精品解析：广东省广州市荔湾区西关外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学复习试题

八年级（下）期中数学复习试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 要使二次根式有意义，字母的取值范围是（　　） A. x≥ B. x≤ C. x＞ D. x＜ 2. 化简的结果是( ) A. B. C. D. 3. 下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 1，2，3 B. 1， C. 1.5，1.5，2.5 D. 9，12，15 4. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 点（3,-1）到原点的距离为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 6. 已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接EO．若菱形的周长是40，则EO的长为（ ）． A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 20 8. 实数a，b在数轴上对应点如图所示，化简的结果为（ ） A. 2a－b B. －3b C. b－2a D. 3b 9. 若使算式的运算结果最小，则表示的运算符号是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是由一系列直角三角形组成的螺旋，则第个直角三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 11. 如图，是的对角线，E是边上一点，且平分，过点E作的垂线交CD于点F，若，，，则________________． 12. 如图，数轴上点A的坐标是4，于点A．，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点的坐标是______． 13. 已知a＝，b＝，求ab的值为_____． 14. 已知，则化简_______________． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为 _____． 16. 如图，在中，，，分别以为边作正方形，面积分别记为，则_______ ． 17. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为_____ 三．解答题（ 满分62分） 18. 计算： 19. 已知：如图，点E，F是中边上的点，且，连接．求证：． 20. 已知，，求下列各式值： （1） （2）． 21. 我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地的面积； （2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？ 22. 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：四边形菱形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______（滑轮上方的部分忽略不计）． 24. 如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F． （1）求证：等腰三角形； （2）如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求的长． 25. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G． （1）求证：AE⊥BF； （2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值； （3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级（下）期中数学复习试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 要使二次根式有意义，字母的取值范围是（　　） A. x≥ B. x≤ C. x＞ D. x＜ 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式的被开方数应为非负数，列不等式求解． 【详解】由题意得：1-2x≥0， 解得x≤， 故选B． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质． 概念：式子（a≥0）叫二次根式． 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 化简的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分子分母同时乘以，即可得到化简结果． 【详解】 故答案为：D． 【点睛】本题考查了无理数化简的问题，掌握无理数化简的方法是解题的关键． 3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 1，2，3 B. 1， C. 1.5，1.5，2.5 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，即可求解． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形是解题的关键． 4. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根非负性和偶次幂的非负性得到，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了非负数的性质、代数式的值，根据非负数的性质求出字母的值是解题的关键． 5. 点（3,-1）到原点的距离为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：点（3，-1）到原点的距离=． 故选D． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=. 6. 已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、四边形平行四边形， 又， 四边形是菱形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键． 7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接EO．若菱形的周长是40，则EO的长为（ ）． A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得AO⊥BD，AB=10，然后根据直角三角形斜边中线定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为40， ∴AO⊥BD，AB=BC=CD=AD=10， ∵E是AB的中点， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键． 8. 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（ ） A. 2a－b B. －3b C. b－2a D. 3b 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0，再把二次根式化简即可． 【详解】解：根据数轴可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0， ∴ = =-（a+b） =a-2b-a-b =-3b． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简，二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a，解题关键是先判断所求的代数式的正负性． 9. 若使算式的运算结果最小，则表示的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ∵， ∴〇表示的运算符号是“﹣”时，运算结果最小， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算和大小比较，掌握二次根式的运算是解题的关键． 10. 如图，是由一系列直角三角形组成的螺旋，则第个直角三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理，，，从而推出，据此利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ∴可知， ∴第个直角三角形的面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确利用勾股定理找到规律是解题的关键． 二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 11. 如图，是的对角线，E是边上一点，且平分，过点E作的垂线交CD于点F，若，，，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先延长、相交于点M，过点A作于点H，进而得出的长，再利用勾股定理得出的长，即可得出的长． 【详解】解：如图，延长、相交于点M，过点A作于点H， ， ，， 而， ， ，， ， ， ， ，， 设，可得：， ， ， 解得：， 则，， 故， 则， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 12. 如图，数轴上点A的坐标是4，于点A．，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 分析】根据，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∵以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理计算出OB的长． 13. 已知a＝，b＝，求ab的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】，易得即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得的值． 14. 已知，则化简_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出，再根据二次根式的化简法则即可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，利用平行线的性质及角平分线的定义证出∠DAE=∠AED，推出DE=AD=3，即可求出CD，得到AB． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠AED=∠EAB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠AED， ∴DE=AD=3， ∵EC=2， ∴CD=DE+EC=3+2=5， ∴AB=5， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对边相等，对边平行，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，，分别以为边作正方形，面积分别记为，则_______ ． 【答案】16 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求出的值，根据分别表示正方形面积，求出的值即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 则， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 17. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形菱形， ， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ， 当时，则最小，得到最小值， ， ∴是等腰直角三角形， ，即， ， ， 故答案为：． 三．解答题（ 满分62分） 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算，负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式乘法，负整数指数幂，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19. 已知：如图，点E，F是中边上的点，且，连接．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定定理和性质是解题关键． 根据平行四边形的性质证得，根据等式的性质可得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形． ． 20. 已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 【答案】（1）4 （2）14 【解析】 【分析】（1）首先把已知的式子进行变形，变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； （2）首先把所求的式子利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键． 21. 我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地的面积； （2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理，再用勾股定理的逆定理得出，进而得出答案； （2）利用（1）中所求得出所需费用． 【小问1详解】 解：连接 ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， ； 即空地的面积为． 【小问2详解】 解：元， 即总共需投入50400元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，将四边形化为三角形后，正确用勾股定理及其逆定理是解题关键． 22. 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）先证明，得，根据一组对边平行且相等可得四边形是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：，根据菱形的判定即可证明四边形是菱形； （2）先根据菱形和三角形的面积可得：，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形和菱形的面积，解题的关键是熟练掌握以上基础知识． 23. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______（滑轮上方的部分忽略不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为，过点C作于B， 则 在中， 即， 解得：，即旗杆的高度为17米． 故答案为：． 24. 如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）①四边形是菱形，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了平行线、等腰三角形、平行四边形、菱形的性质及判定，矩形的折叠，勾股定理的应用，掌握平行线、等腰三角形、平行四边形、菱形的性质及判定，矩形的折叠，勾股定理的应用是解本题的关键． （1）证明是等腰三角形，可证明，可通过证明实现，利用折叠的性质和平行线的性质解决． （2）①先判断四边形是平行四边形，再由（1）得到结论；②要求的长，可先求出的长，在中，可由、的长及菱形的性质求得，解决问题的关键是求出的长．假设，利用勾股定理可求出的长，问题得以解决． 【小问1详解】 证明：根据折叠可得， 又， ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：① 四边形是菱形． 理由如下： 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是菱形 ． ②， ， 假设， 在中， 即 计算得出，即 ． 25. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G． （1）求证：AE⊥BF； （2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值； （3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积． 【答案】（1）见解析 （2）sin∠BQP＝ （3）四边形的面积是 【解析】 【分析】（1）由E，F分别是正方形边的中点知，证明得，根据即可得，据此即可得证． （2）由折叠的性质得，利用角的关系证明，令，则，在中，设，利用勾股定理求出x与k的关系即可解决问题． （3）先求出正方形的边长，利用勾股定理求出的长，由求出的长，再由求出，然后利用求解即可． 【小问1详解】 如图1， ∵E，F分别是正方形边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图2，由折叠的性质得， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则， 在中，设， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵正方形的面积为4， ∴边长为2， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形GHMN的面积是． 【点睛】本题考查了旋转的性质，翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟知旋转、翻折不变性是解答此题的关键，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$