2024年广东省高中数学联赛初赛一试试卷

2024年广东省高中数学联赛初赛一试 一、填空题：本题组共10小题，每题8分，满分80分 1.已知m,a,b.c为正整数，且alog2+blog3+clog5=2024,求m+a+b+c的最小值是 2已知>0>0-b+3"=-2=15.3空，则6+x= 3.若A、B为锐角且sinB·sin(A+B)=sinA,则tanM的最大值为_ 4.数列{a}满足：对任意n≥2，a,=2024a,-1-n.如果该数列的每一项都是正数.则a的最小值为 5.投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第i次投中得分为(4-)分(=1,2,3)，若三次均未投 中则得分为0分.假设甲同学的投蓝的命中率为p(0<<1),若甲参加投篮测试的投篮次数的均值为 1.56,则甲投蓝测试的得分的均值为 6.设xy均为非零实数，且满足 i血叠+eos cos及-Jsin及 =an号.在△4Bc中，若amC=兰，则sniM+v5sn2B 的最大值为 7.已知复数：，满足：gR.:+2∈R,则E+2z-3到的最大值为 8.n是正整数，3”-1没有12以上的质因子，则所有满足条件的n和是 9.己知四面体PABC,点A,在△PBC内.满足△A,BP,△A,CP,△M,BC的面积之比为3：2：1，G在线段AA1上， 直线PG交平面4C于点M,且品=品.期四面体PABC与AWB的体积之比为一 10.如图，在一个10×10的方格表中填入0和1，使得任意一个3×3 的方格表中都恰有一个1，则满足要求的填法数共有 种。 二、解答题：本题组共2小题，每题20分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， .已知抛物找C2=]8x+27的焦点与椭圆E:号+卡=1(a>b>0)的右焦点5重合，C的准找经过E的 左顶点 (1)求E的方程： (2)己知点F为E的左焦点，P为E上的一点（并于左，右顶点），△PF5外接圆的半径为R,内切圆的半径为 r,求Rr的取值范围。 12.已知方程lnr+x(1-m)=0,(m∈)有两个不同的零点，分别记为a,b,且a<b. (1)求实数m的取值范围： (2)若不等式1+1<na+lnb成立.求正数1的取值范围. C扫描全能王 亿人幕在用的扫描 2024年广东省高中数学联赛初赛一试 一、填空题：本题组共10小题，每题8分，满分80分. 1.己知m,a,b,c为正整数，且alog2+blog3+clog5=2024,求m+a+b+c的最小值是3066， 【答案】3066 【解折12”，3.5=m24 2E知>0>0-ov+r=-2x=15,号，则v万+=L 【答案】川 I解析】 3.若A小、B为锐角且sinB:sin(d+B)=sinA,则anA的最大值为_于 1答案1号 【解析】 4.数列{a}满足：对任意n≥2，an=2024a-1一n,如果该数列的每一项都是正数则a,的最小值为 器（数） (答案104/4047 20234092529 【解折】 5.投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第i次投中得分为(4-)分(i=1,2,3),若三次均未投 中则得分为0分.假设甲同学的投篮的命中率为p(0<<),若甲参加投篮测试的投篮次数的均值为 1.56,则甲投篮测试的得分的均值为2376 【答案12.376 【解析】 6.设x,y均为非零实数，且满足一 0o受-um于在△Bc中，若mC=兰.则mM+5n28 xcos及-Jsin径 的最大值为 答案19 【解析】 7.已知复数：，满足：gR,:+2€R,则日+2：-3到的最大值为5 I答案19万 I解折】 8.n是正整数，3”-1没有12以上的质因子，则所有满足条件的n和是12 【答案112 【解折】 9.已知四面体ABC,点A,在△PBC内，满足△M,BP,△A,CP,△MBC的面积之比为3：2：1，G在线段AA1上， 直线PG交平面ABC于点M,且织=品，则四面体PMBC与4MWB的体积之比为2 【答案】12 C扫描全能王 】亿人在用的扫描Ap 【解折】 10.如图，在一个10×10的方格表中填入0和1，使得任意一个3×3 的方格表中都恰有一个1，则满足要求的填法数共有261种。 【答案1261 【解折】 二、解答题：本题组共2小题，每题20分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 Ⅱ.已知抛物线C=18r+27的焦点与椭圆岳千+卡=1(a>b>0)的右焦点5承合，C的准线经过E的 左顶点 (1)求E的方程： (2)已知点F为E的左焦点，P为E上的一点（异于左，右顶点），△PF5外接圆的半径为R,内切圆的半径为 r,求Rr的取值范围， 【解折1【折10)号知C的项点坐标为（仁-0），号=坚=号C的丛点坐标为(-号+号0). 即0.0C的准找方位为x=-号-号=6a=6e=3=-=27。 :B的方位为公话+号=1： 4分 (2)设∠FP5=0,P5=,PE=,由正孩定理可得2R==、,脚 sind) =尉co0=t2e_(wtau-e。4-2a通，即 R=-C 201‘02 2a1'01 2a102 262 'a= 水-4T 8分 27sim号cos号 0 Som,=sin0=27sind 0 COs0+1 cewr号 =27an2 又5m,=w++w=K5+PK+Pr=(2a+20)r=9r. 12分 27an号=9r,即r=3m号Rr= an号 9 2or9' 又，当P在姐轴的端点时，0最大，此时，=60， 16分 0e(@引.脚号e(0引…os号e学.小. 故R·r= 20分 12.己知方程1nr+x(1-m)=0,(m∈)有两个不同的零点，分别记为a,b,且a<b. (1)求实数m的取值范围： (2)若不等式！+1<na+nb恒成立，求正数：的取值范围. C扫描全能王 亿人幕在用的扫描A 【解新1【解折】)设了)=lr+1-m.(m∈)的定义城为(0.+o)=+1-m 当m≤1时，国f'(x)>0,故函数f(x)在(0，+)上单调递增，不存在两个零点，不合题意： 当m>1时设)=心闭=}+1-mg=-子<0. 故g()在(0，+四)上单调递诚，即厂x)=+1-m在(0，+D)上单调道诚 由r)=0,得=m, 当0<x<点时.f)>≥0： 当点<时.r<0: 事=叶，闭取得装大位 脚八m)=lom+m0-m）=-n(m-)-1.--4分 若函数f(x)有两个不同的零，点，剥-n(m-1)一1>0 即n(m-)<-1=ln,解得m<1+,又m> 当x总近于0'时，(1-m)x边近于0，nr是近于负无穷，f(x)边近于负无穷： 当x边近于正无穷时，f(x)趋近于负无穷. “若函数(x)有两个不同的零点， 时实载m的取值范国1<m<1+日-一8分 (2):f(x)=nr+x(1一m)(meR)有两个不同的零点a,b. 由题知0<a<b,L Ina+a-am=0 Inb+b-bm=0' 或得到：m-1=na-lnb a-b 由1+1<lna+lnb恒成立，∴1+1<um-a+(mh-b)恒成立， 即1+1<(a+b)(m-I)恒成立. 12分 1+1<（a+bna-lnb位成立，即1+1<方+/ a-b ng拉成立. 号-1 说=只，时e0,)时，不等人+1<生加投成立 1+>0-1<0选而得-0+)，<0意E@)时成立 议4=A-0+),是长a,注意到)=0。 时因=是-+1)+)-&-D *=-件5=4花0长.-- (u+素 (+k)(+k k(+k 16分 又k∈0.)且1>0，尉-》<0. (1+) 当1≥1时，k-户<0，即(k)>0,故h(k)在k∈(0.1)单调递增， 而=1时k-0+)你：=0，A)<0越成立，故1≥1满足道意， 当0<1<1时，若k∈(，1)，由(k)<0,则h(k)在ke(,1)单调递减. C扫描全能王 】亿人在用的扫描 六当k∈(，1)时h(k)>0,与题设不科. 综上所述，正数1的取值范围！≥1. 20分 C扫描全能王 亿人在用的扫描A