2024年第23届中国女子数学奥林匹克试题

2024年第23届中国女子数学奥林匹克 重庆 西南大学附属中学 金华一中数学竞赛组 整理 第一天 2024年8月12日8:00-12:00 1．设数列满足，且对任意，有 ． 求数列的最大项． 2．已知有8张分别写有的卡片．甲乙两人玩如下的游戏：每轮甲选择两张卡片给乙，乙留下一张丢弃另一张．游戏共进行四轮，规定前两轮乙不能都选择较大的卡片留下，后两轮乙也不能都选择较大的卡片留下．记乙留下的四张卡片的总和为．求最大的正整数，使得乙可保证至少为． 3．求最小的实数，使得对任意正整数，若，则存在，满足． 4．如图，在给定的中，.D为BC边上的动点，点E在的外接圆上，满足．过点D作AB的垂线交AC的延长线于点.证明：是定值． 每题21分 2024年第23届中国女子数学奥林匹克 重庆 西南大学附属中学 金华一中数学竞赛组 整理 第二天 2024年8月13日8:00-12:00 5．已知一个直角三角形可以被两个单位圆覆盖，求该直角三角形面积的最大值． 6．设正整数满足，且与均为2的幂． 证明：． 7．给定正整数．设非负实数满足．求 的最大值与最小值，其中． 8．已知100个人之间有2024对朋友关系，将他们两两一组分为50组． 证明： (1) 存在一种分法使至多20组互为朋友； (2) 存在一种分法使至少23组互为朋友； (3) 存在一种分法使恰有22组互为朋友． 每题21分 学科网（北京）股份有限公司 $$