精品解析：山东省淄博市四校（淄博市实验、齐盛中学、淄博十一中、淄博五中）2023-2024学年高二下学期第一次模块考试数学试题

命题人：数学学科中心组 使用时间：2024年5月 高二年级第二学期第一次模块考试数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的几何意义得出斜率，进而由点斜式得出方程. 【详解】由题意可得，则， 则所求切线方程为，即. 故选:：C 2. 已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 56 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值. 【详解】因为， 所以由组合数性质得，， 所以. 故选：C. 3. 已知等比数列为递增数列，若，，则公比（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比. 【详解】由，解得或； 数列是由正数组成的递增数列，，且. 故选:：D 4. 的展开式中常数项为（ ） A. 280 B. C. 160 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合两个二项式相乘的特点，求出k，即可求得答案. 【详解】的展开式中通项为, 所以要使展开式中出现常数项，需或， 当时，；当时，（舍去）， 所以常数项为， 故选：A． 5. 已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】通过列举数列的项的方法，即可求解. 【详解】的前6项依次为，因为，故的最小值为6． 故选：C 6. 中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A. 8种 B. 14种 C. 20种 D. 16种 【答案】B 【解析】 【分析】先得出没有位置限制的种数，再减去甲、乙两人同在 "天和核心舱" 内的种数. 【详解】依题意，没有甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验限制的情况， 有种安排方案， 其中甲、乙两人同在 "天和核心舱" 内的安排方案有种， 所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验的安排方案有种. 故选：B 7. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由极值点的定义结合韦达定理代入计算，即可得到，，再由等比数列的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 因为，是函数的极值点， 由韦达定理可得，， 所以，因为等比数列奇数项同号，则 由等比数列的性质可知，则. 故选：B 8. 若函数，g(x)=对任意的，不等式恒成立，则整数m的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给不等式转化为时，恒成立，构造函数知其单调递增，利用导数恒大于等于0求解即可. 【详解】因为单调递增，，所以，即， 原不等式恒成立可化为恒成立， 即时，恒成立， 即函数在上为增函数， 所以在上恒成立， 即，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，函数的最大值为， 即恒成立，由知，整数m的最小值为2. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由求和公式结合角标性质得出，进而判断单调性以及最值. 【详解】， 故， ，故， 所以，且，，即是递增数列，故ABD正确. 由于是递增数列，，故时，取得最小值，故C错误； 故选：ABD 10. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 若是函数的极值点，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，则恒成立 D. 若在上恒成立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数结合极值点求出判断A；利用导数结合单调性求出的范围判断B；利用函数最小值判断C；利用恒成立的不等式求出的范围判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，由是函数的极值点，得，解得， 此时，显然是在上的变号零点，因此，A正确； 对于B，在上单调递增，则，， 而函数在上单调递增，恒成立，因此，B错误； 对于C，由，得，，， 当时，，递减，当时，，递增， 因此，而，C错误； 对于D，，， 令，求导得，当且仅当取等号， 因此函数在上单调递增，，所以，D正确. 故选：AD 11. 在的展开式中，则（ ） A. 第1000项和第1024项的系数相同 B. 第1013项的系数最大 C. 所有项的系数和为 D. 被6除的余数为1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据通项公式结合组合数的性质判断A；由通项公式结合组合数的性质判断B；赋值法判断C；由结合二项式定理判断D. 【详解】对于A：的展开式的通项为， 则第1000项和第1024项的系数分别为，， 由于，则第1000项和第1024项的系数不相同，故A错误； 对于B：由通项公式可知，展开式项的系数为正的有：， 其中最大，则第1013项的系数最大，故B正确； 对于C：令，可得，则所有项的系数和为，故C错误； 对于D：， 其中都是6的倍数，， 则被6除的余数为1，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，，若为数列的前n项和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分奇偶讨论，结合等差等比定义以及求和公式求解即可. 【详解】当时，， 即数列的奇数项构成等差数列, 其首项为1，公差为2 ， 则. 当时,，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为，公比为，则 ， 所以 故答案为： 13. 展开式中含的项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】将三项看成两项，利用二项式定理结合分类讨论得出答案. 【详解】其展开式为， 根据题意可得：. 当时，则，展开式为. ,，则含的项的系数为. 当时，则， 展开式为，， 则含的项的系数为. 当时, 则, 展开式为， ，则含的项的系数为. 综上所述:：含的项的系数为. 故答案为： 14. 已知函数，若函数图象上存在两个不同的点与函数图象上两点关于轴对称，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出关于轴对称的图象的解析式，问题转化为与的图象在时有两个交点，通过引入新函数，确定新函数的单调性与极值得出参数范围． 【详解】在中用替换得， 所以的图象关于轴对称的图象的函数解析式是， 由题意即在上有两个不等实根， 方程化为， 令，则， 得， 时，，递减，时，，递增， 所以，时，，时，， 实际上时，，所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查用导数研究函数图象交点问题，解题方法利用对称性转化为函数图象交点，方程根的个数问题，再引入新函数转化为利用导数研究函数的单调性、极值，确定函数值的变化趋势，从而得出结论． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列的前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求公式解方程得出数列的通项公式； （2）由裂项相消法求出，再由单调性结合恒成立条件确定m的取值范围． 【小问1详解】 设数列的公差为，则， 解得，即. 【小问2详解】 由题意得， 所以，即. 16. 已知函数，其中. （1）若在处取得极值，求a的值； （2）当时，讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在，内单调递增，在内单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，内单调递增，在内单调递减． 【解析】 【分析】（1）求导，由，得到方程，求出，并进行检验； （2）求定义域，求导，分，与三种情况，求出函数的单调性. 【小问1详解】 ， 由题意，， 解得， 当时，，定义域为， ，令，解得， 令，解得，故为的极值点， 满足题意，故 【小问2详解】 定义域为， ，， ①时，， 令，解得或，令，解得， 函数在，内单调递增，在内单调递减； ②当时，，故函数在上单调递增； ③当时，，令，解得或，令，解得， 故在，内单调递增，在内单调递减． 综上：当时，在，内单调递增，在内单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，内单调递增，在内单调递减． 17. 已知数列满足，数列满足对任意正整数均有成立． （1）求的通项公式； （2）求的前99项和． 【答案】（1） （2）825 【解析】 【分析】(1)利用递推式的性质，可求出. (2)根据，可得，利用等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 两式相减得，， 又时，，也符合． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，，因为对任意的正整数， 均有， 故数列的前99项和 ． 18. 已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的最大项； （3）记数列的前n项和为，求， 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由前项和与通项的关系得出数列的通项公式，再结合等比性质得出的通项公式； （2）由作差法得出单调性，进而得出最值； （3）由错位相减法求解即可. 【小问1详解】 ，且，， ， ， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则. 设等差数列的公差为， 则由，得， 解得： (舍)，或，所以. 【小问2详解】 由 (1) 可知， 当时，， 所以， 当时，，所以. 经分析可知当时，最大，且最大值为. 【小问3详解】 由（1）可知，，设， 则， 两式相减得 故. 19. 已知函数． （1）若与互为反函数，求实数的值； （2）若，且，证明：； （3）若，且，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，， 所以， 故只需证明当时，． 当时，在区间上单调递增． 又， 根据零点存在定理，，使得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 故． 又，所以， 所以， 所以， 综上，当时，． （3） 令，因为，所以， 由. 由于，故，令，则，故， 故 记，所以， 记， 所以在单调递减，故． 又因为，所以， 所以在单调递减，故， 所以，即， 又因为，所以． 【解析】 【分析】（1）结合反函数定义，即可得解； （2）将所求转化为证明当时，．借助导数，根据零点存在性定理，即可求证； （3）先换元，将复杂的式子简化，再借助导数研究函数的单调性，再逆向反推即可得证． 【小问1详解】 因为同底的指数函数与对数函数互为反函数， 所以的反函数为，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2，利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3，适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论； 4，构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 命题人：数学学科中心组 使用时间：2024年5月 高二年级第二学期第一次模块考试数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 56 D. 72 3. 已知等比数列为递增数列，若，，则公比（ ） A. B. 6 C. D. 4. 的展开式中常数项为（ ） A. 280 B. C. 160 D. 5. 已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A. 8种 B. 14种 C. 20种 D. 16种 7. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 8. 若函数，g(x)=对任意的，不等式恒成立，则整数m的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 10. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 若是函数的极值点，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，则恒成立 D. 若在上恒成立，则 11. 在的展开式中，则（ ） A. 第1000项和第1024项的系数相同 B. 第1013项的系数最大 C. 所有项的系数和为 D. 被6除的余数为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，，若为数列的前n项和，则______． 13. 展开式中含的项的系数是______． 14. 已知函数，若函数图象上存在两个不同的点与函数图象上两点关于轴对称，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列的前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围． 16. 已知函数，其中. （1）若在处取得极值，求a的值； （2）当时，讨论的单调性． 17. 已知数列满足，数列满足对任意正整数均有成立． （1）求的通项公式； （2）求的前99项和． 18. 已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的最大项； （3）记数列的前n项和为，求， 19. 已知函数． （1）若与互为反函数，求实数的值； （2）若，且，证明：； （3）若，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $