个点中的任意两个点之后，三个点表示的数相等，且三种方案如下所述： 方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 综上所述：移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等，且符合题意的移动方法共有种． 题型八　相反数相关知识 1．若一个数的绝对值的相反数是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和相反数，根据相反数的意义可得这个数的绝对值为，再根据绝对值的意义可得解．解题的关键是掌握：①只有符号不同的两个数叫做互为相反数；②一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：∵一个数的绝对值的相反数是， ∴这个数的绝对值为， ∴这个数是． 故选：C． 2．若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简多重符合，相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 故选：C． 3．下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义和应用，根据互为相反数的定义，对各个选项进行判断即可．解题关键是熟练掌握互为相反数的定义并灵活运用． 【详解】解：A．∵互为相反数是到原点距离相等且在原点两旁的两个点表示的数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； B．∵所有的有理数都有相反数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．∵只有符合不同的两个数是互为相反数， ∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； D．∵在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 根据相反数的几何意义可知：与互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答． 【详解】解：由题意知： 与互为相反数， ， 解得：． 故选：D． 2．设与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，根据题意可得，代入即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数 ∴， ∴， 故答案为：． 3．若与互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，绝对值的非负性，直接利用非负数的性质得出，的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 题型九　利用绝对值比较有理数的大小 1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，由数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， 故选：C． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小． 根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案． 【详解】解：由图可得：，且， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 根据图示，可得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ，， ， 选项A不符合题意； ，， ， ， 选项B符合题意； ，， ，， ， 选项C不符合题意； ， ， ， ， 选项D不符合题意． 故选：B． 巩固训练 1．如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，，1的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，首先由数轴上点A的位置，可以确定a是负数，且a的绝对值大于1，所以是正数，且绝对值大于1； 【详解】解：由数轴可知∶， ∴， ∴， 故选：A． 2．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则从大到小的顺序为 ．    【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先根据数轴，得出的情况，即可作答． 【详解】解：依题意，在数轴上的情况如下： ∴， 则从大到小的顺序为， 故答案为：． 3．把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点，解答此类问题时要注意在数轴上表示各数时要用原数． 先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 【详解】解：如图所示： ∴． 题型十　化简绝对值 1．数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 2．如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查实数与数轴，解决此题的关键是掌握数轴的特征，再结合加减运算，绝对值的概念判断即可，先根据数轴判断出a、b的正负情况，然后根据有理数的加、减运算法则及绝对值的意义对各选项分析判断求解． 【详解】解：根据题意得：， ， A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 3．如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 巩固训练 1．若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，，③，，④，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况：①，，②，，③，，④，； ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，的值为：或0． 故选：C． 2．a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．先根据各点在数轴上的位置判断出、、的符号及大小，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，， ，， 原式． 故答案为：． 3．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴原式， ， ． 题型十一　绝对值非负性 1．如果，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：“几个非负数的和为时，这几个非负数都为”．根据非负数的性质求出、的值，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故选：A． 2．如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质．根据非负数的性质，可求出、的值，然后代入求值计算即可． 【详解】解：∵有理数、满足， ∴，， ∴，， 则， 故选：A． 3．已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 巩固训练 1．若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．根据非负数的性质列出方程组，求得，的值即可． 【详解】解：， ，， 解得，， 故答案为． 3．已知． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． （1）根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． （2）根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得，，， 则， （2）由题意得，，， 解得，，， 则． 题型十二　有理数的加减法运算 1．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，掌握减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数成为解题的关键． （1）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可； （2）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可； （3）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可； （4）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)25 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）利用有理数加减运算法则：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用加大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；从而求解． （3）（4）可以先通分然后再进行有理数加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 (5)20 (6) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加； （2）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加； （3）绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （4）运用加法交换律和结合律计算即可． （5）运用加法交换律和结合律计算即可． （6）运用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） （3） （4） ； （5） ； （6） 巩固训练 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算． （1）可以正、负数分别结合相加； （2）可以正、负数分别结合相加； （3）可以同分母分数结合相加； （4）可以同分母分数结合相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)0.75 (3)0 (4) 【分析】本题考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； （2）（3）（4）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 3．利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用加法的运算律进行求解较简便； （2）利用加法的运算律进行求解较简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十三　有理数的乘除法运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算律，根据题意直接计算即可． （1）利用乘法运算律求解即可； （2）利用乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)60 (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法交换律，结合律计算即可； （2）利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据0除以任何一个不等于0的数，都得0可得答案； （2）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （3）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （4）先化成乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 巩固训练 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可； （2）首先计算括号里面的除法，再计算括号外面的除法即可； （3）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键． （1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，在解答时要注意运算顺序以及确定结果的符号： （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式根据乘法分配律将括号展开后再计算乘法，最后进行加减运算即可得到结果； （3）原式先将除法转换为乘法后再根据乘法分配律将括号展开后再计算乘法，最后进行加减运算即可得到结果； （4）原式将除法转换为乘法后进行约分计算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型十四　含乘方的有理数运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．先算乘方，再算括号，后算乘法，最后算加法． 【详解】解： ． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1)2 (2)10 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （1）先算乘方，根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固训练 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解题的关键是注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．先算乘方与绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， （1）先算乘方，绝对值，再算乘法与除法，最后进行加减运算即可； （2）先算乘方，括号里的运算，再算乘法与除法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算括号里面的，然后计算乘除，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： ． 题型十五　有理数运算的实际应用 1．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，1，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变是解题的关键．根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．某地电话拨号入网有两种收费方式：①计时制：元/分；②包月制：50元/月．此外，每一种上网方式都得加收通信费元/分．某用户估计一个月上网时间为1000分钟，你认为采用哪种收费方式较为合算（    ） A．计时制 B．包月制 C．两种一样 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，根据所给收费标准分别计算出两种收费方式的费用即可得到答案． 【详解】解：计时制的费用为元， 包月制的费用为元， ∴两种收费方式一样合算， 故选：C． 3．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．若在该快递公司寄一件9千克的物品，则需要付费（   ） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， （元）， 故选：C． 巩固训练 1．某校食堂买了5袋白菜，以每袋千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（    ） A．千克 B．2千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”具有相反意义的量．根据题意列出算式解答即可． 【详解】解：5袋白菜的总质量为（千克）， 故选：C． 2．如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用； 分别求出第一次相遇的时间和之后每次相遇所需时间，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得：两人第一次相遇的时间为秒， 之后每次相遇所需时间为秒， 所以第一次相遇后又相遇了次， 所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇， 故答案为：14． 3．2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． (1)A站至F站的票价是多少元？ (2)王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 【答案】(1)640元 (2)王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车，理由见解析 【分析】（1）根据票价=全程票价×，代入数值进行计算，即可作答． （2）先算出每一公里的钱数，再结合车费160，即可列式代数进行作答． 本题考查了行程问题，正确掌握票价=全程票价×内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，∵已知A站至G站全程票价为800元，且A站至G站的里程数为公里 ∴（元）； （2）解：（元）； ∵王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票 ∴（公里） 结合图形，与D站相距400公里的有B站和E站 所以王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车． 题型十六　程序流程图与有理数计算 1．下图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为30，则输出的结果为（    ） A．100 B．120 C．150 D．420 【答案】C 【分析】本题考查流程图，将代入进行计算，将结果与100进行比较，若小于等于100，则将结果作为x继续代入进行计算，若大于100则输出结果即可． 【详解】解：， 则， ∵， ∴继续循环，此时， 则， ∵， ∴输出结果为150， 故选：C． 2．如图所示为利用计算机编制的工作程序．若输入的数是3，则输出的数为（　　）    A． B．92 C． D．116 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，绝对值，有理数比较大小． 根据题意，将输入的数代入计算判断即可． 【详解】解： 当输入的数是3，则． 因为，所以输入的数是，则． 因为，所以输出的数是． 故答案为：C． 3．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 【答案】B 【分析】本题考查流程图，解题的关键是看懂流程图，根据流程图的过程进行计算．根据开始输入，则输出y值为1，求出，把y值为4代入求解即可． 【详解】解：∵开始输入，则输出y值为1 ∴ ， 解得， 令， 解得：， 令， ， 解得或（舍去） 综上所述，或． 故选：B 巩固训练 1．按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 【答案】D 【分析】观察图示我们可以得出关系式为：，因此将的值代入就可以计算出结果．如果计算的结果等于100则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值为止，即可得出的值．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．一要注意结果才可以输出，二是当等于100是就是重新计算，且输入的就是这个数． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：由于， 应该按照计算程序继续计算， 应该按照计算程序继续计算， 输出结果为231． 故选：D． 2．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，根据题中的流程图计算即可得出答案，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 【详解】解：把代入可得：， 再把代入可得：， 所以y， 故答案为：． 3．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【答案】(1)2；1； (2)负 (3)0或（n为自然数） 【分析】本题考查了倒数、绝对值及相反数的概念，解答本题的关键是弄懂图表中的程序的意义． （1）先判断出2、6、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律； （3）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0． 【详解】（1）解：根据题意得： 当小明输入2时，输出的结果是； 当小明输入6时，输出的结果是； 当小明输入时．输出的结果是； 故答案为：2；1；； （2）解：由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数． 故答案为：负 （3）解：∵0的相反数及绝对值均为0，且， ∴输入0时，输出结果为0； ∵当输入的数大于4时要加上再重新输入，一直需要循环到小于4时， ∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0， ∴应输入0或（n为自然数）． 故答案为：0或（n为自然数） 题型十七　算“24”点 1．在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 2．“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】 解：根据有理数的运算可得：，，等． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如果一个整数与，，这三个数，通过加、减、乘，除运算可以添加括号组成算式，能使结果等于，那么这个整数就称为可用的．在，，，，，，，，，这十个数中，可用的数有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，把每个数与，，这三个数，通过加、减、乘、除运算，把能等于的找出即可． 【详解】解：，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； 不可用， 个数中，共有个数可用，个不可用； 故答案为：． 巩固训练 1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 2．“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】 解：根据有理数的运算可得：，，等． 故答案为：（答案不唯一）． 3．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 【答案】(1)6 (2) (3)； 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ()根据题意列出算式，找出积最大值即可； ()根据题意列出算式，找出商最小值即可； ()利用“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故最大值为； （2）解：， 故最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 题型十八　科学记数法 1．5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 【详解】解：11000亿， ， 故答案为： 2．中国华为麒麟处理器是采用纳米制作工艺的手机芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸上塞进了个晶体管，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 3．为庆祝党的二十大胜利召开，大型电视专题片《领航》隆重上映，这部专题片让人们在时代光影之中真切感受到祖国日新月异的变化．截止10月17日，相关视频内容及宣传报道，点击率达1666000000次．将数1666000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是理解用科学记数法表示较大的数时，注意中a的范围是，n是正整数． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， 故答案为：． 巩固训练 1．拒绝餐桌浪费，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省万斤，这些粮食可供万人吃一年．万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 2．中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】1131000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 3．某农科所要在长为、宽为的长方形试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种粮食需要一块边长为的正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育多少种新品种粮食？ 【答案】这块试验基地最多能培育20种新品种粮食 【分析】本题考查了有理数的乘法及科学记数法，长方形中能找到多少个符合要求的正方形，就可以培育多少种新品种粮食． 【详解】解：（种）． 答：这块试验基地最多能培育20种新品种粮食． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$