2024年吉林省高中数学联赛初赛试题

2024年吉林省高中数学联赛初赛试题 一、选择题：本大题共6小题。 1记s=兰+兰+ 52-4 …+4，则与S最接近的整数为 132-4 A.14 B.15 C.16 D.17 2在四边形ABCD中，AB∥CD,衣=+nuE).着+n=是则 CD A. B C.1 D.2 3.函数f(x)=ar'-6x(ae),若Vxl<2对Vxe[-l,]成立，则 AV<1对yx∈[-]成立 B.V<号对vxe[-]成立 C.V训<18对vxe[-是]成立 D.V训<要对vxe[-是引成立 4.在正四面体ABCD中，棱AD的中点和面BCD的中心的连线为MN,棱CD的中点和面ABC的中心的连线 为PQ,则M与PQ所成角的余弦值为 () A成 B.17 c. D.3 5.已知函数f(x)=√2x-18+12r+68+x2-x+1,则 A.f(x)的最小值为8 B.f(x)的最小值为9 C.f(x)=8有1个实根 D.f(x)=9有1个实根 6已知4B,C是平面上三个不同点，且BC=a,CA=h,4B=c,则千6+名的最小值为 A.- B竖- c2-号 D.1-￥ 二、填空：本大题共6小题. 7,设集合S={1,2,3,4,5},若5的子集A满足：若x∈A,则6一x∈A,则称子集A具有性质P,现从S的所有 非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概常为_一， 8.函数f(x)=log(4-ar)(a>0,且a≠1)，若f(x)≥1对x∈[1,2]成立，则实数a的取值范围 9.已知甲、乙、丙、丁四位同学对某10道判断题的解答情况如下表： 题号 5 6 7 9 10 甲 × × × × 乙 x √ 丙 丁 × × 若甲、乙、丙三人均答对7题，则丁答对的题数为 10已知函数/=r-之+兰-ax,若3m>0,使得/)>，期实数a的最大值为】 C扫描全能王 亿人在用的扫描A Il.设函数f(x)=sinr·sin3x,若关于x的方程f(x)=a在(0，π上有奇数个不同的实数解，则实数a的值为 I2.在△ABC中，AP平分∠BAC,AP交BC于P,BQ平分∠ABC,BQ交CA于Q,∠BAC=30,且AB+BP =AQ+QB,则∠ABC的度数为 三、解答：本大题共4小题. 13.已知椭圆C,的中心为坐标原点O,焦点在坐标轴上.圆C,的圆心为坐标原点O,过点A(-2,0)且倾斜角 为30的直线与圆C,相切. (I)求圆C,的方程： (2)过圆C2上任意一点P(x)(x。%≠0)作圆C的切线，与椭圆C,交于A,B两点，均有∠AOB=90°成立 判断椭圆C,是否过定点？说明理由。 4已知数列}满是：a=1,=281=立+a->2)求证：2>8 15.如图，⊙O、⊙O外切于点A,过点A的直线交⊙O,于另一点B,交⊙O于另一点C,CD切⊙O,于点 D,在BD的延长线上取一点F,使得BF2=BC-CD,连接CF交⊙O2于E,求证：DE与⊙O2相切. 16.全体正有理数的集合Q被分拆为三个集合A,B,C(即AUBUC=Q,且AnB=BnC=CnA=o, 满足B*A=B,B*B=C,B◆C=A,这里H*K={h·kIh∈H,k∈K}. (I)给出一个满足要求的例子（即给出A,B,C): (2)给出一个满足要求的例子，且1,2，·，35中的任意两个相邻正整数均不同时在A中， C扫描全能王 亿人幕在用的扫描 2024年吉林省高中数学联赛初赛试题 一、选择题：本大题共6小题。 1.记5=计+4++…+3.侧与S最接近的整数为 3-4+4-4+ 52-4 132-4 (B) A.14 B.15 C.16 D.17 I答案1B 1当m>3时，1+w=1+22) m'-4 s-兰=训+必点 台m2-4 =+2片+2+号+-立市05) =15-24信+4+5) 1 1 3 >15-2×音>14.5 敌正确选项为B 2.在四边形ABCD中AB∥CD,AC=2店+(，ER).若+H= 则 CD (B) A号 B. C.1 D.2 I答案】B 【解折1设AB=C(ueR) 又AC=A店+i.AC=Ci+uAi=C+风dC+C) 即(1-)A元=(1+)C可 又AC,C万不共线 ,又+n=号 =I1 丽得久从石丽=-2可，羽=》 1=-2 故正确选项为B. 3函数f)=a2-6r(ae),若Vxl<2对Vxe[-l,]成立.则 (C) A.V<1对vxe[-分]成立 B.V≤号对vxe[-]成立 C.V训<18对Vx∈[-受]成立 D.V<受对vxe[-是]成立 I答案】C (八-1)=-a+6≥-2， 解析】由 -)-g+3<2 得8≤a≤8.即a只可能为8 又8r-6r-2=8r+22.6x-)≤0对Vxe[-l,]成立， 8r2-6r-(-2)=8(x-)2(x+1)≥0对Vxe[-1.2]成立， C3扫描全能王 亿人幕在用的扫描 即8r-6<2对Vxe[-l,]成立 a=8 经检验，正场选项为C 4.在正四面体ABCD中，棱AD的中点和面BCD的中心的连线为MN,棱CD的中点和面ABC的中心的连线 为PQ,则MN与PQ所成角的余弦值为 (A) A成 B.17 c.6 D.i5 【答案】4 【解折】设校长为a,如图，取AME=号，取BC的中点为F,连AF,DF,NQ.QE,可得FN=FD,FQ= 号a, 故Q”D,LQ=号4D=号， 四边影AQE是平行四边形， EQ∥AMN, 在△DPE中，DP=号，DE=名a,∠PDE=60, 由余孩文理得，BP=, 又在△PQE中，PQ=EQ=MN=号. 由余弦定理得，cosLPQE=一8： 1 MN与P四所成角的余孩值为这， 故正扇选项为A, 5.已知函数f(x)=√2x-182+12x+68+2-x+1,则 (B) A.f(x)的最小值为8 B.f(x)的最小值为9 C.f(x)=8有1个实根 D.(x)=9有1个实根 I答案】B I解析1P(x,)是抛物钱y=x2上一点 C扫描全能王 亿人在用的扫描A P到直钱y=x-1的距离为PQ= *=竖4， P到点M(-3,5)的距离为1PM川=√(x+3+(-5分， 当M,P,Q共线时，PQ+|PM取最小值， 最小值为M(-35)到=r-1的距高3二5-山。92 2 y=2[受(-+I)+V+3+(-列]=2(PQ+P 具PO+PW的最小值为. y的最小值为9，且在交点P(-2,4)或P(1,1)处取到（如因） 敌正确选项为B 6已知小B.C是平而上三个不同点，且BC=a,C4=b,4B=c,则千6+名的最小值为 (A) A.i-方 B竖- c.2-号 D1-竖 I答案1A 【解折】由题意b+c≥a,则 6+=6+- f6+4+e-1 ≥ 2e =千6+"坐-号 2-2 >2√不法- =i- 事h+=且千6=装脚a=生。，b=时软等： 小6+名的装小值为2-士 敌正确选项为A 二、填空：本大题共6小题 7,设集合S=(1,2,3,4,5.若S的子集A满足：若x∈A,则6-x∈A,则称子集A具有性质P,现从S的所有 非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质P的概率为立一 答案7 【解折】可列举出集合S的非空子集的个数为2'-1=3引，其中具有性质p的非空子集为：(3}，{1,5}.{2 4.{山.35.{23,4，，24.51,1,23,45)共7个，所取出的非空子集具有性质n的概华为P= 8.函数f八)=1og(4-a)(a>0,且a≠1)，若f)>1对Vx∈[1,2]成立，则实数a的取值范围(L,]. 1答案] I解指)当a>1时.og(4-a)>1a4-m>aaa≤xe1,2l 设/心=xxe,21,期)在1,2]上诚画载. f)=f2)=手鼓1<a< C3扫描全能王 亿人幕在用的扫描 当0<a<1时，log(4-r)≥1台 4-ar≤a>4 4-ar>0 +Txe1,2] 设=e.2小，)=÷el.21. 则(x),6(x)在l,2】上均为减函数， ∴(x)灬=4(I)=2,5(x)mn=(2)=2, 一gCe不等无n 棕上，实载a的取值范网光(，号] 9.己知甲、乙、丙、丁四位同学对某10道判断题的解答情况如下表： 题号 1 2 3 4 5 6 7 10 甲 × × × √ × × 乙 X × √ X √ × × 丙 × × × 丁 × × √ × × 若甲、乙、丙三人均答对7题，则丁答对的题数为6一， 【答案16 【好析】若某两人对同一道题的答案是不网的，则其中必有一人答错， :甲与乙有6道题的答案不同，而甲与乙共错了6题，故甲与乙错的题都在这对应的6题中，由此可得第1， 7,8,10题的正确答紧分别为×，×： 同理，甲与丙也有6道题的答案不同，乙与丙也有6道题的答案不同，从而可得这10道判断趋的正确答案， 如下表： 题号 2 3 5 6 8 9 10 正确 答案 对比正扇答案，可知丁答对了6题 10已知函数/)=x-寸+是-ax若3m>0.使利/侧)>，则实数u的最大值为上 I答案1日 I解指1设8=/倒-，则)=r-子+兴-m-d=nr-(位-a- 当0=时，go)=e-(日-了-e=0.中存在m=,t件fm>,诗合超意 e 当a>g时，gt)<nr-<nr-合 议)=nr-,则因=-。，马知r=e为)的装大值点， ∴h(x)≤h(c)=0 C扫描全能王 亿人幕在用的扫描A 六当a>时，对Vr>0,有g)<0,不符合 e 棕上.0n=日 1l.设函数f(x)=sinr·sin3x,若关于x的方程f(x)=a在(0，x]上有奇数个不同的实数解，则实数a的值为 0k-1 【答案】0或-1 【解折1“八受+x)=(受-x以. )关于直找=受对称 又f0)=0,/八5）=-1， .a的值为0或-1 12.在△MBC中，AP平分∠BAC,AP交BC于P,BQ平分∠ABC,BQ交CA于Q,∠BAC=30,且AB+BP =AQ+QB,则∠ABC的度数为100°表120° 【答案】100°或120 【解折】设△MBC三边的长为a,b,c SAuC SAuo+SAMC ∴acsinB=-c·a0sim号+号Osin号，WBQ=acsin B (a+e)sin2 义：BQ平分∠ABC, =5=e即0=年 a+c' 问足BP=朵。 由余定理得=d+d2-2 accosB,即(a+c小-h=4 accos号 又8+n=A0+0a,ie+件e=年e+m号 s9=atc-+ah_4aco号+ah 从而c0 2a(b+c) 2a(b+c) 即4女or2号-20+eoms号+h=0,得o号=会o os= 2 =imA戌B=120. B 2sinc B sin5=sinC找B=120。 当B=2C时，A=30,B=100°，C=50 当B=120°时，A=30°，C=30°. 数∠ABC的度数为100°或120° 三、解答：本大题共4小题， 13.已知椭圆C,的中心为坐标原点O,焦点在坐标轴上.例C,的圆心为坐标原点O,过点A(-2,0)且倾斜角 为30的直线与圆C相切. ()求圆C,的方程： (2)过圆C:上任意一点P(x)(x'%≠0)作圆C,的切线，与椭圆C,交于A,B两点，均有∠AOB=90°成立 判断椭圆C,是否过定点？说明理由。 【解折1(1)设C:2+y2=2(r>0) C扫描全能王 亿人幕在用的扫描 边机-20)，级针为30的直钱方程为y=号(+2》 又直找=与(+2)与圆G相切， 25 =r,即r=1 V+(学 周C,的方程为2+2=1. (2)i设销图C:mr2+2=1(m>0.n>0,m≠n), 又过点P的圆C,的切钱方程为xx+%y=1. 联立 m2+2=1, Lor+yar=1. 得(m后+)x2-2or+n-后=0. 设A(r）,B(x） +s2 后十后 n-后 = 6十 =(1-x)(1-)=1-xa(1+)+x 由(OA⊥OB.得x+)=0. 即x+1-(出+x)+=0,义后+后=1 -x(+）+1=0. ÷”-6-2d m+cm6+m+1=0 六(m+n-1)哈=0. 又上式对任意的∈[-1,1]均成立.故m+n一1=0 椭图C:m2+w2=1必过定点(1,1)，(1.-1)，(-1,1)，(-1，-1). 14.已知数列{a}满足：a=1,4=2,a41=士+a-m≥2).求证，】 1>88. 图折1由1=+得aa-a,= 义aa=2,故{a-1a}是首项为2，公羞为1的等羞数列. a213ey=2025. L=-1(k≥2)， ÷觉=L+a-a+a,-a）++an- 台aa =dau+dmgs-d -+I 41 =a4十a2s-2 ≥2√a20s-2 =2√2023-2 =88. 下面用归钠法证明an>am+ =2.0=d+=子+1=是4> C扫描全能王 】亿人在用的扫描 仅设n>wa.则a+4=ta.>a.>w1d> +a>+an,即a> d:m+! (3m+2 综上，a>a+1,故a4>0如s.2 1>88 a 15.如图，⊙O、⊙O外切于点A,过点A的直线交⊙O,于另一点B,交⊙O,于另一点C,CD切⊙O,于点 D,在BD的延长线上取一点F,使得BF2=BC2-CD,连接CF交⊙O,于E,求证：DE与⊙O相切. 【解析】证明： G 连接DA并延长交⊙O于G,连接CG,设两圆公切钱为XY, 由孩切角定理得∠AGC=LCAY,∠BDA=∠BA, 而∠CAY=∠BAX, .∠AGC=∠BDA, 连接AE,:∠AEF=∠AGC=∠BIDA, ∴D、F、E、A四点共图. 连接AF,由D、F、E、A四，点共图得∠DFA=∠DEA,(I) 由CD切⊙O,于点D,得CD=CA·CB 又BF2=BC2-CD,得CD3=BC2-BF ∴CA·CB=BC-BF2 即BF=BC-CA·CB 亦即BF=BC·BA .△BFMn△BCF, C扫描全能王 亿人幕在用的扫描A .∠DFA=∠ACE,(2) 结合(I)、(2).得∠DEA=∠ACE, :DE与⊙O2相切. 16.全体正有理数的集合Q'被分拆为三个集合A,B,C(即AUBUC=Q,且A∩B=B∩C=C∩A=必， 满足B*A=B,B*B=C,B率C=A,这里H*K={h·kIhEH,kEK). (1)给出一个满足要求的例子（即给出A,B,C): (2)给出一个满足要求的例子，且1,2，，35中的任意两个相邻正整数均不同时在A中. 【解新】()对任意一个有理数a∈Q',对其作质因数分解a=p心·防“防，其中山，户，…，P,为互不相同 的质数，仙，，…，%为整数（可为负整数） 令S=a+,+…+化， |A.若S=0(mod3) a∈{B.若S=1(mod3) C,若S=2(mod3) 易知，A,B,C满足要求(2)对任意一个有理数b∈Q,对其作质国数分解b=·7··片“哈，其中 户，p,…,p为互不相同的质数，且不等于5，不等于7，a,B,,风，…，以为禁数（可为负整数） 令S=2p+a,+a+…十m, [A,若S=0(mod3) a∈{B.若S=1(mod3) C,若S=2(mod3) 可以试整出，(1,5.8.12.14,18,21,25,27}SA {2.3.10,11.13,15.16,17,19,23,24.2829.31}≤B {4.6.7.9.20,22.26,30.32.33.34,35}C ∴，上述A,B,C满足要求 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A