精品解析：山西省晋中市昔阳县中学校2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试检测数学试题

昔阳中学高三年级第一次模拟考试检测卷 数学试卷 试卷满分：150分；考试时间：120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以是的真子集，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，必要性满足，但时，仍然有，充分性不成立． 应为必要不充分条件． 故选：B． 4. 下列函数与是相等函数的是（ ） A. B. C. （且） D. （且） 【答案】D 【解析】 【分析】可得，且定义域为，根据函数相等逐项分析判断. 【详解】因为，且定义域为， 对于选项A：，可知两个函数的对应关系不同，所以函数不相等，故A错误； 对于选项B：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故B错误； 对于选项C：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故C错误； 对于选项D：，且定义域为，所以两个函数是相等函数，故D正确； 故选：D. 5. 若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ） A. 1.2 B. 1.4 C. 1.3 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果. 【详解】因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度； 所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 7. 已知函数满足对任意的都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上的单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可. 【详解】已知函数满足对任意的都有， 所以函数在上单调递减， 在上单调递减，故， 在上单调递减，故， 又函数在上单调递减，所以， 所以，解得. 故选：C. 8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（ ） A. 4048 B. －4048 C. 2024 D. －2024 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的周期，然后对所求式分奇偶讨论分别进行计算即可. 【详解】由已知，， 所以， 所以函数的周期为， 又， 所以， 所以， 又， 所以，则， 所以，， ， ， 所以 . 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为， 所以取得最大值时的值为，故A错误； 对于B，令， 若，，，，当时取等号， 所以，则，则的最大值为，故B错误； 对于C，函数， 令，当时，解得，不满足题意，故C错误； 对于D，若，，且， 所以， 当时，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC. 10. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，分，，三种情况讨论，即可得到结果. 【详解】当时，，对应选项A; 当时，当时，，为对勾函数的一部分， 当时，单调递减，对应选项B; 当时，当时，单调递增， 当时，，其中为对勾函数的一部分，对应选项D. 故选:ABD 11. 当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意计算出，结合对数式的运算法则和对数函数的单调性，即可依次判断各选项. 【详解】由题意可知：，，， 对于A，，而在定义域内单调递增，且， 所以，即，所以，又， 所以，故A正确； 对于B，， 因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C，， 因为，所以，即，所以，故C正确； 对于D，，， ， ， ， 所以，则有， 又，则，故D错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数 ，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的函数解析式，分段来求函数的零点，明确其各段上各有一个零点，即为2个零点，之后将a转化为其函数值来处理，从而求得结果. 【详解】因为， 令，解得，所以是函数的一个零点， 令，得， 该问题等价于方程有解，即为其函数值， 根据指数函数的性质，可得，所以， 故答案是. 【点睛】该题考查的是根据函数零点个数，求有关参数的取值范围的问题，在解题的过程中，可以求出时的零点由一个，从而得到其在时也有一个零点，之后从方程有解转化为函数值域来完成，属于中档题目. 13. ______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据指、对数运算法则，以及对数的恒等式运算求解. 【详解】由题意可得：原式 . 故答案为：4. 14. 已知函数，若的图象与的图象有A，B，C，D四个不同的交点，交点横坐标为，满足，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，，进而得，由于，故的取值范围是. 【详解】解：如图，根据题意得满足：，即. 关于直线对称，故，所以， 所以， 由于，， 所以 所以 故答案为： 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合思想与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意作图得，，，故将问题转化为求，的值域问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，求： （1）求的值； （2）当时，求的值域. 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式运算求解；（2）根据分段函数的条件进行分类讨论，将各段值域取并集. 【小问1详解】 . 所以. 故. 【小问2详解】 当时，. 因，所以，即. 当时，. 当时，. 因，所以，即. 综上，当时，的值域为. 16. 已知幂函数在上是增函数 （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解； （2）利用的单调性与定义域即可得解. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则. 【小问2详解】 由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是． 17. 在①函数是定义域为的奇函数且，②函数在点处的切线方程为，③是指数函数三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 已知函数（且，）． （1）试确定的奇偶性； （2）已知______，求不等式的解集． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）偶函数 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算，即可判断； （2）若选①：根据求出，再由求出，即可得到，再根据对数函数的单调性解得即可；若选②：利用导数的几何意义求出，再由求出，其它与①一致；若选③：根据指数函数的定义得到方程组，即可求出、，其它与①一致. 【小问1详解】 对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为， 又，所以为偶函数； 【小问2详解】 若选①：因为是定义域为的奇函数， 所以，解得，即，经检验符合题意； 又，解得或（舍去）， 所以， 由，即，即，解得或， 所以不等式的解集为； 若选②：函数在点处的切线方程为， 因为，则，解得， 又，解得， 所以， 由，即，即，解得或， 所以不等式的解集为； 若选③：是指数函数， 则，解得， 所以， 由，即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 18. 已知函数（）． （1）解不等式； （2）若函数为的反函数，在上单调，求a的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，换元法求解即可； （2）由题意可得在上单调，则在上恒成立，且在上单调，结合二次函数分析求解； （3）由函数的奇偶性先求出，的解析式，可得，再由换元法与参变分离运算求解. 【小问1详解】 因为，且，则， 设，则不等式可化为，解得， 即，则， 故原不等式的解集为. 【小问2详解】 若函数为的反函数，则， 因为在上单调， 则在上恒成立，即， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得， 且在上单调，则或，解得或； 综上所述：a的取值范围. 【小问3详解】 由题意得，则， 即，解得， 若不等式对任意恒成立， 即，可得， 令，且在内单调递增， 则在内单调递增，且当时，；当时，； 可知，则不等式可化为对恒成立， 可得，， 且，由对勾函数性质可知在内单调递增， 可知当时，取到最小值， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合(图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立； ④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 19. 对于函数，，如果存在实数a，b，使得函数，那么我们称为，的“HC函数”． （1）已知，，试判断是否为，的“HC函数”．若是，请求出实数a，b的值；若不是，请说明理由； （2）已知，，为，的“HC函数”且，．若关于x的方程有解，求实数m的取值范围； （3）在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数a，b，都有，当且仅当时，式中的等号成立”．我们将这个结论称为“基本不等式”．请利用“基本不等式”，解决下面的问题：已知，，为，的“HC函数”（其中），的定义域，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【答案】（1）存在，，使得是为，的“HC函数” （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）利用已知定义即可求解； （2）根据题意可得，对于方程可得，换元结合二次函数分析求解； （3）先设的解析式，根据已知定义以及条件求出，的值，再把恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式的性质即可求解. 【小问1详解】 若是，的“函数”， 所以， 则，解得，， 所以存在，，使得是为，的“HC函数”. 【小问2详解】 由题意可知：， 对于方程，即，即， 令，则，则， 对于，可知的图象开口向上，对称轴为， 可得，则，即， 所以实数m的取值范围. 【小问3详解】 由题意可知：，，，， 则，当且仅当，即时取等号， 结合题意：，解得，， 所以，可得恒成立， 且，，，可得恒成立， 只需即可， 由基本不等式得：，当且仅当时取等号，此时， 所以，则，故的最大值为10. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昔阳中学高三年级第一次模拟考试检测卷 数学试卷 试卷满分：150分；考试时间：120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数与是相等函数的是（ ） A. B. C. （且） D. （且） 5. 若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ） A. 1.2 B. 1.4 C. 1.3 D. 1.5 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意的都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（ ） A. 4048 B. －4048 C. 2024 D. －2024 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 10. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 11. 当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数 ，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是________. 13. ______． 14. 已知函数，若的图象与的图象有A，B，C，D四个不同的交点，交点横坐标为，满足，则的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，求： （1）求的值； （2）当时，求的值域. 16. 已知幂函数在上是增函数 （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 17. 在①函数是定义域为的奇函数且，②函数在点处的切线方程为，③是指数函数三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 已知函数（且，）． （1）试确定的奇偶性； （2）已知______，求不等式的解集． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知函数（）． （1）解不等式； （2）若函数为的反函数，在上单调，求a的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 19. 对于函数，，如果存在实数a，b，使得函数，那么我们称为，的“HC函数”． （1）已知，，试判断是否为，的“HC函数”．若是，请求出实数a，b的值；若不是，请说明理由； （2）已知，，为，的“HC函数”且，．若关于x的方程有解，求实数m的取值范围； （3）在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数a，b，都有，当且仅当时，式中的等号成立”．我们将这个结论称为“基本不等式”．请利用“基本不等式”，解决下面的问题：已知，，为，的“HC函数”（其中），的定义域，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $