精品解析：湖南省株洲市醴陵市渌江中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题

湖南省醴陵市渌江中学2023-2024学年下学期八年级期末考试 数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 下面各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知n为整数，且，则n等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，是的外角，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， ，则下列结论错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B. C. D. 9. 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共11小题） 11. 的平方根是___________． 12. 分式 有意义的条件是_____． 13. 若，则的值为________． 14. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 15. 已知a，b为两个连续的整数，且a<<b，则a＋b＝____． 16. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 17. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则边AC的长为_____． 18. 最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 _____． 19. 已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为________． 20. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心、正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是__________． 21. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 三．解答题（共9小题） 22. 解方程； 23. 计算： 24. 先化简，再求值：÷（﹣a），其中a＝2＋，b＝2﹣． 25. 已知关于的分式方程 （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程无解，求的值． 26. 解关于x的不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 27. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD； （2）已知BC=7，AD=5，求AF的长． 28. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台． ①求A种型号的电风扇最多能采购多少台? ②若超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元的目标，有哪几种采购方案? 29. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简∶ 解∶隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 30. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填”大”或”小”）； （2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由： （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省醴陵市渌江中学2023-2024学年下学期八年级期末考试 数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 下面各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、，是有理数，故不符合题意； B、是有理数，故不符合题意； C、是有理数，故不符合题意； D、是无理数，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 2. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是． 故选D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的加法运算法则、二次根式的除法运算法则、二次根式的乘法运算法则、分母有理化逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由与不能合并，则A选项错误； B.由，故B选项符合题意； C. 由，故C选项不符合题意； D.由，故D项不符合题意． 故选：B． 4. 若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理，转化为解一元一次方程． 【详解】解：设三个内角的度数为2x，3x，5x， 根据三角形的内角和定理，可得2x+3x+5x＝180°， 解得x＝18°， ∴三个内角的度数为36°，54°，90°， 故三角形是直角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，涉及一元一次方程的解法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法，可以解答本题． 【详解】解：， 由不等式①，得x≤1， 由不等式②，得x＜3， 故原不等式组的解集是x≤1， 在数轴上表示如下所示， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 6. 已知n为整数，且，则n等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的取值范围，再根据即可得解． 【详解】解：∵n为整数，且， 又∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握无理数的估算方法：找到与被开方数相邻的能开方的数，是解题的关键． 7. 如图，是的外角，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，的一个外角， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 8. 如图， ，则下列结论错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，，，， 故A、B、C正确， D错误， 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 9. 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义“形如，B中含有字母的式子叫分式”逐项判断即可求解． 【详解】解：甲、是分式； 乙、中，是一个数，故不是分式； 丙、是分式； 丁、，分母不含字母，不是分式． 综上，是分式的有甲、丙，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 10. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，， ∴， ∴点C表示的数为． 二．填空题（共11小题） 11. 的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方根，准确把握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，结合平方运算的结果特征，得出正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 分式 有意义的条件是_____． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】解：∵分式有意义， ∴x﹣1≠0，即x≠1． 故答案为x≠1． 13. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题． 内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 【详解】解：内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 15. 已知a，b为两个连续的整数，且a<<b，则a＋b＝____． 【答案】11 【解析】 【详解】∵ ， ∴5<<6， ∴a=5，b=6， ∴a+b=11， 故答案为11. 16. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 17. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则边AC的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，利用勾股定理，即可求得AC的长； 【详解】 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1， ∴AB=2BC=2×2=4 ∴AC= 【点睛】本题主要考查了应用勾股定理解直角三角形，解题的关键在于用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半． 18. 最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】先将化成最简二次根式，据同类二次根式的定义得出3a-4=2，求出即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，， ∴3a-4=2， 解得：a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出3a-4=2是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 19. 已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先对所求的式子进行化简，然后根据分子一定是分母的整数倍即可求得x的值，从而求解． 【详解】解： ． 根据题意得：x﹣3＝±1或±2． 解得：x＝4或2或5或1． 则4+2+5+1＝12． 故答案是：12． 【点睛】考查了分式的化简，解题的关键是理解分式运算法则． 20. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心、正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出单位正方形的对角线的长，进而即可得到答案． 【详解】如图： 由题意可知：CD＝CA＝， ∴点A 表示的数为：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了实数与数轴的有关问题，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长． 21. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题意，分两种情况：当时，与全等，或时，与全等，分别求解即可. 【详解】解：设点运动时间为秒，则，， ， 当时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米/秒）， 当时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为：2或3． 三．解答题（共9小题） 22. 解方程； 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行求解即可． 【详解】解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 23. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算法则进行化简，然后计算加减即可得到答案． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查了绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 24. 先化简，再求值：÷（﹣a），其中a＝2＋，b＝2﹣． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内的分式进行通分计算，然后再进行乘除法运算，最后代入数值即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝； 当，时，原式＝＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键． 25. 已知关于的分式方程 （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程无解，求的值． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再把代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解可得两种情况：①时，方程无解，②方程有增根，进而即可求解． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以， 去分母并整理得， 是分式方程的增根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，该方程无解，此时； 当时，要使原方程无解， 则， 解得：或， 即或 ， 或， 综上，的值为或 或． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，把分式方程化为整式方程，理解分式方程产生增根的原因是解题的关键． 26. 解关于x的不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】 解不等式①得：， 解不等式②得： 不等式的解集为： 在数轴上表示不等式的解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 27. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD； （2）已知BC=7，AD=5，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°， ∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°， ∴∠BAD=∠ECD， 在△ABD和CFD中， ， ∴△ABD≌△CFD（AAS）， （2）3． 【解析】 【分析】（1）利用ASA，可证△ABD≌△CFD； （2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2． 【详解】（1） 略 （2）∵△ABD≌△CFD， ∴BD=DF， ∵BC=7，AD=DC=5， ∴BD=BC﹣CD=2， ∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等. 28. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台． ①求A种型号的电风扇最多能采购多少台? ②若超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元的目标，有哪几种采购方案? 【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 （2）①超市最多采购A种型号电风扇37台②相应方案有两种：采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）①设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多于7500元，列不等式求解；②根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润=一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：，解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． 【小问2详解】 解：①设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． ②设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇台，根据题意得： ， 解得：， ∵，且x应为整数， ∴超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 29. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简∶ 解∶隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）1； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出的范围，再根据二次根式的性质化简可得； （2）由a，b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得； （3）由三角形的三边关系得出，，，再利用二次根式的性质化简可得． 【小问1详解】 解∶隐含条件，解得：， ∴， ∴原式； 【小问2详解】 观察数轴得隐含条件：，， ∴， ∴； 【小问3详解】 由三角形的三边关系可得隐含条件： ，，，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及三角形的三边关系等知识点． 30. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填”大”或”小”）； （2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由： （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）25，115，小； （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE；理由如下： 理由：∵∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°， 又∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， 又∵AB＝DC＝2， ∴在△ABD和△DCE中，， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）首先利用三角形内角和为180°可算出∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得∠DEC的度数； （2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE． （3）分类讨论：由（2）可知∠ADB＝∠DEC，所以∠AED与∠ADE不可能相等，于是可考虑∠DAE＝∠AED和∠DAE＝∠ADE两种情况． 【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，AB＝AC， ∴∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°，∠C＝∠B＝40°； ∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°， ∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°． ∴∠DEC＝180°﹣40°﹣25°＝115°， 当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小， 故答案为：25，115，小； （2）略 （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下： ∵当∠BDA＝110°时， ∴∠ADC＝70°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝70°， ∴∠AED＝180°-70°-40°=70°， ∴∠AED＝∠DAC， ∴AD=DE， ∴△ADE是等腰三角形； ∵当∠BDA的度数为80°时， ∴∠ADC＝100°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∴∠DAC＝∠ADE， ∴AE=DE， ∴△ADE是等腰三角形． 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定，熟练掌握性质和判定进行正确推理是解题关键.等腰三角形的问题常常要分类讨论，容易漏解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $