精品解析：浙江省杭州市文澜中学2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试题

2023-2024学年浙江省杭州市文澜中学 八年级（下）期中数学模拟试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知ABCD中，∠B=4∠A，则∠D=（ 　 ） A. 18° B. 36° C. 72° D. 144° 6. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 7. 一组数据：，，，，若添加一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 8. 如图，在矩形中，，保持矩形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是矩形面积的，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D、E分别是边的中点，将绕点E旋转得，连接，添加下列条件后能判定四边形是正方形的是（　　） A. B. C. 且 D. 且 10. 在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为（　　） A. 6 B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 当时，二次根式的值是_____ 12. 如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了______米． 13. 如图，在中，平分交边于点，且，则的周长为______． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______． 15. 如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为______． 16. 如图，在菱形中，，，将向右平移得到（点在线段上），连接， （1）若四边形是矩形，则______； （2）的最小值为______． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 化简或计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程一个根为2，求k的值． 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八（1）、八（2）班根据初赛成绩，两个班各选出的5名选手的决赛成绩如图表． 平均数/分 中位数/分 众数/分 八（1） a 85 c 八（2） 85 b 100 （1）写出上表中a、b、c的值； （2）结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？ （3）计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定． 22. 某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系． （1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）． （2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？ （3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由． 23. 已知正方形的边长为4，E是上一个动点，以为一条直角边作等腰直角三角形，连接、、． （1）与的位置关系是_____． （2）①如图，当（即点E与点D重合）时，的面积为_____． ②如图，当（即点E为中点）时，的面积为_____． ③如图，当时，的面积为_____． （3）如图，根据上述计算的结果，当E是上任意一点时面积与正方形的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想． 24. 如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结． （1）如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； （3）如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年浙江省杭州市文澜中学 八年级（下）期中数学模拟试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可； 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不合题意； B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不合题意； D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不合题意． 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程是一元二次方程，故符合题意； D、方程的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 3. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可. 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B. 与-不是同类二次根式，不能合并，故错误； C. ，故正确； D. ，故错误. 故选C. 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 5. 已知ABCD中，∠B=4∠A，则∠D=（ 　 ） A. 18° B. 36° C. 72° D. 144° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的邻角互补，进而得出∠D的度数． 【详解】解：∵四边形BCDA是平行四边形， ∴ADCB，∠B=∠D， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠B=4∠A， ∴∠A+4∠A=180°， 解得：∠A=36°， ∴∠B=144°， ∴∠D=144°， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法． 6. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 7. 一组数据：，，，，若添加一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，分别求出添加数据前后的平均数，中位数，众数和方差，进行判断即可． 【详解】解：未添加前的平均数为：，众数为3，中位数为：，方差为：； 添加数据后：平均数为：，众数为3，中位数为：，方差为：； 故发生变化的是方差； 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，保持矩形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是矩形面积的，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由面积关系可求，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 9. 如图，在中，点D、E分别是边的中点，将绕点E旋转得，连接，添加下列条件后能判定四边形是正方形的是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理、全等三角形的性质，矩形及正方形的判定的应用，注意：邻边相等的矩形是正方形． 根据三角形中位线和线段中点得出，根据旋转的性质得出全等，推出，添加时，推出，根据矩形的判定和性质，然后添加使得矩形成为正方形的条件即可． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ， ∵将绕点旋转得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 添加时， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴添加即可使得矩形是正方形， ∵当且时， ∴C正确， 故选：C． 10. 在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握勾股定理，由三角形中位线定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，取中点，连接，证出是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ， 取中点，连接，如图所示： ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 当时，二次根式的值是_____ 【答案】2 【解析】 【分析】把代入计算即可； 【详解】把代入中， ∴原式=； 故答案是2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 12. 如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了______米． 【答案】200 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角，掌握公式即可求出． 利用多边形外角和等于360度即可求出答案． 【详解】解：因为小陈从点出发当他第一次回到出发点A时正好走了一个正多边形， ∵正多边形的外角和等于， （米）． 故答案为：200． 13. 如图，在中，平分交边于点，且，则的周长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，得出是解题关键． 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出，再求出的周长． 【详解】解：∵平分交边于点， ， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：18． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 15. 如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质和正方形的性质、勾股定理等知识，得出是解题关键． 利用菱形的性质结合正方形的性质得出，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形， ， ∵边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移， ∴， ∴，则， ∴设，则， 故在中，， 解得：(不合题意舍去)， 故为：． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，将向右平移得到（点在线段上），连接， （1）若四边形是矩形，则______； （2）的最小值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 12 【解析】 【分析】（1）连接交于点，如图所示，由菱形性质，结合含直角三角形的三边关系即可得到及长，从而得到； （2）连接，延长到，使，如图所示，根据平移性质、菱形性质得到，从而确定当三点共线时，有最小值为，由含直角三角形的三边关系求解即可得到答案． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 在菱形中，，， ，， ， 在中，，则， 将向右平移得到（点在线段上）， ， 若四边形是矩形，则， ， 在中，，则， ，即 故答案为：； （2）连接，延长到，使，如图所示： 将向右平移得到（点在线段上）， ，， ∴是平行四边形， ， 在菱形中，由菱形对称性得到， ， ，则当三点共线时，有最小值为， ， ， 是等边三角形， ，， 由于是的一个外角， ， ， 在中，，，则， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊平行四边形背景下求线段长，涉及菱形的性质、矩形的性质、平移的性质、等边三角形的判定与性质、含直角三角形的三边关系等知识，熟练掌握特殊平行四边形性质是解决问题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 化简或计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）先求出的值，再代入公式求出方程的解即可； （2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， 这里， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 因式分解得， 即或， 解得：． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程一个根为2，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2），或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a，得到k的一元二次方程，解方程即得． 【小问1详解】 解：∵， 故方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 设方程的另一根为a， 则， ∴， ∴， ∴，或， 解得，，或． 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 21. 某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八（1）、八（2）班根据初赛成绩，两个班各选出的5名选手的决赛成绩如图表． 平均数/分 中位数/分 众数/分 八（1） a 85 c 八（2） 85 b 100 （1）写出上表中a、b、c的值； （2）结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？ （3）计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定． 【答案】（1） （2）八（1）班成绩好些 （3）八（1）班代表队选手的成绩较为稳定 【解析】 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． （1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可； （2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好； （3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：八（1）班的平均成绩是：（分）， 在八（1）班成绩中85出现了2次，出现的次数最多；（分）， 把八（2）班的成绩从小到大排列为：70，75，80，100，100，最中间的数是80，则中位数（分）； 故：； 【小问2详解】 解：八（1）班成绩好些， 因为两个队的平均数都相同，八（1）班的中位数高， 所以在平均数相同的情况下，中位数高的八（1）班成绩好些； 【小问3详解】 解：八（1）班的方差是：， 八（2）班的方差是：， ∵， ∴八（1）班代表队选手的成绩较为稳定． 22. 某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系． （1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）． （2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？ （3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由． 【答案】（1） （2）4元 （3）不可能达到13万元，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设函数表达式为，把，代入表达式求出解析式即可； （2）设牙膏的销售单价应定为x元，根据该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润列出等式，解方程即可得到答案； （3）设牙膏的销售单价应定为x元，根据超市日均销售利润能否达到13万元列出等式求出答案． 【小问1详解】 解：设函数表达式为，把，代入表达式， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设牙膏的销售单价应定为x元，根据题意得： ， 即． 解得：或． ， ． 答：牙膏的销售单价应定为4元； 【小问3详解】 解：设牙膏的销售单价应定为x元，根据题意得： ， 即． ， 该超市日均销售利润不可能达到13万元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式．正确求出一次函数解析式是解题关键． 23. 已知正方形的边长为4，E是上一个动点，以为一条直角边作等腰直角三角形，连接、、． （1）与的位置关系是_____． （2）①如图，当（即点E与点D重合）时，的面积为_____． ②如图，当（即点E为中点）时，的面积为_____． ③如图，当时，的面积为_____． （3）如图，根据上述计算的结果，当E是上任意一点时面积与正方形的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想． 【答案】（1）平行 （2）①8；②8；③8 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题综合考查了正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是把要求的三角形的面积转化成能根据已知求出的三角形的面积的和或差的形式，再根据三角形的面积公式求出每一部分的面积． （1）证、、共线，根据平行四边形的判定推出平行四边形即可； （2）①根据三角形的面积公式求出即可； ②根据代入求出即可； ③根据代入求出即可； （3）由（2）求出了的面积，求出正方形的面积，即可得出答案． 【小问1详解】 解：正方形，等腰直角三角形， ， ， 即、、三点共线， ， ∴四边形是平行四边形， ， 故答案为：平行． 【小问2详解】 解：①当时，点重合， 故的面积是， 故答案为：8． ② ， 故答案为：8． ③与②求法类似： ； 故答案为：8． 【小问3详解】 解：面积与正方形的面积之间关系是． 证明：与（2）求法类似： ， ， ∴． 24. 如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结． （1）如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； （3）如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围． 【答案】（1）见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质等综合题型，解题的关键对菱形性质和图形变化极值情况的熟练掌握． （1）根据平行四边形判定及性质进行证明即可； （2）如图，连接，由菱形知，可证，四边形是平行四边形，于是，由勾股定理中，，所以菱形的面积即可求得； （3）如图，点在延长线上(可以与点重合)，得；随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，由矩形性质得，进一步证得，由三角形内角和定理，得，于是． 【小问1详解】 证明：∵是的中位线， ∴是中点， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，即四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图2，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为2； 【小问3详解】 解：如图，点在延长线上（可以与点重合）， ∴， 随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，如图，四边形是矩形， ， 而， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $