23.4中位线-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

第23章用形的相似 23.4 中位线 基础导学 规律与方法：在直角三角形中，已知斜边的 中点，要同时考虑“三角形的中位线”和“直角三 1.连结三角形两边中点的线段叫做三角形的 角形斜边上的中线等于斜边的一半”两个性质 【变式训练1】如图，E,F分别是四边形 2.三角形的中位线 于第三边并且 ABCD的边AD,BC的中点，G,H是BD,AC 等于 的中点，求证：EF和GH互相平分. 3.三角形三条边上的中线交于一点，这个 点叫做三角形的 心， 与一边中 点的连线的长是对应中线长的 典例探究 考点①三角形中位线 【例1】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，D,E分别为AB,BC的中点，点F在AC 的延长线上，∠FEC=∠B. 【例2】如图，在△ABC (1)求证：CF=DE: 中，AM是中线，N是AM的中 (2)若AC=6,AB=10,求四边形DCFE的 点，BN的延长线交AC于点 面积. D,若AC=12,则求CD. 规律与方法：“有中点找中线，切莫忘记中位 线，要找中位线，就把两边中点连”这是解决中点 问题的一般方法. ·97· 挡南针·课堂线化·无年纸上册·数学(HS】 考 点②三角形的重心 【变式训练3】如图，在△ABC中，AB 【例3】如图，在△ABC AC=10,AD⊥BC于点D,AD=8,若点E是 中，∠ACB=90°，G是三角形 △ABC的重心，点F是△ACD的重心，则 的重心，AB=8. △AEF的面积为 求：(1)GC的长： (2)过点G的直线MN∥AB,交AC于点 M,BC于点N,求MN的长. 课后演 练 【基础过关】 L.已知D是△ABC中BC边上的点，连接AD 并延长至点E,使得DE=AD.当点D从点B 运动到点C时，点E走过的距离d () A.d=BC B.d=2BC C.BC<d<2BC D.d=2AD 2.(云南中考)如图，A、B两点被池塘隔开，A、 B、C三点不共线.设AC、BC的中点分别为 M、N.若MN=3米，则AB= () A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 规律与方法：三角形重心的性质在计算三角 形内线段长度时应用非常广泛，也是解决此类问 题的重要手段之一 【变式训练2】如图，点G为△ABC的重 心，过点G作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、 第2题困 第3题图 E,则△ABC与△ADE的面积之比为 () 3.如图，△ABC的面积是12，点D,E,F,G分别 是BC,AD,BE,CE的中点，则△AFG的面积 是 () A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 A.4:5 B.5:4 4.(金华中考)如图，把两根钢条OA,OB的一个 C.4:9 D.9:4 端点连在一起，点C,D分别是OA,OB的中 ·98· 第23章明形的相以 点，若CD=4cm,则该工件内槽宽AB的长为8.如图所示，△ABC中，AB>AC,AD平分 cm. ∠BAC,CD⊥AD,点E是BC的中点. 求证：I)DE∥AB:(2)DE=2(AB-AC. 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,M,N,P 分别是AD,BC,BD的中点，∠ABD=20°， ∠BDC=70°，则∠PNM= 6.如图，在△ABC中，中线BD,CE相交于O,若 S△Awe=4,则S△E 7.如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长 BA到点D,使AD=号AB,点E,F分别是边 BC,AC的中点.求证：DF=BE 【能力提升】 9.如图，△ABC的周长为19，点D,E在边BC 上，∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N, ∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若 BC=7,则MN的长度为 第9题图 第10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是 斜边AB的中点，DE⊥AC,垂足为E,若DE =2,CD=25,则BE的长为 ·99· 指南针·课堂优化·无年熊上屏·数学(HS》 11.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边AB 【创新探究】 的中点，DE∥BC交AC于点E,连结BE,点 F,G,H分别为BE,DE,BC的中点. 12.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD, (1)求证：FG=FH: E,F分别是AD,BC的中点，连结FE并延 (2)当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明 长，分别与BA,CD的延长线交于点M,N. 理由. 求证：∠BME=∠CNE: (2)如图2，在△ABC中，F是BC边的中点， D是AC边上一点，E是AD的中点，直线 FE交BA的延长线于点G,若AB=DC=2, ∠FEC=45°，求FE的长度. 图 图2 ·100·智南什4深堂化化·九年规上督·数争（伦） 色当△Q△度1形， 课后演落 专题练习3相似三角形的基本模型 L(1经明路《2)当∠A=时，1FH 惯-阁号一 1C1A3D4B5防am4号 爽型 1正(1是酬：连楼D,表D出的中力H.连接EH,FH 1.D1 :不，H分刚是DD的中点. 1-1该邪，A9么A度相 1.生雨略（矩形的则长为记阳 过P传L联于么M,设A.P变干点X,州有 米An注彩路空E-号 类型2 ÷HA,EN-宁A8,∠E-∠HF 3C4.0 :P.程分明是C,D的中点， PB=i.P=2.=B-. 1111∠AF= 类型 ∠NC+∠A=W,∠+∠NA-w, (2蛋明：声口得：k1D, FHCD,F=∠CNE=∠HFE, 5. “∠C-∠3M且∠Q-∠PR-, ∠MD=∠E=, 4(1证请，四山形AD为菱形 AB-CD.HE-FH. .△Q△， EF LAD. “∠AD=∠g, H∠HE于F=∠HFE∠E=∠CNE 战器尝得专 ÷∠APE=r, ”∠D=∠AE F= 第3深时相红三角对的料定（二） ∠E=∠E .∠A=∠A0, 23.5位似图形 基配导学 Y∠EG=∠AHF "∠HC-∠EAB. 基话导学 成比何夹角 ∠G=∠H, △A△AB, L朝交于一点仪自中心屋如比 健后蜜生 .△.EkA△AED (29ME= 王位敏中心做由各对虫点 LD2DAD4B多∠A-∠D 门1置明：当如：△A△A, 肉的 藻后素塔 3,0案A 4告无∠APE时成御=2 滑能册 1.D2C元D4点行5.1￥4k4t97.图扇 肉5 装1点A的学标为（一1，一： 米仪一名第民4或2度2地号安乎儿誓明暗 TADAE 9.B 14.B 2D图略，△LAC的面肌一12 12.1略23年r=2时，△Nn△混4 譜品 南6 11点D的标州一2，一2，（一4,29.(2,2 1.C 第4承时相组三角形的料定（三） ,∠日D=,段=x 1.1用.∠模工一∠AD 见A组一家一3凌数，里用鸭2子 基能导学 ==D, :∠E+∠A=∠AD+∠CE. 23.6图形与坐标 L三边三迪 蒂急鼎 即∠A=∠A 第】闲时用堂标精定住重 2.1有再个角对皮相等，两个三角形附虹2)再边对皮或 又：∠A-∠D 比例且走角相等的丙个三角彩朝目)层也对位晚比树 部部 器秘导学 △AG△D买 的两个一角形用做 上干面直角坐标品坐标 第春课时相很三角形的点周 2)℃骑长为5. 便后有体 家后清塔 惹位用学 234中位线 LA2B1E4∠C=∠mF是=吉等 1B1A3,04(2厚，一2)5 玉时边对只角对应商院中线对皮角早卧道 葱型牌华 6)意的北偏东的距O也1km处 多(1，)4一1)6135”大蓝明母装略 周长商积 ,中民线名平行第边的-半 7.1A4,.144(7s,12).B,1402E14.14 头，加减号1.矩形的卡是奖是名江要明腾 &比闲 1重重化士 装(1码头在推场的庄西自，距餐场3个单位长度，精所在易 课后清练 第多深时解红三角形的性质 绿后满蓝 头的系建方内上肥两具4但个单位卡度： 1.A2B3C4415,么5mk侧f高口米 基绿学 L2B及4粉5雪6子无华明略 230场0,0，雪透(3，，箱所1，，号头4一3，，营房 工，00义五4出象.小军得商约为L5米 上对应角时应边2对度商村应中线应角的平分线 0,一21.代房4一1， 3相制比4，相比的平方 nm2是唱t 8亚引略天号线4区 g5,0》101,4或(2，魔8.4011,3.5 40