精品解析：福建省漳州市龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性考试数学试题

龙海一中2023--2024学年高二下学期高二年数学学科第二次阶段性考试 一、单选题，共8题，每题5分 1. 下列求导运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，因为是常数，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2. 如图，在正四面体中，是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算计算即可得. 【详解】. 故选：A. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果. 【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除； 对于B，，所以三个向量共面，排除； 对于D，，所以三个向量共面，排除. 故选：C. 4. 如图，正方体的棱长为2，正方形的中心为，棱的中点分别为，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，计算可判定A选项；利用正弦定理计算三角形的面积判定B选项；利用空间向量的距离公式可判定C选项；利用直线方向向量可计算夹角余弦值，可判定D选项. 【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，则，， 则， 故选项A正确； ， 所以， 则， ， 故选项B正确； ， ， ， 点F到直线的距离， 故选项C正确； ,则, 则令异面直线与所成角，可得， 故选项D错误. 故选：D. 5. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】100个元件，次品率不超过，即次品数为0或1，根据题干公式，求即可. 【详解】由题意知，则，所以. 因为， 所以次品率不超过的概率约为. 故选：B 6. 已知随机变量，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得到，再由得到，最后根据得出. 【详解】由于服从正态分布，且，故其均值. 而服从二项分布，故，再由，就有，得. 故选：D. 7. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的100天日落和夜晚天气，得到列联表如下，并计算得到，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是（ ） 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25天 5天 未出现 25天 45天 A. 夜晚下雨的概率约为 B. 未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C. 有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关 【答案】D 【解析】 【分析】根据列联表中的数据，结合概率的计算公式，以及独立性检验的思想，逐项判定，即可求解. 【详解】由列联表知，100天中有50天下雨，50天未下雨， 所以夜晚下雨的概率为，所以A正确； 又由未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，所以B正确； 因为， 所以有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以C正确； 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以D不正确. 故选：D. 8. 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果. 【详解】由已知有，即，即， 因为，令，，易知在上单调递增， 因，所以，故，即. 所以，令，可得， 又因在上小于零，故y在单调递减， 在上大于零，故y在单调递增， 故当时，y取极小值也是最小值为e. 故选：A 二多选题，共3题，每题6分，部分选对得部分分数，有选错得0分 9. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ） A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断. 【详解】对于，故， 令，解得，故，故A正确； 对于，故错误； 对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确； 对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误. 故选：AC. 10. 设，，均为随机事件，且，，，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据事件之间的关系可得，结合概率的性质即可判断A；利用条件概率公式化简即可判断B；根据事件的包含关系，结合条件概率公式即可判断C；根据对立事件与条件概率公式即可判断D. 【详解】对于A，因为， 且，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，此时，故C正确； 对于D，因为，由条件概率公式可得， 即， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. “新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ） A. B与C相互独立 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由相互独立事件成立的条件，算出，由可判断A；由条件概率的计算公式可得，，即可判断B、C；由和事件的计算公式可得，即可判断D. 【详解】因为， 所以，所以B与C不相互独立，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以D正确． 故选：BCD. 三．填空题，共3题，每题5分 12. 某工厂生产的件产品中，有件次品，现从中任取件产品，设为取出的件产品中次品的件数，则的均值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先确定所有可能的取值，由超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，根据均值的公式可求得结果. 【详解】由题意知：所有可能的取值为， ；；；； 的均值. 故答案为：. 13. 某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记事件：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，由题意可得，，，再利用全概率公式求出，结合二项分布的期望公式求解即可. 【详解】记事件：选取的产品为次品， 记事件：此件次品来自甲生产线， 记事件：此件次品来自乙生产线， 记事件：此件次品来自丙生产线， 由题意可得，，， 由全概率的公式可得， 从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为， 则任意选取100件产品，设次品数为,则,即. 故答案为：. 14. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： 根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为________. （参考数据：若随机变量，则，，） 【答案】 【解析】 【分析】计算，确定，再根据正态分布的性质计算概率即可. 【详解】 ， 故， . 故答案为： 四. 解答题 15. 为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为． （1）完成下面的列联表： 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 女生 合计 （2）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？ （3）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 80 120 200 女生 120 80 200 合计 200 200 400 （2）“阅读达标情况”与“性别”有关联 （3） X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）根据分析阅读达标与阅读不达标的人数，以及阅读达标的女生与男生的人数，进而可得列联表； （2）根据列联表计算，并与临界值对比分析，结合独立性检验分析说明； （3）由题意可知：X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可知：阅读达标与阅读不达标的人数分别为200，200， 阅读达标的女生与男生的人数比为， 据此可得列联表： 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 80 120 200 女生 120 80 200 合计 200 200 400 【小问2详解】 零假设： “阅读达标情况”与“性别”没有关联， 由（1）可得：， 依据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立， 所以“阅读达标情况”与“性别”有关联. 【小问3详解】 因为抽取5人中男、女生人数分别为， 由题意可知：X的可能取值为0，1，2，则有： ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为. 16. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）存在；，理由如下： 因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 【解析】 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022． 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由； （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1）选择模型②，理由为： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. （2）,预测该公司2028年的高科技研发投入亿元. 【解析】 【分析】（1）根据残差图判断； （2）利用最小二乘法求非线性回归方程即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，所以， 所以，， 所以关于的经验回归方程为， 令，则， 即预测该公司2028年的高科技研发投入亿元. 18. 甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷. （1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望； （2）求第n次（，）由乙抛掷的概率. 【答案】（1）（1）分布列如下： 1 2 3 4 P ； （2）（2） 【解析】 【分析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为，的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望； （2）设第次（，）由乙抛掷的概率为，则第次（，）由乙抛掷这个事件包含第次由乙抛掷，第次仍由乙抛掷和第次由甲抛掷，第次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出，从而可得，根据，结合等比数列，即可得到. 【小问1详解】 由已知，掷出的点数不大于4的概率为，大于4的概率为，抛掷4次，设甲抛掷次数为，的可能取值为1，2，3，4. ， ， ， ， 分布列： 1 2 3 4 P 则 【小问2详解】 由题意， 设第次（，）由乙抛掷的概率为，则第次（，）由乙抛掷这个事件包含第次由乙抛掷，第次仍由乙抛掷和第次由甲抛掷，第次由乙抛掷这两个互斥的事件， 所以，（）， 所以，（），又，所以， 所以，当，时，为等比数列，则，所以，， 第n次（，）由乙抛掷的概率. 【点睛】本题考查的知识点是随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，关键是对题意的理解，是难题. 19. 某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. （1）若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. （2）已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 【答案】（1）应选择第一条路线， 理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、， 则，， ，，， 所以； 又，，， 所以； 因为，所以应选择第一条路线. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可比较，得出结论. （2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设选择第一条路线时遇到的红灯次数为， 所以；， 设随机变量，取值为，其概率分别为，且， 所以 ， 又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙海一中2023--2024学年高二下学期高二年数学学科第二次阶段性考试 一、单选题，共8题，每题5分 1. 下列求导运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在正四面体中，是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方体的棱长为2，正方形的中心为，棱的中点分别为，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 5. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的100天日落和夜晚天气，得到列联表如下，并计算得到，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是（ ） 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25天 5天 未出现 25天 45天 A. 夜晚下雨的概率约为 B. 未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C. 有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关 8. 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二多选题，共3题，每题6分，部分选对得部分分数，有选错得0分 9. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ） A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 10. 设，，均为随机事件，且，，，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. “新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ） A. B与C相互独立 B. C. D. 三．填空题，共3题，每题5分 12. 某工厂生产的件产品中，有件次品，现从中任取件产品，设为取出的件产品中次品的件数，则的均值为____________． 13. 某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为__________. 14. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： 根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为________. （参考数据：若随机变量，则，，） 四. 解答题 15. 为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为． （1）完成下面的列联表： 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 女生 合计 （2）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？ （3）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 17. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022． 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由； （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 18. 甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷. （1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望； （2）求第n次（，）由乙抛掷的概率. 19. 某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. （1）若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. （2）已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $