广西钦州市示范性高中2024-2025学年高三开学考试数学试卷

广西钦州市示范性高中2024—2025学年度秋季学期开学考试 高三数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数 满足 ，则 A． B．1 C． D．2 2．下列四个命题中，是真命题的为 A．任意 ，有 B．任意 ，有 C．存在 ，使 D．存在 ，使 3．若 都为非零向量，且 ， ，则向量 的夹角为 A． B． C． D． 4．下列命题中正确的是 A．一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 B．对一组数据 ，如果将它们变为 ，其中 ，则平均数和标准差均发生改变 C．有甲､乙､丙三种个体按 的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D．若随机变量X服从正态分布 ， ，则 5．已知A（1, 0），B（ ,0），动点 满足 ，则点M的轨迹方程是 A． （ ） B． （ ） C． （ ） D． （ ） 6．函数 图象的大致形状是 A． B． C． D． 7．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟教授等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”（命名为“九章”是为了纪念中国古代最早的数学专著《九章算术》），求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上衰二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽 丈，长 丈，上棱 丈， 与平面 平行．EF与平面 的距离为1丈，则它的体积是 A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈 8．若 ， ，则 的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若函数 则 A． 的最小正周期为10 B． 的图象关于点 对称 C． 在 上有最小值 D． 的图象关于直线 对称 10．过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，过点A作抛物线的切线PA，则下列说法正确的是 A． 的最小值为 B．当 时， C．以线段 为直径的圆与直线 相切 D．当 最小时，切线 与准线的交点坐标为 11．已知函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象先关于 轴对称，然后再向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则下列说法正确的是 A． B． C．函数 为奇函数 D．函数 在区间 上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ． 13．已知角 的终边过点P（1，2），则 . 14．某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为 ，在一场比赛中高一获胜的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 . （1）求角A的大小； （2）D是线段 上的点，且 ， ，求 的面积. 16．（15分）已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围. 17．（15分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形， ，过棱 的中点E作 于点 ，连接AF．   （1）证明： ； （2）若 ，求平面 与平面 所成角的正弦值． 18．（17分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ，且不同对阵的结果相互独立. （1）若 ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 19．（17分）牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设r是 的一个零点，任意选取 作为r的初始近似值，过点 作曲线 的切线 ， 与x轴的交点为横坐标为x1，称x1为r的1次近似值，过点 作曲线 的切线 ， 与x轴的交点为横坐标为x2，称x2为r的2次近似值．一般地，过点 作曲线 的切线 ， 与x轴的交点为横坐标为 ，就称 为r的 次近似值，称数列 为牛顿数列． （1）若 的零点为r， ，请用牛顿切线法求r的2次近似值； （2）已知二次函数 有两个不相等的实数根 ，数列 为 的牛顿数列，数列 满足 ，且 ． （ⅰ）设 ，求 的解析式； （ⅱ）证明： 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D D A B B C AD ACD AD 1．C【解析】 ， 2．C【解析】由于对任意 ，都有 ，因而有 ，故A为假命题． 由于 ，当 时， 不成立，故B为假命题． 由于 ，当 时， ，故C为真命题． 由于使 成立的数只有 ，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题． 3．D 【解析】因为 ， ，所以 ， 即 ， 化简得 ，所以 ． 所以 ．因为 ，所以 ． 4．D 【解析】对于A，数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是 ，众数等于中位数，故A错误； 对于B，数据 ，如果将它们变为 ，其中 ，则平均数增加C，标准差不变，故B错误； 对于C，有甲､乙､丙三种个体按 的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为 ，故C错误； 对于D，若随机变量X服从正态分布 ， ，则 ，故D正确． 5．A 【解析】∵ 点 ，         ∴         又∵动点 满足         ∴点 的轨迹方程是射线： （ ），故选A 6．B 【解析】依题意，函数 的定义域为R， ， 即函数 是R上的奇函数，其图象关于原点对称，选项A，C不满足； 当 时， ，即有 ，选项D不满足，B符合题意. 7．B 【解析】如图，过点 作 平面 ，垂足为 ，过点 作 平面 ，垂足为 ， 过 作 ，交 于 ，交 于 ，过 作 ，交 于 ，交 于 ， 所以 ， ，且四边形 与四边形 都是矩形； 所以它的体积 （立方丈） 8．C 【解析】方法一：由 ， ， 消去 得到 ， 令 ， ， 则 ，即 ， ，当且仅当 时，等号成立， 故 的最大值为 ． 当 时， ，不成立， 当 时， ， 故 的最大值为 . 综上所述： 的最大值为 ． 方法二：由 ， ， 可消去 得到 ， 则 ，令 ， ， 当 时， ， 故 的最大值为 ． 9．AD 【解析】 ，A正确. 因为 ，所以 的图象不关于点 对称，B错误. 因为 ，所以 的图象关于直线 对称，D正确. 若 ，则 ，由 的图象可知， 在 上有最大值，没有最小值，C错误. 10．ACD 【解析】对于A，依题意可设直线 的方程为 ， ， ， ，则 ， ， 联立 ，消 整理得 ， 则 ，代入 得 ， 则 ，当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为 ，故A正确； 对于B，结合A可得 ， ， 由 ，得 ，解得 ， ，故B错误； 对于C，由题意得抛物线的准线方程为 ，焦点 ， 设 ， ， 在准线上的射影为 ， ， ， 则 ， ， ， 所以以线段 为直径的圆与直线 相切，故C正确； 对于D，结合A可得，当 最小时，不妨取 ， 则可设切线 的方程为 ， 联立 ，消 整理得 ， 则 ，解得 ，所以切线 的方程为 ， 联立 ，解得 ， ，即切线 与准线的交点坐标为 ，故D正确． 11．AD 【解析】根据函数 的部分图象， 可得A＝2， ，∴ω＝2， 对于A选项，结合五点法作图，可得 ，故A正确， ，将函数 的图象平移后得到函数 的图象， 则 ， 对于B选项，由 ，得到 的对称轴为 ， 显然 不是其对称轴，故 ，故B错误， 对于C选项，函数 显然不是奇函数，故C错误， 对于D选项， ， 的递增区间即 的递减区间， 令 ， 解得 ， 故 的递增区间是 ， 当 时， 的递增区间是 ，故D正确， 12． 【解析】设等差数列 的公差为 ， 则有 ,解得： ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 . 13． 【解析】因为角 的终边过点P（1，2），所以 ， 所以 ， 14． ； 【解析】设 为高一出场选手， 为高二出场选手，其中 表示段位， 则第一局比赛中，共有 ，共9个基本事件，其中高一能取得胜利的基本事件为 ， ， ，共3个， 所以第一局比赛高一获胜的概率为 ， 在一场三局比赛中，共有不同的 种安排方法， 其中高一能获胜的安排方法为 ， ， ， ， ， ，共6种，故在一场比赛中高一获胜的概率为 . 15． 【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 . 因为 ，所以 ，所以 ，………………………………………………2分 即 . 因为 ，所以 ，即 .………………………………………………………………4分 （2）设 ，因为 ，所以 . 因为 ，所以 ， ， ，……………………………6分 在△ACD中，由正弦定理可知 ， ……………………………………………………8分 即 ， 即 ，…………………………………………………………10分 化简可得 ，即 ， ,……………………………………………………12分 所以 .………………………………13分 16． 【解析】（1）当 时，函数 ，求导得 ，则 ，…………2分 而 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 . …………………………………………………………………………………………4分 （2）函数 的定义域为 ， 求导得 ， ………………………………………6分 当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ， 则函数 在 上递增，在 上递减，函数 只有极大值 ，不合题意；当 时，由 ，得 或 ， …………………………………………………………………………8分 ①若 ，即 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ， 则函数 在 上递增，在 上递减， 因此函数 的极大值为 ，极小值为 ，符合题意； ……………………………………10分 ②若 ，即 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ， 则函数 在 上递增，在 上递减， 因此函数 的极大值为 ，极小值为 ，符合题意； ……………………………………12分 ③若 ，即 ，由 在 上恒成立，得 在 上递增， 函数 无极值，不合题意， …………………………………………………………………………14分 所以 的取值范围为 .………………………………………………………………………15分 17 【解析】（1）∵四边形 为矩形，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，………………………………………………2分 又 ， 平面 ，∴ 平面 ， 又 平面 ，∴ ． ……………………………………………………………………3分 ∵ ，点E是 的中点，∴ ． 又 ， 平面 ，∴ 平面 ． 平面 ，∴ ． ……………………………………………………………………4分 又 ， , 平面 ，∴ 平面 ， 平面 ，∴ ．…………………………………………………………………………6分 （2）   如图，因AB，AD，AP两两垂直， 故可以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ，………………………………………………………8分 ∴ ， ． 由（1）可知， 可看成平面 的一个法向量，………………10分 可看成平面 的一个法向量． ……………………………12分 设平面 与平面 的所成角为 ， ∴ ，∴ ， ………………14分 ∴平面 与平面 所成角的正弦值为 ．………………………………………………15分 18． 【解析】（1）①记“甲获得第四名”为事件 ，则 ；………………………2分 ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量 ， 则 的所有可能取值为2，3，4， 连败两局： ，………………………………………………………………4分 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ；…………………………………………6分 故 的分布列如下： 2 3 4 故数学期望 ；…………………………………………8分 （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率 ，……………10分 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为 ， 由 ，且 ………………………………12分 所以 时， ，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； ………………………………14分 时， ，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； ……………………………………16分 时，两种赛制甲夺冠的概率一样. ………………………………………………………………17分 19． 【解析】（1） ，所以 ……………………………………2分 当 ，所以 当 ， 所以 的2次近似值为 . ……………………………………………………………………………4分 （2）（ⅰ）因为二次函数 有两个不等实根 , 所以不妨设 ， 则 ， 因为 所以 所以在横坐标为 的点处的切线方程为 ………………………6分 令 则 即 ， 所以 .……………………………………………………………………………………8分 （ⅰⅰ）由（ⅰ）知， 所以 .………………………………………………………………………………………………10分 因为 所以 所以 . 令 则 ，又 所以 ，………………………………………………………………………………………………12分 数列 是公比为2的等比数列. .……………………………………………………………………………………………13分 令 ，则 当 时， ，所以 在 单调递减， 所以 ，即 ……………………………………………………15分 因为 所以 即 . . ………………………………………………………………17分 高三数学试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 高三数学试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 $$