第05讲 绝对值-2024-2025学年新人教版七年级数学上册点拨训练

新人教版七年级数学上 点拨*训练 第05讲 绝对值 学习目标 1.通过借助数轴理解绝对值的概念及性质. 2.会求一个有理数的绝对值. 重点：理解绝对值的概念及性质. 难点：会求一个有理数的绝对值 老师告诉你 (1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0. (2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数). （3）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 读作“a的绝对值”. 注意：a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 【新知导学】 例1-1．的绝对值是( ) A.3 B. C. D. 【对应导练】 1．若，则a的值为( ) A. B. C. D. 2．如果，则x的值是( ) A. B. C. D. 3．__________的相反数等于它本身，绝对值等于本身的数是__________；绝对值最小的数是__________. 知识点2 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 【新知导学】 例2-1．计算：__________. 【对应导练】 1．已知，且a为整数，请写一个满足条件的a的值_________. 2．若，则x一定是( ) A.0 B.负数 C.正数或0 D.负数或0 3．下列各数中，可使成立的是( ) A. B.0 C.2 D.4 4．使等式成立的有理数x是( ) A.任意一个整数 B.任意一个非负数 C.任意一个非正数 D.任意一个有理数 知识点3 绝对值的非负性 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”， 即若，则=0且=0． 【新知导学】 例3-1．若，则 ． 【对应导练】 1．若，则 ， ． 2．已知，求的值． 3．若，求，的值． 4．已知，求的值． 二、题型训练 1.求一个数的绝对值 1.的绝对值是（ ） A． B． C．2024 D． 2. 的值为（    ） A． B． C． D． 2.绝对值的非负性 3..若，则的值为（ ） A． B．0 C．200 D．以上答案都不正确 4.的最小值等于（ ） A．10 B．11 C．17 D．21 5..若，求，的值． 3. 绝对值的应用 6..在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A． B． C． D． 7.一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 三、易错点点拨 错误1.对绝对值的意义理解错误 例3-1.判断正误：│-a│=2则a=-2 错误2.一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数 例3-2.绝对值等于本身的数是________ 错误3.一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数 例3-3 .绝对值等于它的相反数的数是________ 错误4.如果两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等 例3-4 判断│a│=2, │b│=2 ,则a=b 错误5.有理数的绝对值一定是正数。 例3-5 判断│a│>0 错误6.没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数 例3-6 绝对值最小的数是__________ 4、 牛刀小试 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．的相反数是(    ) A. B. C. D. 2．若,,则的值等于(    ) A. B. C. D. 3．的值为(     ) A. B. C. D. 4．若,则是(    ) A.零         B.负数       C.非负数     D.负数或零 5．若 ,则的取值范围是(      ) A. B. C. D. 6．若,则 (  ) A.2                          B.-2 C.2或-2                        D.以上答案都不对 答案：C 7．下面说法中正确的是(   )  A.互为相反数的两个数的绝对值相等 B.一个数的绝对值是正数 C.一个数的绝对值的相反数一定是负数 D.只有负数的绝对值是它的相反数. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，，则的值为__________. 10．如果一个数的绝对值等于4，那么这个数是_________. 11．绝对值等于的数是          。 12．化简__________ 13．若，则_____. 三、解答题（共7小题，共56分） 14．（8分）分别求出：，，0，的绝对值. 15．（8分）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： （1）________. （2）计算：. 16．（9分）同学们都知道，根据绝对值的几何意义，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索： （1）_______； （2）找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由. （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由. 17．（8分）回答下列问题： (1),求x; (2),求x的取值范围． 18．（7分）已知，求的值. 19．（8分）阅读下面的例题： 我们知道,则. 请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题. (1),则__________； (2),则__________. 20．（8分）如图，数轴的单位长度为1. 请回答下列问题: （1）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？ （2）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？图中的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？最小的绝对值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新人教版七年级数学上 点拨*训练 第05讲 绝对值（解析版） 学习目标 1.通过借助数轴理解绝对值的概念及性质. 2.会求一个有理数的绝对值. 重点：理解绝对值的概念及性质. 难点：会求一个有理数的绝对值 老师告诉你 (1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0. (2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数). （3）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 读作“a的绝对值”. 注意：a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 【新知导学】 例1-1．的绝对值是( ) A.3 B. C. D. 答案：A 解析：, 的绝对值是3, 故选：A. 【对应导练】 1．若，则a的值为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：， ， ， 故选：B. 2．如果，则x的值是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：， ， 故选：C. 3．__________的相反数等于它本身，绝对值等于本身的数是__________；绝对值最小的数是__________. 答案：0；非负数；0 解析：由题意知，0的相反数等于它本身，绝对值等于本身的数是非负数；绝对值最小的数是0， 故答案为：0，非负数，0. 知识点2 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 【新知导学】 例2-1．计算：__________. 答案： 解析：， ， 故答案为：. 【对应导练】 1．已知，且a为整数，请写一个满足条件的a的值_________. 答案：3（答案不唯一） 解析：， ， 即， 故答案为：3（答案不唯一）. 2．若，则x一定是( ) A.0 B.负数 C.正数或0 D.负数或0 答案：C 解析：， 故选：C. 3．下列各数中，可使成立的是( ) A. B.0 C.2 D.4 答案：D 解析：若，则为0或正数， A、当时，，不能使成立，则此项不符合题意； B、当时，，不能使成立，则此项不符合题意； C、当时，，不能使成立，则此项不符合题意； D、当时，，能使成立，则此项符合题意； 故选：D. 4．使等式成立的有理数x是( ) A.任意一个整数 B.任意一个非负数 C.任意一个非正数 D.任意一个有理数 答案：B 解析：， 与x同号或x为0， 是任意一个非负数. 故选：B. 知识点3 绝对值的非负性 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”， 即若，则=0且=0． 【新知导学】 例3-1．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值，根据非负数的性质得出，是解题的关键． 根据非负数的性质可得，，即，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【对应导练】 1．若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 2．已知，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了绝对值非负的性质、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据绝对值非负的性质求得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 3．若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值． 【详解】解：由绝对值的性质得，， ， ，， ，． 4．已知，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值；根据绝对值的非负性，求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：由题意得    解得 二、题型训练 1.求一个数的绝对值 1.的绝对值是（ ） A． B． C．2024 D． 【解析】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义．根据绝对值定义，正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数即可解答． 【详解】解：， 的值为， 故选：C． 2.绝对值的非负性 3..若，则的值为（ ） A． B．0 C．200 D．以上答案都不正确 【解析】解：因为，且，，， 所以，， 所以，， 则， 故选：C． 4.的最小值等于（ ） A．10 B．11 C．17 D．21 【解析】解：表示数轴上表示数的点，到表示数，，3，5的点的距离之和， 由数轴表示数的意义可知， 当时，这个距离之和最小， 最小值为， 故选：C． 5..若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值． 【详解】解：由绝对值的性质得，， ， ，， ，． 3. 绝对值的应用 6..在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A． B． C． D． 【解析】解：因为， 所以最接近标准， 故选：B． 7.一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 三、易错点点拨 错误1.对绝对值的意义理解错误 例3-1.判断正误：│-a│=2则a=-2 【答案】错 ，绝对值等于2的数有两个，2 【点评】根据绝对值的定义，一个数的绝对值是指这个数与原点的距离。 错误2.一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数 例3-2.绝对值等于本身的数是________ 【答案】非负数 【点评】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，也是它本身。 错误3.一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数 例3-3 .绝对值等于它的相反数的数是________ 【答案】非正数 【点评】负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数是0,0的绝对值也是它的相反数。 错误4.如果两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等 例3-4 判断│a│=2, │b│=2 ,则a=b 【答案】错 【点评】│a│=2 ，则a= │b│=2则b=不一定相等。 错误5.有理数的绝对值一定是正数。 例3-5 判断│a│>0 【答案】错 【点评】有理数的绝对值一定是非负数。 错误6.没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数 例3-6 绝对值最小的数是__________ 【答案】0 【点评】有理数的绝对值是非负数,最小的有理数是0 4、 牛刀小试 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．的相反数是(    ) A. B. C. D. 答案：B 解析：根据绝对值的定义，负数的绝对值等于它的相反数，-3的绝对值是3， 故选B 点评：本题考查绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可求出结果，正确理解绝对值的意义是解题关键 2．若,,则的值等于(    ) A. B. C. D. 答案：D 解析：根据绝对值的定义，负数的绝对值等于它的相反数，-5的绝对值是5， 即b的绝对值等于5，也就是到原点的距离是5的数是。 故选D 点评：本题考查绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可求出结果，正确理解绝对值的意义是解题关键 3．的值为(     ) A. B. C. D. 答案：A 解析：根据绝对值的定义，-4的绝对值是4,4的相反数是-4 故选A 点评：本题考查绝对值的意义，相反数的表示，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可求出结果，正确理解绝对值的意义，相反数的表示是解题关键。 4．若,则是(    ) A.零         B.负数       C.非负数     D.负数或零 答案：D 解析：绝对值等于它的相反数的数是负数和0，即非正数，故选D 点评：本题考查绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可求出结果，正确理解绝对值的意义是解题关键 5．若 ,则的取值范围是(      ) A. B. C. D. 答案：A 解析：由绝对值性质可得:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,因为 ,所以,所以,选A。 点评：本题考查绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可求出结果，正确理解绝对值的意义是解题关键 6．若,则 (  ) A.2                          B.-2 C.2或-2                        D.以上答案都不对 答案：C 考点：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。绝对值是指在数轴上这个数到原点的距离，所以2的绝对值是2和-2 点评：本题考查对绝对值知识的理解，题目很简单，只需理解就可作对。 7．下面说法中正确的是(   )  A.互为相反数的两个数的绝对值相等 B.一个数的绝对值是正数 C.一个数的绝对值的相反数一定是负数 D.只有负数的绝对值是它的相反数. 答案：A 解析： 8．若,则与的关系是(   ) A. B. 或 C. D.不能确定 答案：B 点评：本题考查对绝对值、相反数知识的理解，题目很简单，只需理解就可作对。 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，，则的值为__________. 答案：3 解析：因为，，所以. 点评：本题考查对绝对值知识的理解加法运算，根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，即可求得。 10．如果一个数的绝对值等于4，那么这个数是_________. 答案： 解析：由题意可得，. 故答案为：. 点评：根据绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离 11．绝对值等于的数是          。 答案： 解析：由题意可得|6|=6，|-6|=6，故答案为：,6 点评：根据绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离 12．化简__________ 答案： 解析：|-4|=4-，|3-|=-3 4-+-3=1 考点：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 13．若，则_____. 答案： 解析：， ， 故答案为：. 点评：绝对值等于5的数有两个，它们互为相反数 三、解答题（共7小题，共56分） 14．（8分）分别求出：，，0，的绝对值. 答案：，，0， 解析：解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以. 因为到原点距离是个单位长度，所以. 因为0到原点距离为0个单位长度，所以. 因为到原点的距离是个单位长度，所以. 解法二：因为，所以. 因为，所以. 因为0的绝对值是它本身，所以. 因为，所以. 点评：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。正确理解绝对值意义是解题关键 15．（8分）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： （1）________. （2）计算：. 答案：（1） （2）0.9 解析：（1）. （2）原式 . 点评：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。正确理解绝对值意义是解题关键 16．（9分）同学们都知道，根据绝对值的几何意义，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索： （1）_______； （2）找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由. （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由. （1）答案：6 解析：解： ， 故答案为：6； （2）答案：符合条件的整数x为、、0、1、2、3、4 解析：设、4、x在数轴上所对应的点分别为， 则，. ①X在点A的左边时，， 与X在点A的左边矛盾，不符合题意 ②当X在点之间时，与相符， 此时X表示的整数可以为、、0、1、2、3、4； 整数x的值可以为、、0、1、2、3、4； ③X在点B的右边时，， ，与X在点B的右边矛盾，不符合题意 综上所述：符合条件的整数x为、、0、1、2、3、4； （3）答案：3，理由见解析 解析：对于任何有理数x，有最小值，最小值为3. 设3、6、x在数轴上所对应的点分别为， 则，. 由（2）同理可知，当X在点A的左边时，， 当X在点之间时，， 当X在点B的右边时，， ， ，当X在之间时取等号. 有最小值3. 点评：根据绝对值的几何定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，正确理解绝对值的几何意义是解题关键。 17．（8分）回答下列问题： (1),求x; (2),求x的取值范围． 答案：(1)由题意得:,所以或; (2)由题意得:,所以． 点评：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。正确理解绝对值意义是解题关键 18．（7分）已知，求的值. 答案：解：根据题意得， 解得， 所以. 点评：本题考查非负数性质，正确应用非负数性质是解题关键 19．（8分）阅读下面的例题： 我们知道,则. 请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题. (1),则__________； (2),则__________. 答案：(1)因为,则或； (2)因为, 可得：, 解得：或7； 故答案为：(1)或(2)1或7. 点评：根据绝对值的几何定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，正确理解绝对值的几何意义是解题关键。 20．（8分）如图，数轴的单位长度为1. 请回答下列问题: （1）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？ （2）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？图中的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？最小的绝对值是多少？ 答案：(1)因为点表示的数互为相反数，所以原点就应该是线段的中点，即在C点右边一格，所以C点表示数. (2)如果点表示的数互为相反数，那么原点是线段的中点，即点C左边半格，所以点C表示的数是正数点C表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是0.5. 点评：本题考查互为相反数性质，绝对值定义，非负数性质，正确应用相反数、绝对值性质质是解题关键 学科网（北京）股份有限公司 $$