专题25 数列求和（七大考点+二个易错点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题25数列求和 一、分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，或者是“奇偶式”，可采用分组分别求和法求数列的前n项和． 二、并项求和法 “并项求和”一般包括两类问题： ①同一数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后，各个“大项”又呈现出有规律特征，进而通过“大项”的求和得出结果； ②两个数列对应项的和(差)并成“大项”，通过求“大项”的和得出结果． 三、倒序相加法 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 四、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意： ①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 五、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 考点01分组求和法 【例1】已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【例2】已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【变式1-1】已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 【变式1-2】已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【变式1-3】设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 考点02并项求和法 【例3】已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 【例4】已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【变式2-1】在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式2-2】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【变式2-3】已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 考点03倒序相加法 【例5】已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【例6】在数列中，，则…的值是 . 【变式3-1】已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【变式3-3】已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 考点04错位相减法 【例7】已知数列满足，则数列的前n项和 . 【例8】已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的最大项； (3)记数列的前n项和为，求， 【变式4-1】已知数列中，， (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式; (2)设，求的前n项和 【变式4-2】记为正项等比数列的前项和，已知，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，证明：. 【变式4-3】已知数列满足是等差数列，是等比数列. (1)证明：； (2)记的前项和为，若对于任意，求的取值范围. 考点05裂项相消法 【例9】数列的通项公式，则该数列的前n项和 ． 【例10】设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【变式5-1】已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式5-2】若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设，记数列的前项和为，证明:. 【变式5-3】已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 考点06放缩后裂项 【例11】记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 【例12】已知数列中，，当时，，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【变式6-1】已知函数的图象与x轴正半轴交于点A，函数的图象在点A处的切线为l，l在y轴上的截距记为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证（且）． 【变式6-2】已知数列的前n项和为，若. （1）求通项公式； （2）若，为数列的前n项和，求证：. 【变式6-3】已知数列满足，且当时，． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，，证明：当时，． 考点07不等式问题 【例13】已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 【变式7-1】设数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式7-2】已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【变式7-3】记正项数列的前项积为，已知. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，证明：. 易错01忽视错位相减法中项数与符号出错 注意：利用错位相减法求解数列的前n 项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，构造的等比数列求和时，新数列的项数容易出错. 1．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 2．在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 易错02求分段数列求和要注意分类讨论 注意：分段数列一般分为偶数项和奇数项，求要注意讨论的奇偶 1．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，则数列的前n项和为 ． 2．已知数列的前项和为，满足，数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)，求数列的前项和； 一、单选题 1．若数列的通项公式是其前n项和为，则等于（   ） A．120 B．180 C．240 D．360 2．在数列中，已知，，则它的前30项的和为（   ） A． B． C． D． 3．已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 4．记数列的前n项和为，若，则（    ） A．301 B．101 C． D． 5．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（   ） A．615 B．620 C．625 D．630 7．已知等差数列的前项和为，若，，记数列的前项和为，若对都有恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8．已知，在数列的每相邻两项与之间插人个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（    ） A．150 B．151 C．170 D．171 二、多选题 9．已知正项等差数列的前n项和为，，公差为d，若，则（    ） A．或 B． C． D． 10．已知数列满足，记为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 11．已知数列满足，则（    ）. A． B．的前10项和为150 C．的前11项和为 D．的前16项和为168 三、填空题 12．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 ． 13．已知函数，则 ． 14．数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为 ． 四、解答题 15．已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 16．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)设求的前项和． 17．已知为等差数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围． 18．已知各项递增的等比数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)记数列的通项公式为，将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 19．已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题25数列求和 一、分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，或者是“奇偶式”，可采用分组分别求和法求数列的前n项和． 二、并项求和法 “并项求和”一般包括两类问题： ①同一数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后，各个“大项”又呈现出有规律特征，进而通过“大项”的求和得出结果； ②两个数列对应项的和(差)并成“大项”，通过求“大项”的和得出结果． 三、倒序相加法 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 四、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意： ①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 五、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 考点01分组求和法 【例1】已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，解得 因 ①， 当时，②              ①-②得，，即， 则，即，，又 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）法一、由（1）可得，即，        法二、由（1）可知，即， 又由题知： 代入可得 【例2】已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因为，所以． 所以． 综上． （2）由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 【变式1-1】已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则， 即，即 又数列为递增数列， 所以，故， 即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 则 . 【变式1-2】已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为①，时，②， ①-②整理得， 数列是正项数列，， 当时，， ，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ； （2）由题意知，设的前项中奇数项的和为，偶数项的和为， ， ， . 【变式1-3】设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公比为q，由已知， ， 则有，由，解得，所以； 由，得. （2）， 所以 . 考点02并项求和法 【例3】已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 【答案】D 【详解】设数列的公差为d，则解得 所以，设， 所以，，…， 所以数列的前2023项和为. 故选：D 【例4】已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【答案】(1) (2)1012 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 对于任意，有， 所以， 故数列的前2024项和为 ． 【变式2-1】在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 【变式2-2】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即 所以时， ， 所以（）， 又，所以. （2）因为， 所以 . 【变式2-3】已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由，， 两式相减得，即， 因为，所以，即， 故是首项为，公差为的等差数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 记，则， 考点03倒序相加法 【例5】已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】D 【详解】令函数， 则， 所以． 所以，令，则， 则有，所以． 故选：D． 【例6】在数列中，，则…的值是 . 【答案】1005 【详解】由得， 所以， 所以,相加可得, 故答案为：1005 【变式3-1】已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. 【变式3-2】已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】A 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 【变式3-3】已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，； 当时，①， ②， ①－②得：， ∴，当时，， ∴. （2）∵， ∴ ∴①， ②， 又∵∴①＋②得： ∴. 考点04错位相减法 【例7】已知数列满足，则数列的前n项和 . 【答案】 【详解】，① 得，② 得 . ∴. 故答案为： 【例8】已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的最大项； (3)记数列的前n项和为，求， 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1），且，， ， ， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则. 设等差数列的公差为， 则由，得， 解得： (舍)，或，所以. （2）由 (1) 可知， 当时，， 所以， 当时，，所以. 经分析可知当时，最大，且最大值为. （3）由（1）可知，，设， 则， 两式相减得 故. 【变式4-1】已知数列中，， (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式; (2)设，求的前n项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）当时， ， ， 又，， 故是以2为首项，3为公差的等差数列， ， ； （2）， ， 令，① 则，② ①②得：， ， ， 【变式4-2】记为正项等比数列的前项和，已知，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设等比数列的公比为，由可知，， 则，得，解得（负值舍去）， 将代入，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，， 则，可得， 两式相减可得 ， 可得. 因为，可知数列为递增数列，则； 综上可得. 【变式4-3】已知数列满足是等差数列，是等比数列. (1)证明：； (2)记的前项和为，若对于任意，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为数列是等差数列， 所以. 因为数列是等比数列， 所以，，且. 消去，得. 所以或. 若，则，且数列的公差， 所以，即，矛盾. 所以. （2）由（1）得数列的公差为，首项为. 所以，， 所以. 两边同时乘以，得. 两式相减，得. 所以. 由，，易得， 所以，单调递增，. 又，所以，即. 所以且，解得. 故的取值范围是. 考点05裂项相消法 【例9】数列的通项公式，则该数列的前n项和 ． 【答案】 【详解】 ， 故 ． 故答案为：. 【例10】设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【详解】由题意得， 则，则， 得，解得， 故选：A 【变式5-1】已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，． ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∴． 【变式5-2】若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设，记数列的前项和为，证明:. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由得，， 点在函数的图象上， （2）,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则， . 【变式5-3】已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，即； 又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，又是正项数列，所以． 当时，， 又当时，不符合时的形式． 所以 （2）证明： ， 考点06放缩后裂项 【例11】记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题设且， 则，所以， 当时，，即， 综上，数列是公差为2的等差数列 （2）由题意及（1）得， 所以， 当时， 则， 又， 所以得证. 【例12】已知数列中，，当时，，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意得， 所以，即． 当时， ． 当时，也符合． 综上，． （2）证明：由（1）得， 当时； 当时，， 故当时， ． 综上，． 【变式6-1】已知函数的图象与x轴正半轴交于点A，函数的图象在点A处的切线为l，l在y轴上的截距记为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证（且）． 【答案】(1); (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，令，解得， 又A在x轴正半轴，故， ，故切线斜率， l：， 令，，所以l在y轴上的截距． （2）证明：由题意． 故， 又对且时，， 所以 ， 得证． 【变式6-2】已知数列的前n项和为，若. （1）求通项公式； （2）若，为数列的前n项和，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）由①，令，得. 当时，有②，①②两式相减得， 即，又，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故； （2）法一：， 当时，， 当时，， ，则 故 . 综上，. 法二： 由真分数性质，若则， ， ， .故命题得证. 【点睛】数列分式放缩常见方法有三类： (1)分母不变，分子变化，如：若，则； (2)分子不变，分母变化，如：若，则； (3)分子、分母都变化，如真分数性质：若，则. 【变式6-3】已知数列满足，且当时，． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，，证明：当时，． 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【详解】（1）因为当时，，所以， 上述两式相除，可得，所以， 所以，所以， 又，所以，，，所以， 所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以． （2）因为， 所以， 所以 ， 所以当时，． 【点睛】关键点点睛：（1）通过变换求得新数列的递推关系，从而求得通项. （2）放缩法把问题转化为可以裂项求和的多项式和，是本题的关键点. 考点07不等式问题 【例13】已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由整理得，． 又为等差数列，则， 故．对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C． 【例14】已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）方程有两个相等的实数根， 则，即， 当时，， 当时，，符合， （2）由（1）知，， ①， ②， ①②得， ， 整理得：. 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 故， 又单调递增，单调递增， 单调递增， 故，当且仅当时取到最小值. 所以实数的最大值为. 【变式7-1】设数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，由，解得； 当时，则， 两方程相减得，即； 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）可知：， 则， ， 两式相减得， 可得，即. 因为， 可知是单调递增数列，且，可得， 因为对任意的恒成立，可得，解得， 所以的取值范围为. 【变式7-2】已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 【变式7-3】记正项数列的前项积为，已知. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，为正项数列， 当时，则，解得， 当时，则，即， 所以，则，故， ，又， 是以为首项，为公比的等比数列， ，， 当时，成立， ； （2）， ， ， 当时，，即成立， 当，，则，故， ， ， 故成立. 易错01忽视错位相减法中项数与符号出错 注意：利用错位相减法求解数列的前n 项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，构造的等比数列求和时，新数列的项数容易出错. 1．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 得， 故，由此可得为常数列， 又，则， 即． （2）由（1）知， 由等差数列求和公式，知，记， 记， 则， 两式相减得， 故， 所以的前项和. 2．在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列等差数列的公差为， 为等差数列，且， ， 构成公比不为1的等比数列， ， ， 解得或(舍). ∴. （2）因为， 当时，即， 当时， 所以， 由（1）知，， 当时也成立， 所以， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. 易错02求分段数列求和要注意分类讨论 注意：分段数列一般分为偶数项和奇数项，求要注意讨论的奇偶 1．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，则数列的前n项和为 ． 【答案】 【详解】设等差数列公差为，而， 则，， 于是，解得， 所以，所以， ， 当为偶数时，，， 当为奇数时，， 综上知：. 故答案为：. 2．已知数列的前项和为，满足，数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)，求数列的前项和； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）在数列中，当时，解得； 当时，由，则，即， 因为，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列即. 在数列中，，即， 则当时，，，，， 由累加法得， 所以， 当时，也符合上式，所以. （2）由（1）可得， 当为偶数时， = ； 当为奇数时， = ， 综上可得. 一、单选题 1．若数列的通项公式是其前n项和为，则等于（   ） A．120 B．180 C．240 D．360 【答案】C 【详解】由题意得 ． 故选：C. 2．在数列中，已知，，则它的前30项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由， 可得， 所以当时，， 又， 所以， 所以． 故选：D． 3．已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【答案】C 【详解】由题意可知，，所以； 由等比数列性质可得； 又因为函数，所以， 即，所以； 令，则； 所以， 即. 故选：C 4．记数列的前n项和为，若，则（    ） A．301 B．101 C． D． 【答案】C 【详解】数列中，，则， 所以 故选：C 5．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 因为，所以，， 即， 所以数列是等差数列， 又，，所以， 所以数列的公差为，首项为， 所以，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 6．已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（   ） A．615 B．620 C．625 D．630 【答案】C 【详解】因为， 所以，可得是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，因为数列的各项均为正数， 所以，因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ， 则. 故选：C. 7．已知等差数列的前项和为，若，，记数列的前项和为，若对都有恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，可得，所以， 则，可得， 所以的前项和为 ， 又因为，，且单调递增， 因为对都有恒成立，所以，所以实数的最小值为. 故选：B. 8．已知，在数列的每相邻两项与之间插人个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（    ） A．150 B．151 C．170 D．171 【答案】C 【详解】解：由题意知之间插入1个之间插人2个之间插人4个之间插入8个1， 之间插入16个之间插入32个之间插入64个1， 由于， 故数列的前100项含有的前7项和93个1， 故． 故选：C 二、多选题 9．已知正项等差数列的前n项和为，，公差为d，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由等差数列的性质以及，得， 即，解得或， 若，则，符合题意， 若，，不符合题意，故A错误，B正确； 由等差数列的前项和公式得：，所以 ，故C正确； 由，所以，故D正确. 故选:BCD. 10．已知数列满足，记为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】 由题意得，，解得，故A错误； 由，则，两式相除得，故B正确； 由可得，，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 11．已知数列满足，则（    ）. A． B．的前10项和为150 C．的前11项和为 D．的前16项和为168 【答案】ACD 【详解】对于A，由， 当时，， 两式相减得，， 当时，符合，所以，A正确； 对于B，的前10项和为，B错误； 对于C，的前11项和为，C正确； 对于D，，解得， 所以，， 所以的前16项和为 ，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 ． 【答案】3035 【详解】设等差数列的公差为， 因为，成等比数列，则，即， 整理得，由，解得， 所以，则， 所以， 故答案为：3035． 13．已知函数，则 ． 【答案】4043 【详解】由题意，函数， 可得 ， 设， 则 两式相加，可得 ， 所以. 故答案为：. 14．数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为 ． 【答案】 【详解】数列满足①， 当时，，即， 当时，②， 由②①得， 数列的所有奇数项，， 数列的所有偶数项，， 综上，数列的通项公式为. 记， 所以数列的前项和为： ， 由得，即， 因为,随着的增大而增大， 故当时，刚好满足， 所以,的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，则， 又是和的等比中项，所以， 解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以，所以 16．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)设求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以，即， 又因为， 所以， 所以， 故数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可知，，即， 所以. 所以 由，得 ， 所以. 故的前项和为. 17．已知为等差数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，则， 解得，即. （2）由题意得， 所以，即. 18．已知各项递增的等比数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)记数列的通项公式为，将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 显然且， 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； （2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，， 而，， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 19．已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由，得，而，则， 又，因此， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则， 令数列的前项和为，则， ， 两式相减得，则， 所以. （3）由（2）知， ， 而，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$