精品解析：四川省内江市第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学（文）试题

四川省内江一中高2021级高二下学期第一次月考 文科数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义有，结合已知即可求A到焦点的距离. 【详解】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有. 因为， 所以. 故选：D 2. 方程表示的图形是（ ） A. 两条直线 B. 四条直线 C. 两个点 D. 四个点 【答案】A 【解析】 【分析】解方程得到，从而得到图形. 【详解】因为，则由，得，解得， 其表示的图形为两条直线. 故选：A. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定为特称量词命题，换量词，否结论即得. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，. 故选:B. 4. 正方体中，E，F分别是的中点，则直线与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可得答案. 【详解】正方体中，E，F分别是的中点， 设正方体中棱长为2， 以D为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，， 设直线与EF所成角为θ，， 则==， ∴直线与EF所成角的余弦值是． 故选：B． 5. 有关下列说法正确的是（ ） A. “若函数是奇函数，则”的逆否命题是真命题 B. 若，，则， C. 命题“若，则或”的否命题是“若，则或” D. 若为真命题，为假命题，则为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】 利用原命题的真假与其逆否命题真假一致可判断A选项的正误；利用特称命题的否定可判断B选项的正误；利用原命题与否命题的关系可判断C选项的正误；利用复合命题的真假可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，“若函数是奇函数，则”，如，该函数为奇函数， 但函数在处无定义，原命题为假命题，其逆否命题为假命题，A选项错误； 对于B选项，命题为特称命题，该命题的否定为，，B选项错误； 对于C选项，命题“若，则或”的否命题是“若， 则且”，C选项错误； 对于D选项，若为真命题，为假命题，则为真命题，也为真命题，D选项正确. 故选：D. 6. 命题:“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得 ,因为 ,因此一个充分不必要条件是,选B. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件． 2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 7. 设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为（ ） A. y2＝2x B. (x－1)2＋y2＝4 C. y2＝－2x D. (x－1)2＋y2＝2 【答案】D 【解析】 【分析】圆的圆心为M(1，0)，半径为1，设P(x，y)，根据PA是圆的切线，且|PA|＝1，可得|PM|＝，从而可求点P的轨迹方程. 【详解】如图，设P(x，y)， 圆心为M(1，0).连接MA，PM， 则MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1， 所以|PM|＝＝， 即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2. 故选：D. 8. 直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过定点，只要在椭圆的内部或在椭圆上即可保证直线与椭圆总是有交点的. 【详解】由于直线恒过点， 要使直线与椭圆恒有公共点， 则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可， 即  ，解可得且， 故实数m的取值范围为. 故选：C． 9. 设椭圆的两个焦点分别为F1､､F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解法一：根据方程，令，求得的纵坐标，利用为等腰直角三角形可得的方程，消去后可得，从而可得离心率的方程，其解即为所求的离心率，注意取舍. 解法二：不妨设椭圆的焦距为1，利用等腰直角三角形的性质得到另外两边的长度，根据椭圆的定义求得长轴的值，进而得到离心率. 【详解】解法一：不妨设椭圆的标准方程为， 半焦距为，左右焦点为，在第一象限，则. 在椭圆方程中，令，则，解得，故. 为直角三角形且，故即， 故，解得（负值舍去） 解法二：如图，不妨设,则,, 于是, , 故选：D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系；而利用定义方法求离心率常常能起到快速解答的作用. 10. 已知，分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点且斜率为1的直线与的另一个公共点为，则 A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过题意，容易求出直线的方程，将直线和椭圆联立，求出交点，通过向量数量积的坐标运算即可求出。 【详解】易知，，的方程为，联立，得，解得，，则的坐标为，则，，.故选：D 【点睛】本题时椭圆和向量结合的问题，根据直线和椭圆的位置关系求出需要的向量的坐标，是基础题。 11. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立直线与双曲线方程，利用判别式及韦达定理列式求解. 【详解】由消去得，， 设直线与双曲线右支交于不同的两点， 依题意，，解得， 所以k的取值范围是. 故选：D 12. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值 【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为， ，，（） ， 则，解之得 又 则 则，则 则，则 （当且仅当时等号成立） 则的最小值为 故选：B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 双曲线的渐近线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质求解即可. 【详解】由双曲线方程得：， 所以渐近线方程为：， 故答案为：. 14. 设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可. 【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 15. 椭圆的左、右焦点分别为，动点在椭圆上，为椭圆的上顶点，则周长的最大值为_________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可得到周长，由，即可求出答案 【详解】由椭圆可得， 由于点为椭圆的上顶点，故， 周长为， 其中，当且仅当点在线段延长线上时取得等号，即， 所以周长， 故周长最大值为12. 故答案为：12 16. 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时，点横坐标的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在中，由余弦定理知，因为∠为钝角，所以 ，即 ，化简得，设 ，因为在椭圆上，所以 ，解不等式得： ，所以答案应填：． 考点：1、余弦定理；2、椭圆的简单几何性质；3、解不等式． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆中的关系、椭圆的定义，余弦定理，解不等式，属于难题．利用余弦定理及椭圆的定义知，∠为钝角时，，再由两点间的距离公式代入化简得：，，所以，从而解得：，本题对计算能力要求较高． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程. （1）焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点； （2）焦点在坐标轴上，以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的双曲线. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求出方程. （2）求出椭圆短轴端点坐标，再利用双曲线定义求出实轴长即可求解. 【小问1详解】 设所求椭圆的方程为， 则，解得， 所以所求椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 椭圆短轴的端点为，则双曲线的焦点， 双曲线的实轴长， 则，双曲线虚半轴长， 所以所求双曲线方程为. 18. 设p：实数满足或；q:实数满足(其中). （1）若，且为真命题，求实数的取值范围； （2）若q是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出命题和为真时对应的取值范围，即可求出； （2）由题可知，列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 当时，命题， 命题或，， 又为真命题，满足，， ∴实数x的取值范围； 【小问2详解】 由题意得：命题； ∵q是的充分不必要条件，， ，等号不会同时取到，解得， 实数a的取值范围. 19. 已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程. （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由： 假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l.设是弦的中点， 设，则. 因为点在双曲线C上，所以它们的坐标满足双曲线方程， 即两式相减得， 所以，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. 联立直线l与双曲线方程得 消去y，得，显然， 所以直线l与双曲线无交点，所以直线l不存在，故不存在被点平分的弦. 【解析】 【分析】（1）由渐近线可设双曲线方程为，代入已知点的坐标求得，即得双曲线方程； （2）假设存在，设弦中点是，设，代入双曲线方程相减可得直线的斜率从而得直线方程，再与双曲线方程联立方程组，检验直线怀双曲线是否相交．若不相交说明弦不存在． 【详解】（1）由双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，可设双曲线方程为，代入，可得，所以双曲线C的标准方程为. （2）略 【点睛】方法点睛：（1）已知双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线方程为，再由其他条件求得，即得双曲线方程； （2）已知圆锥曲线弦中点问题，设弦两端点坐标为，代入曲线方程相减可得弦所在直线斜率与中点坐标的关系．这种方法称为“点差法”，这种方法在双曲线中应用时，可能求出的直线与双曲线没有公共点，需进行检验．椭圆与抛物线中只要看已知点在不在曲线内部即可得． 20. 已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率． （1）若命题q为真，求实数m的取值范围； （2）若命题为假命题，为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程的结构特征列不等式组求解可得； （2）分别记，为真时m的取值范围为集合，然后由和一真一假，利用集合运算求解即可. 【小问1详解】 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则， 解得，即命题q为真时实数m的取值范围为. 【小问2详解】 若双曲线的离心率，则， 解得， 记，则， 若命题为假命题，为真命题，则和一真一假， 实数m的取值范围为. 21. 已知椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为. （1）求，的值； （2）若是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求面积的最大值. 【答案】（1）,. （2）1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的关系以及离心率的公式求解； （2）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，进而利用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 椭圆的上顶点到焦点的距离为， 又因为离心率，解得， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）可得椭圆方程为， 设，， 若，则直线方程为， 联立直线和椭圆方程，化简得， 从而有， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， ， 当且仅当，即，满足， 所以此时三角形有最大面积为1. 22. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线与交于两点，且的坐标为. （1）求椭圆的方程； （1）过作与直线不重合的直线与相交于两点，若直线和直线相交于点，求证：点在定直线上. 【答案】（1）； （2）由（1）及的对称性，得点的坐标为， 设直线的方程为，点、的坐标分别为，， 联立方程，消去后整理为， 所以，. 直线的斜率为， 直线的方程为， 直线的斜率为， 直线的方程为， 将直线和直线方程作差消去后整理为， 可得， 而由， 可得，解得， 即直线和的交点的横坐标恒为4， 所以点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）已知椭圆上一点及焦点坐标，利用椭圆定义待定系数即可； （2）先设直线斜率k及直线与椭圆交点坐标，联立方程消元整理，由韦达定理得到交点坐标与k关系式.再由椭圆对称性可知，定直线垂直于x轴.只需先求解直线和直线的方程，再联立消y，用表示出交点的横坐标.最后将韦达定理关系式代入，从而证明横坐标为定值. 【详解】（1）解：由题意，得，，且， 则，即， 所以， 故椭圆的方程为. （2）略 【点睛】圆锥曲线中定值问题的特点及两种常见解法： (1)特点：待证几何相关量不受动点或动线的影响而有固定的值； (2)两种常见解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：先选择适当的动点坐标或动线中系数为变量，再把要证明为定值的量表示成上述变量的数学表达式，最后把得到的数学表达式化简，利用已知关系消去变量得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省内江一中高2021级高二下学期第一次月考 文科数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 方程表示的图形是（ ） A. 两条直线 B. 四条直线 C. 两个点 D. 四个点 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 正方体中，E，F分别是的中点，则直线与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 有关下列说法正确的是（ ） A. “若函数是奇函数，则”的逆否命题是真命题 B. 若，，则， C. 命题“若，则或”的否命题是“若，则或” D. 若为真命题，为假命题，则为真命题 6. 命题:“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为（ ） A. y2＝2x B. (x－1)2＋y2＝4 C. y2＝－2x D. (x－1)2＋y2＝2 8. 直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 9. 设椭圆的两个焦点分别为F1､､F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点且斜率为1的直线与的另一个公共点为，则 A. B. C. 4 D. 11. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 双曲线的渐近线方程为_____. 14. 设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为____________. 15. 椭圆的左、右焦点分别为，动点在椭圆上，为椭圆的上顶点，则周长的最大值为_________. 16. 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时，点横坐标的取值范围是________________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程. （1）焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点； （2）焦点在坐标轴上，以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的双曲线. 18. 设p：实数满足或；q:实数满足(其中). （1）若，且为真命题，求实数的取值范围； （2）若q是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程. （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 20. 已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率． （1）若命题q为真，求实数m的取值范围； （2）若命题为假命题，为真命题，求实数m的取值范围． 21. 已知椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为. （1）求，的值； （2）若是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求面积的最大值. 22. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线与交于两点，且的坐标为. （1）求椭圆的方程； （1）过作与直线不重合的直线与相交于两点，若直线和直线相交于点，求证：点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $