2024年九年级数学中考专题复习——二次函数性质

中考专题复习-二次函数性质 一．选择题 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x2﹣1 D． 2．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2+2 C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x+2）2+2 3．二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3） 4．对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2 D．经过第一、二、四象限 5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣bx+a＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 第5题图 第10题图 6．点P1（1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．已知关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3 9．如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … ﹣1 1 2 4 … y … ﹣7 3 5 3 … 则下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向上 B．函数图象与x轴无交点 C．函数的最大值为5 D．当x＞3时，y的值随x值的增大而减小 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程：ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的是（　　） A．②④ B．①②④ C．②④⑤ D．②③④ 二．填空题 11．若是关于x的二次函数，则m的值为 　 　． 12．抛物线y＝（x+1）2﹣1的顶点坐标为 　 　． 13．请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 　 　． 14．已知抛物线y＝x2﹣（k+3）x+9的顶点在坐标轴上，则k＝　 　． 15．当x取一切实数时，二次函数y＝2x2+4x+m的最小值是4，则常数m的值为 　 　． 16．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣2，0），则二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标是 　 　． 17．已知点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（5，y3）都是抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣m2+5（m为常数）的点，则将y1，y2，y3用“＜”连接为 　 　． 18．如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y＝ax2过点B．若∠AOC＝60°，则a＝　 　． 19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论： ①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根；④不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 第18题图 第19题图 第20题图 20．如图，已知抛物线，等边△ABC的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且BC边始终平行水平方向，当△ABC在滑动过程中，点B落在坐标轴上时，C点坐标是：　 　． 三．解答题 21．运用适当方法求下列二次函数图象的顶点坐标和对称轴． （1）y＝x2﹣6x+10． （2）y＝x2+x﹣5． （3）y＝﹣3x2﹣4x； （4）y＝4x2﹣24x+26； （5）y＝﹣x2+2x﹣1． 22．已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣8a（a≠0）． （1）若二次函数图象与y轴交于点C（0，4）．求二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣8，求a的值． 23．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）观察图象： ①当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； ②点P为抛物线上一点，若S△ABP＝24，求出此时P点的坐标． 24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b＞0）的图象与y轴相交于点（0，1）． （1）若a＝1，b＝4，求该二次函数的最小值； （2）若b＝4a，点P（﹣3，y1），Q（3，y2）都在该函数的图象上，比较y1和y2的大小关系； （3）若点M（m，1），N（﹣m，m2+2）都在该二次函数图象上，分别求a，b的取值范围． 25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣3 0 1 0 … （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 　 　时，y＞﹣3． 26．已知抛物线L1：y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M． （1）当k＝﹣1时，抛物线的对称轴是 　 　；顶点M坐标是 　 　；当函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 　 　； （2）若抛物线关于直线y＝﹣k轴对称后得到新的抛物线L2，其顶点M'（x，y）． ①当k＝﹣1时，请在图中画出相应的L1，L2图象； ②求顶点M'的纵坐标y与横坐标x之间的关系式； ③直接写出当k为何值时，顶点M'恰好落在x轴上． 1．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤2 C．﹣3≤m≤﹣1 D．0≤m≤2 2．如图，平面直角坐标系中，已知A（2+m，0），B（5+m，0），C（8+m，0），抛物线y＝ax2+bx+c过点A，B，顶点为P，抛物线y＝ex2+fx+g过点A，C，顶点为Q，若点P在线段AQ上，则a：e的值为（　　） A．2 B． C． D． 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 　． 4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＜1，其中正确的有 　 　.（填写正确的序号） 5．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 6．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为A（2，0），与y轴的交点为C．点B在第一象限内的抛物线上，点B的横坐标为6． （1）求出抛物线和直线BC的函数表达式； （2）若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，点M是直线BC上方抛物线上一点，连接PM交直线BC于点Q．当MQ＝PQ时，求出点M的坐标． 中考专题复习-二次函数性质参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D C C B C D C 二．填空题 11．﹣1． 12．（﹣1，﹣1）． 13．　y＝x2﹣2　． 14．　3，﹣9，﹣3　． 15．　6　． 16．　（4，0）　． 17．　y3＜y1＜y2　． 18．　﹣1　． 19．　①③④　． 20．　（2﹣，0），（2+，0），（2，﹣6）　． 三．解答题 21．解：（1）∵y＝x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1， ∴顶点坐标为（3，1），对称轴为直线x＝3； （2）∵y＝x2+x﹣5＝， ∴顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴为直线x＝﹣． （3）∵a＝﹣3，b＝﹣4，c＝0， ∴﹣＝﹣＝﹣， ＝＝， ∴抛物线y＝﹣3x2﹣4x的开口方向向下，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，）； （4）∵a＝4，b＝﹣24，c＝26， ∴﹣＝﹣＝3， ＝＝﹣10， ∴抛物线y＝4x2﹣24x+26的开口方向向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣10）； （5）∵a＝﹣，b＝2，c＝﹣1， ∴﹣＝﹣＝2， ＝＝1， ∴抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的开口方向向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）． 22．解：（1）将点C（0，4）代入y＝a（x﹣2）2﹣8a，得 4a﹣8a＝4， ∴a＝﹣1， ∴函数的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+8． （2）y＝a（x﹣2）2﹣8a的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（1，﹣8a）， 当a＜0时， ∴函数有最大值﹣8a， ∴在﹣1≤x≤4，当x＝﹣1时，函数有最小值， ∴9a﹣8a＝﹣8， 解得a＝﹣8； 当a＞0时， ∴函数有最小值﹣8a， ∴在﹣1≤x≤4，当x＝2时，函数有最小值， ∴﹣8a＝﹣8， 解得a＝1； 综上，a的值为﹣8或1． 23．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）； （2）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随着x的增大而减小，当x＞1时，y随着x的增大而增大， ∴当0＜x＜3时，当x＝1时，y有最小值为﹣4，当x＝3时，y＝（3﹣1）2﹣4＝0，当x＝0时，y＝（0﹣1）2﹣4＝﹣3， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜0； ②∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∵S△ABP＝24， ∴， ∴|yP|＝12， ∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4）， ∴yP＝12， 当yP＝12时，x2﹣2x﹣3＝12， 解得：x1＝﹣3，x2＝5， ∴P（﹣3，12）或（5，12）． 24．解：（1）由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴相交于点（0，1）， ∴c＝1． 又a＝1，b＝4， ∴二次函数为y＝x2+4x+1． 又y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3， ∴当x＝﹣2时，y取最小值为﹣3． （2）由题意，∵b＝4a， ∴对称轴直线x＝﹣＝﹣＝﹣2． ∵a＞0， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又|﹣2﹣（﹣3）|＜|﹣2﹣3|， ∴y1＜y2． （3）由题意得，am2+bm+1＝1①，am2﹣bm+1＝m2+2②， ∴①+②得，2am2+2＝m2+3，则a＝＝+＞； ①﹣②得，2bm＝﹣m2﹣1，则Δ＝4b2﹣4≥0，可得b≥1或b≤﹣1（舍去）． 综上可得，a＞；b≥1． 25．解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（1，1）代入得1＝a×2×（﹣2）， 解得a＝﹣， ∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+x+； （2）如图，抛物线的顶点坐标为（1，1）， （3）∵y＝﹣3时，x＝﹣3或x＝5， ∴当﹣3＜x＜5时，y＞﹣3． 26．解：（1）∵k＝﹣1， ∴y＝x2﹣2x﹣1﹣2＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，顶点为（1，﹣4）， ∵此时a＝1＞0， ∴在抛物线的左侧函数值y随x的增大而减小， ∴当x≤1时，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：直线x＝1；（1，﹣4）；x≤1； （2）①∵M点关于直线 y＝1的对称点为M′（1，6）， ∴抛物线 ，列表为： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y＝x2﹣2x﹣3 … 12 5 0 ﹣3 ﹣4 … y＝﹣x2+2x+5 … ﹣10 ﹣3 2 5 6 … L1，L2图象，如图所示： ②∵抛物线：y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2， ∴顶点为M（﹣k，﹣k2+k﹣2）， ∴M点关于直线y＝﹣k对称的点M'（﹣k，k2﹣3k+2）， ∴顶点M′的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为y＝x2+3x+2； ③当顶点M恰好落在x轴上时，k2﹣3k+2＝0， 解得k＝1或 k＝2． 能力题 1．C 2．A． 3．　≤a≤　． 4．　①②④　. 5．解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当﹣≤n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为﹣≤n≤1． 6．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点为A（2，0）， ∴y＝（x﹣2）2， ∴抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2； 当x＝6时，y＝×36﹣2×6+2＝8， ∴B（6，8）， 当x＝0，y＝2， ∴C（0，2）， 设直线BC的解析式为y＝kx+n， 则，解得， ∴直线BC的解析式为y＝x+2； （2）∵y＝（x﹣2）2， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， ∵点P与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴P（4，2）， 设点M（m，m2﹣2m+2）（m＜0）， ∵MQ＝PQ， ∴点Q是点P和点M的中点， ∴Q（，），即（，﹣m+2）， ∵点Q在直线BC上， ∴﹣m+2＝m+2+2， 解得m＝3﹣或m＝3+（舍去）， ∴M（3﹣，9﹣）． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$