精品解析：河南省开封高级中学东校区2024-2025学年高二上学期数学滚动测试卷一

开封高中东校区2025届高二上学期数学滚动测试卷一 命题人：宋永刚 审题人：徐畅 一：单项选择题（每题只有一个选项正确，每题5分，共40分） 1. 已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2. 如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ） A B. C D. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A B. C. D. 5. 在梯形中，，，，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 6. 甲､乙､丙三名同学用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为,乙及格的概率为,丙及格的概率为,三人各检测一次,则三人中只有一人及格的概率为 A. B. C. D. 以上都不对 7. 平面上有四点，其中为定点，且为动点，满足，与的面积分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二：多项选择题（每题至少有两项正确，每题5分，少选得2分，选错不得分，共20分） 9. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第三象限 10. 某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人 B. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时 C. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时 D. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 B. 点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心 C. 点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 D. 点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心 12. 在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的长最小值为 B. 的最小值为 C. 若，则平面截正方体所得截面面积为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 三：填空题（每题5分，共20分） 13. 已知 ，则 与 夹角的余弦值为______________________. 14. 二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ，已知 ，则该二面角的大小为________________. 15. 如图所示，在直四棱柱 中，底面为平行四边形，，点 在棱 上，且，则点 到平面 的距离为______. 16. 已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是______；直线与直线所成角的取值范围为______. 三：解答题（17题10分，18，19，20，21，22每题12分，共计70分） 17. 如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. （1）用，，表示； （2）计算. 18. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______． ①； ②； ③． 请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答． （1）求的值； （2）若，是的中点，，求的值． 19. 如图，梯形中，，，，沿对角线将折起，使点B在平面内的投影O恰在上. （1）求证: 平面; （2）求异面直线与所成的角; （3）求二面角的平面角的余弦值. 20. 甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表： 第一轮 甲VS乙 丙VS丁 第二轮 甲VS丙 乙VS丁 第三轮 甲VS丁 乙VS丙 规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. （1）求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由； （2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率. 21. 如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，. （1）证明：； （2）若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值. 22. 如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中东校区2025届高二上学期数学滚动测试卷一 命题人：宋永刚 审题人：徐畅 一：单项选择题（每题只有一个选项正确，每题5分，共40分） 1. 已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 分析】由题设条件推得，再由四点共面可求得 【详解】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 2. 如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则直接求解. 【详解】因为，所以． 因为点，分别是线段，的中点， 所以， 所以． 故选：A. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】向量，， 则向量在向量上的投影向量为： ； 故选：D 5. 在梯形中，，，，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积，结合向量的基本定理转化求解即可. 【详解】因为， 所以， , 所以，可得， . 故选：A. 6. 甲､乙､丙三名同学用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为,乙及格的概率为,丙及格的概率为,三人各检测一次,则三人中只有一人及格的概率为 A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】∵甲及格的概率为,乙及格的概率为,丙及格的概率为,∴仅甲及格的概率为,仅乙及格的概率为,仅丙及格的概率为.故三人中只有一人及格的概率为. 故选：C 【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概率计算，属于基础题. 7. 平面上有四点，其中为定点，且为动点，满足，与的面积分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在与中均用余弦定理列式，化简可得，再代入化简得，结合二次函数的性质与余弦函数的值域求最大值即可 【详解】由余弦定理，，即 ， ，故，所以当时，取得最大值． 故选：A 8. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先取取中点，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角公式列出等式，结合二次函数的值域即可求出线段长度的取值范围. 【详解】如图，取中点，连接，因平面，平面，故平面平面， 因是以为斜边的等腰直角三角形， 故，又平面，且平面平面，所以平面， 如图分别以和过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 设，设， 故，得 又因为，且异面直线与成的角， 故，即 即因则有， 则故得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查运用建系法求解空间角的问题，属于较难题. 解题关键是根据条件建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角公式列出等式，然后利用二次函数的值域求参数取值范围. 二：多项选择题（每题至少有两项正确，每题5分，少选得2分，选错不得分，共20分） 9. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简出复数，即可判断出答案. 【详解】，，故A正确， 复数的共轭复数为 ，故B正确； 复数的虚部为，故C错； 复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故D正确． 故选：ABD. 10. 某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人 B. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时 C. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时 D. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断； 对于B：根据众数的定义进行判断； 对于C：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断； 对于D：直接利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，即可判断. 【详解】对于A：从频率分布直方图，可以得到，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，故A错误； 对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B正确； 对于C：由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为k小时，则有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，故C正确； 对于D：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故D正确； 故选：BCD 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 B. 点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心 C. 点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 D. 点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由∠ABC为锐角，可得且两向量不共线；对于B，设边上的中点为，证明在边的中线上即可；对于C，由，得，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于D，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断. 【详解】对于A，由， 得， 因为∠ABC为锐角，故且不共线， 所以，解得且，故A错误； 对于B，设边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，又点为公共端点，所以三点共线， 即点在边的中线上， 同理可得点也在两边的中线上， 所以点O为△ABC的重心，故B正确； 对于C，因为，所以， 如图，设的中点为，的中点为， 则，所以， 又点为公共端点，所以三点共线，且， 所以， 又， 所以，即，故C正确； 对于D，由， 可得，即， 又因，所以， 所以是的角平分线， 由， 可得，即， 又，所以， 所以是的角平分线， 所以点O是且△ABC的内心，故D错误. 故选：BC. 12. 在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的长最小值为 B. 的最小值为 C. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，得，然后用空间向量法求得，判断A，求得数量积计算最小值判断B，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C，结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则，，，， ，设，，所以， ， ，所以时，，A错； ， ， 所以时，，B正确； ，则是上靠近的三等分点，， 取上靠近的三等分点，则， ，显然与平面的法向量垂直，因此平面， 所以截面与平面的交线与平行，作交于点， 设，则，由得，解得， 则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形， ，，，梯形的高为， 截面面积为，C正确； ，，，，， ，，同理， 所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转．D正确． 故选：BCD． 三：填空题（每题5分，共20分） 13. 已知 ，则 与 夹角的余弦值为______________________. 【答案】## 【解析】 【分析】由空间向量的数量积公式求解即可． 【详解】， . 故答案为： 14. 二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ，已知 ，则该二面角的大小为________________. 【答案】 【解析】 【分析】将两边平方，利用数量积公式求解． 【详解】由条件，知， 则 ，得， 由，得， 所以二面角的大小为 故答案为： 15. 如图所示，在直四棱柱 中，底面为平行四边形，，点 在棱 上，且，则点 到平面 的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由距离公式求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， . 设平面的法向量为，则 令，则. 点到平面的距离. 故答案为： 16. 已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是______；直线与直线所成角的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设A在面内的投影为E，故E为三角形的中心，设正四面体的棱长为x，球O的半径为R，球心O在上，列式求出得 ，则可求出 ，，推导出P的轨迹为平面内以E为圆心，为半径的圆，三点共线时，且P在之间时，可求得的最小值；以E为圆点，所在直线为x轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线与直线所成角的取值范围． 【详解】在正四面体中，设A在面内的投影为E，故E为三角形的中心， 设正四面体的棱长为x，球O的半径为R， 则 ， 依题意正四面体内接于半径为的球中，故球心O在上， 设球的半径为R,则， 即，解得 ，（舍去）， 则，， 又， 故P的轨迹为平面 内以E为圆心，为半径的圆， 而，当三点共线时，且P在之间时，最小，最小值是； 以E为圆心，所在直线为x轴，在底面内过点E作的垂线为y轴，为z轴，建立如图所示直角坐标系， 则,,,， 设，， 故，, 设直线与直线所成角为， , 因为，故，故， 又，故，故， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求解的最小值时，关键在于根据正四面体中的相关计算，确定点P的轨迹为以E为圆心，为半径的圆，结合圆的几何性质，即可求得答案.求解直线与直线所成角时，将问题转化为利用向量的夹角公式求解，关键是要明确向量的夹角与直线所成的角之间的关系. 三：解答题（17题10分，18，19，20，21，22每题12分，共计70分） 17. 如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. （1）用，，表示； （2）计算. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出； （2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 18. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______． ①； ②； ③． 请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答． （1）求的值； （2）若，是的中点，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）①：利用正弦定理进行边化角，化简整理；②：利用余弦定理进行边化角，化简整理；③利用二倍角的余弦公式，化简计算；（2）利用余弦定理中线的向量表示，整理运算得，再运算数量积的定义处理． 小问1详解】 选①： ∵， 由正弦定理得：， ∵，∴． 又∵，∴． 选②： ∵，则． ∴． 又∵，∴． 选③： ∵ ∴ 即，解得或（舍）． 又∵，∴． 【小问2详解】 由余弦定理得：，则 中线，则， ∴． ∴，∴． 19. 如图，梯形中，，，，沿对角线将折起，使点B在平面内的投影O恰在上. （1）求证: 平面; （2）求异面直线与所成的角; （3）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到⊥，进而证明出⊥，得到线面垂直； （2）做出辅助线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出异面直线的夹角； （3）在（2）的基础上，求出平面的法向量，求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，，故， 由余弦定理得， 所以，∴，∴⊥. 由题意得⊥平面，平面ACD，∴⊥， ∵，平面，∴⊥平面， ∵平面，∴⊥， ∵，平面，∴⊥平面； 【小问2详解】 取AD的中点E，连接OE，则，故. 以O为坐标原点，OA，OE，OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则， ， 设异面直线与所成的角为， ∴，即异面直线与所成的角为. 【小问3详解】 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，∴， ， 由图可知，二面角的平面角为锐角， ∴二面角平面角余弦值为. 20. 甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表： 第一轮 甲VS乙 丙VS丁 第二轮 甲VS丙 乙VS丁 第三轮 甲VS丁 乙VS丙 规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. （1）求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由； （2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率. 【答案】（1），一定出线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件的乘法公式求解即可得出丁的总分为7分的概率；再分析丁出线的原因； （2）丁以6分的成绩出线分为三种情况：第二轮中若甲负于丙或平丙、第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙和第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，分别求出其概率即可得出答案. 【小问1详解】 记第轮比赛丁胜、平、负的事件分别为，每场比赛结果相互独立. 丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为， 丁总分7分一定出线. 理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分. 小组赛两队出线，所以丁一定出线. 【小问2详解】 第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁，又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分， ①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率， ②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此时丙、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率， ③第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线概率为， 丁队出线的概率， 综上，丁以6分出线的概率为. 21. 如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，. （1）证明：； （2）若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面，满足，利用换元法结合二次函数的最值即可求解. 【小问1详解】 证明：取中点，连接， 因为，所以，且， 所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 连接，则，由，可得， 于，所以， 又，所以平面， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，可得， 平面的法向量为， 设，则， 设与平面所成角为， 则， 令，则， 令，由对称轴知，当，即时，， ，于是 直线与平面所成角的正切的最大值为2. 22. 如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，且. 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，求出平面的法向量后，借助向量的数量积为零即可得两向量垂直，即可得线面平行； （2）求出平面的法向量后，结合所得平面的法向量，利用夹角公式计算即可得； （3）假设存在，设出对应未知数，可表示出向量，再结合空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 过作，垂足为，则， 如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 为的中点，，则， ， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，解得， ，即， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 所以 ，令，解得， 所以 ， 即平面与平面所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 假设线段上存在一点，设， ， 则 又直线与平面所成角的正弦值为， 平面的一个法向量， ， 化简得，即， ，故存在，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $