23.6 图形与坐标-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

第23章因形的相似 23.6 图形与坐标 第1课时 用坐标确定位置 规律与方法：在网格中，根据两三角形相似 确定点的位置，其关键是根据已知条件确定相似 基 导 学 比，计算出已知三角形的边长，确定未知三角形 的边长，进而确定点的位置： 1.用坐标确定物体的位置 【变式训练1】如图，若在象棋盘上建立平 一个平面上某地的位置，在数学上是采用 面直角坐标系，使“帥”位于点（一1，一2），“馬” 建立 ,用点的 来 位于点(2，-2)，则“兵”位于点 () 表示和确定的， 漠界 楚河 ★注意：(1)选取的坐标原点不同，建立的 平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标也 十四 不同. (2)选取的单位长度不同，点的坐标也 A.(-1,1) B.(-2,-1) 不同. C.(-3,1) D.(1,-2) 2.用角度和距离表示物体的位置 考点②用角度和距离确定位置 用一个角度和距离来表示一个点的位置。 【例2】某学校在直角坐标系中对应的点 这种方式在军事和地理中较为常用， 的纵坐标是一2，这点到原点的距离为4，那么能 典 例 探 究 否用一个角度和距离来表示该学校的位置，若 能，请表示出来。 考点① 用坐标确定位置 【例1】如图，A,B,C,D,E都是5×7方 格纸中的格点，已知△DMEc∽△ABC,A(0,0), 求点M的坐标， ·105· 指而针·课堂优化·元年纸上屏·数学(HS) 规律与方法：此题是把用点的坐标表示的点 A. 3232 B.(3,3) 22 的位置转化成用一个角度和距离来表示点的位 置，关键是由题意求出这样的角度（应注意角度 c层号 D.3,2 22 的方向) 3.如图，一束光线从y轴点A(0,2)出发，经过x 【变式训练2】如图，是一台雷达探测相关 轴上的点C反射后经过点B(6,6),则光线从 目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2， A到点B经过的C点坐标是 () 90),则目标B、D的位置分别记为 A.(1,0) B.(2,0) c(层o D.(号，0) 270 300 第3避图 第4题图 课后演 练 4.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°， 则点D的坐标为 【基础过关】 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都 在网格点上，其中点A的坐标为(2，一1)，则 1.(六盘水中考)两个小伙伴拿着如图的密码表 △ABC的面积为 平方单位. 玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚一一咚 咚，咚—咚，咚咚咚—咚”的声音，则表示 的动物是“狗”，当听到“咚咚咚，咚咚 咚—咚咚，咚—咚咚咚”时，表示的动物 6.如图，OA=3km,∠1=38°，则点A的位置为 是 ( A.狐狸 B.猫 C.蜜蜂 D.牛 北 学校1km 7.如图是植物园的平面示意图，点O表示正大 o C 门，A,B,C,D,E是5个不同品种的花圃. 2 456 7 O小明家 第1题图 第2题困 2.如图，学校在小明家北偏东45°的方向上，并 且距小明家3km,那么学校所在位置的点的 2468012416 坐标为 () (1)请你写出A,B,C,D这四个花圃的坐标： ·106· 第23章用形的相似 (2)位于正大门北偏东45的是哪个花圃？其 【能力提升】 坐标是多少？ 9.一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在 第一秒钟，它从原点跳动到(0,1)，然后接着 按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1) →(1,1)→(1,0)→…]，且每秒跳动一个单 位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是 8.如图是我军所在某个海岛的示意图，观察图 形，解答下列问题： 10.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩 (1)码头在操场的什么方位？哨所在码头的 形，A(10,0),C(0,4),点D是OA的中 什么方位？ 点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长 (2)如果以操场为原点建立平面直角坐标系， 为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 取向东、向北的方向为x轴、y轴的正方向，1 个方格的边长记作1个单位长度，请你表示出 图中各点位置的坐标 【创新探究】 11.如图，在平面直角坐标系中，直线1与x轴交 伙层 于点B1,与y轴交于点D,且OB=1, ∠ODB=60°，以OB为边长作等边三角形 A,OB1,过点A作AB2平行于x轴，交直线 L于点B2,以A,B2为边长作等边三角形 A2AB2,过点A2作AB平行于x轴，交直 线1于点B:,以A2B:为边长作等边三角形 A3A2B3,…,按此规律进行下去，则点A的 横坐标是 ·107· 挡南针·课堂线化·花年纸上册·数学(HS B的坐标是 第2课时 图形的变换与坐标 基 导学 1.点P(x,y)关于x轴的对称点P的坐标 是 :点P(x,y)关于y轴的对称点 考点2 用坐标表示图形的轴对称 P2的坐标是(-x,y);点P(x,y)关于原点的对 称点P:的坐标是 【例2】 如图，梯形OABC关于y轴的轴 2.设a>0,将点P(x,y)向上平移a个单位 对称图形是梯形OA'BC,对应顶点的坐标有什 长度得到点 :将点P(x,y)向下平 么变化？ 移a个单位，长度得到点 :将点P (x,y)向右平移a个单位长度得到点 :将点P(x,y)向左平移a个单位长度得到 点 典例探究 考 点①用坐标表示图形的平移 【例1】如图，△ABC沿x轴向左平移4 个单位长度之后，得到△A'B'C'.三个顶点的坐 规律与方法：两图形关于y轴对称与两个点 标有什么变化？ 关于y轴对称的情况类似。 【变式训练2】如图，如果△A'B'C‘与 △ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A'的 坐标为 考点③位似与坐标 规律与方法：图形平移后各对应点的坐标如 【例3】如图，图中的小方格都是边长为1 何变化，主要是看图形移动后的高低，左右位置 的正方形 怎样变化. (1)分别写出△ABC和△DEF的顶点 【变式训练1】（临沂中考）如图，在平面直 坐标： 角坐标系中，△ABC的顶点A,B的坐标分别是A (2)以D为位似中心，把△DEF缩小一半， (0,2),B(2,-1).平移△ABC得到△A'B'C,若点 (只画出一个即可)得到△DMN,并写出M,N A的对应点A的坐标为（一1,0），则点B的对应点 两点的坐标； ·108· 第23章用形的相似 (3)试说明△ABC和△DEF的面积关系， 后 演 练 【基础过关】 1.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端 点分别是A(4,一1)，B(1,1),将线段AB平移 后得到线段A'B',若点A'的坐标为(-2,2)， 则点B的坐标为 () A.(-5,4) B.(4,3) C.(-1,-2) D.(-2,-1) 2.如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似 变换得到△DFE,则△OAB与△DFE的位似 比为 A.3 B.2 C.1 n司 规律与方法：本题主要考查图形运动与项点 的坐标变化的知识，通过位似画图形，再利用关 3.如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A 于原点对称的点的坐标关系判断对应图形的相 在x轴上，点B的坐标为(2,1).如果将矩形 似（全等）关系，掌握好中心对称和位似的知识是 OABC绕点O旋转180°，旋转后的图形为矩 解此类问题的关键， 形OABC1,那么点B的坐标为 () A.(2,1) B.(-2,1) 【变式训练3】已知：如图△ABC三个顶 C.(-2.-1) D.(2.-1) 点的坐标分别为A(0,-3)、B(3,-2)、C(2,- 4),正方形网格中，每个小正方形的边长是1个 321 单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出 △ABC1,使△ABC1与△ABC位似，且△A C BC,与△ABC的位似比为2：1，此时点A的 第3题图 第4题图 坐标为 4.(潍坊中考)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以 度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图， 正方形ACD的面积为4，以它的对角线的交点 为位似中心，作它的位似图形AB'CD,若 AB:AB=2:1,则四边形A'B'CD的外接圆 的周长为 ·109· 指而针·课堂优化·元年纸上屏·数学(HS) 5.如图，△ABC与△A'B'C是位似图形，且顶点 8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条 都在格点上，则位似中心的坐标是 直角边OA、OB分别在x轴的负半轴，y轴的 负半轴上，且OA=2,OB=1,将Rt△AOB绕 点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的图象 沿x轴正方向平移1个单位，得到△CDO (1)写出点A,C的坐标： (2)求点A和点C之间的 345石78910112 距离. 第5题图 第6题图 6.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A (0,4),B(-1,1),C(-2,2).将△ABC向右平 移4个单位，得到△AB'C',点A,B,C的对应 点分别为A',B,C,再将△AB'C绕点B顺时 针旋转90°，得到△ABC”,点A',B,C的对应点 分别为A”,B,C”,则点A"的坐标为 7.已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A (0,一3)，B(3,-2),C(2,-4),正方形网格 中，每个小正方形的边长是1个单位长度。 (1)画出△ABC向上平移6个单位得到的 △AB1C: (2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B, C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2 与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A 的坐标. ·110· 第23章用形的相似 的坐标 【能力提升】 9.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上 方，点C的坐标是（一1,0），以点C为位似中 心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把 △ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的 ① 图② 像是△A'B'C',设点B的对应点B'的横坐标 是a,则点B的横坐标是 10.如图，在平面直角坐标系中，第一次将 △OAB变换成△OAB,第二次将△OAB 变换成△OA2B2,第三次将△OAB2变换成 △OAB3,已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3), A(8,3),B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B (16,0). 观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变 换规律，第五次变换后得到的三角形顶点A的 坐标是 .B的坐标是 【创新探究】 11.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(2,0), 点B(0,2),把△ABO绕点B逆时针旋转，得 △A'BO',点A,O旋转后的对应点为A',) 记旋转角为a. (1)如图①，当点O落在边AB上时，求点O 的坐标； (2)如图②，当a=60时，求AA'的长及点A' ·111…指南针·课堂优化·无年级上册·数学(HS ②△. 课后演 专题练习3 相似三角形的基本模型 1.D2当乙A-时FH 一指--一1-. 1.C2A3.D48 5.15 m 6 型t 12.(1次DDB的中连EHFH 1寻} .1D正明略(形CFG的具长为 K.分别是AD.D的中点. -1与AC相 8A9.D1011D-号 题: HABH-AB乙ME-ZHE (2过PPC于M没ACP交干点 3C4.0 pP-3-t. 11m- 2P.77分别是DC,的中点. 类塑3 NAC+MAPO+M (:AC1D. 5.r &FHCDFHCDCNE=HE .NAC-PCMAO-PM” 1.MiD乙AE- 6.(1)证,四形AD7)为英影。 A-CDH-F. .oC -AD. .乙A-gA. HHE.CE 一一- 乙A-0. AT-AtE. 一 1./AGE- AFFE .Ct-A. 23.5 第3深时数5角形的料定(二) 位图形 :/BtC-/AB. VHC-AHF 基导学 基题导享 AAB .-乙0H. 成比回 表弟 1.交于一点一校似中心位比 (t-9 遭后注 2.-10ADG 2.位中心对点 各对位点 类 31(△{AD 1D 2D3D4B 5/A-/5 读 7.D8.A -一一. 6共 1.乙AP-即-2P 1.D 2C 3D 405 5.1.161.0 7.图 7An-A2. &(1A标-1-: 8.8-9842度121 1.正略 3.B 1.B 一 (7图略.△ABC析一17 12.(1(2-0MA 1.C D的标--(-42(2 第连课时 稻烈三角形的料定(三) 70D-1016-. 1-乙ACD 9.A 2(-8.-3(1 1正路111 基础导学 .--D ./B+/CA-ACD+ACE 23.6 图形与坐标 1 --一 第BCA-/2xD 2.(11有两个角对应相等的两个三角形相效(2)两边对应成 第1课时 用空标定性盟 A-D. 一 比例且夹角相等的两个三角形时 ()三也对位成比例 基题导学 .A0 两个三角阳 第课时 相似三角彩的互用 2π长为. 1.平直坐标 课后 演 基学 23.4 中位线 1A2B3C4.ACFm-等 1.B 2A3.C4(2-1$5 2.应达 对应 对应高 对应中线 对应角平分线 基懿学 4.(1)(-10)6115 2.证路 路 周长 喜积 1.中位线 2.平行 第三也的一半 60的偏距03外 3.比 7(1B1200 141 9. 10读号11.的长是10.毫是812.被明路 3重士 后演 1路4在换的注型3位长度,是 后演 第5课时 根似三形的性难 1.A 2.B 3.C 4415.25 6高10 3的北方向上,码4./个位长度 基导学 1.B2.BAA4.85.2567.明晦 7.100 84.小高均为17来 场0)选(32)所(1,11.码4(-3.0. 1.对应角 边2应高 应中鼓 对应角的平分线 n2是a 8证91晚 10.-21.4.-D. 3.根比 4.相比的平方 901n0(2.13 3 0 &南什·课堂优化·九年级上·数学& -平乙ADC 3.4 11. 12.- 第2课时 图型的变捷与生样 ”” 基学 AD-D-5 24.3 锐角三角函数 <lr 1n-(-- “A/C0. 第1满时 角三品数的弘识 (- 2(+r( tr, --c-1”. 视后陈 11.(111330号). -乙-。 课后演 .D83D88.告 (2叠道AD长约为106来 A-AD. 1A 23C4.45(.0 61.01. 专题练习4 求锐角三角函数值的常用方法 -A-0 _/- 8n-{ (1A-001( 方 ·+(n(40) 2:AF与(的关系为:AP一.现由 8.an-n页 11。 1.C AC的长为.m1的值为 “-r乙- 11(1点0%2- 1.△为直三. 方选: 12.(1BDH-. .- (2MA-A的1+ 3.D 4D (2u的眠是6. -?%3的中 第23章 《图形的相似》专题复习 方法 第2课时 持殊角的三角品数值 2.HF IPM.BF-FF-FM 5C6A 【】S- 基⑧导学 方法4 1M为等直三角形 112-&00- 【例习】建筑物的高度为101m .乙-. . 【】: -- 【4】平行四达用0”关干y对的图形平行达形 24.4 解直角三角形 在△AFCF中. 1.D 2.B 3A4C51-7.(110 127 ABC的因个顶点的候坐标部没有改变,面疲生标器互为 AF-BC-FBC,FF一-BF语排用花 第1课时 直角三角形 号--”-页+1 相数;这两个四动的对角择的交点化 基母学 第23章 章末测试 1.直角三角形2.(1)同(2)一条 一个短 2PC8As. 时.- 1D 2B 3C 4C 5A 5.C 7.D 8.C 演性 -A-7 91 11181127115 -10 1 A-π 1n+113点1 1c2c 3c45-o650 1(11-1nl0 : 15.证障 第24章 解直角三角形 -官1-+ 12-- 1CA+CA-3 K.A.B两之到的离为H来 6.图路(1达A现C沿y题负方码平移3个单位长度后得 24.1刻量 第3课时 用计耳求航三勇品数值 AC共中A0-4C-2 1:1-15-5 基学 标不,是标1.(2路&A干:后得 1c2c3A4c60,. 1.比 第2课时 与编商 BC0-B-3-D-. 理后演 键导学 8.(7 量不变,是变为来的阳没数.(入ABC以点B 痴甫角 为位中心,大来的2后AA.CA(-3. 7..AB-100米高为4.2n 第2.39.54 1.11 2.1 3.D 430 5.45 615 (A7r1A-7.or” -..-1C01.2.mA是线段A. .(1)开遇既强前,凡车从A地别B地大约要走1.1千来 1.AB的高度的为8.4n12.题新的高为1题 1.D23 3A 410/ 5.1.760 点C线段BC.的中点 24.2 直角三角形的性 (2疑后,本量A到地大可少去?2.300(2塔二的高度的为4来. 17. 后演5 8的高CF%10.3r 9.2 117 18.(1证:四边A[D为短 境.(1)悦正填角度结墙大填大,顾角的会技险 11.路灯高8.1n 1.AD-D.ADC-oAB-CTACD 1.A 2.C3.C4B5I6178 每度的增大高小 1(11观第1V的长为15页一15米 41 42