精品解析：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2023-2024学年度下学期考试高二年级期中试题 数学 命题人：沈阳市第五十六中学 王璇 评审题人：康平县高级中学 何庆超 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列均为等差数列，， ，则（ ） A 9 B. 18 C. 16 D. 27 2. 已知函数​，则​（ ） A ​ B. 1 C. ​ D. 5 3. 已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 4. 若则（ ） A B. C. D. 5. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ） A. 是函数极大值点； B. 是函数的最小值点； C. 在区间上单调递增； D. 在处切线的斜率小于零． 6. 已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为 A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数且，则 10. 设等比数列公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且为数列的唯一最大项，则 D. 若，且，则使得成立的的最大值为20 11. 函数、，下列命题中正确的是（ ）. A. 不等式的解集为 B. 函数在上单调递增，在上单调递减 C. 若函数有两个极值点，则 D. 若时，总有恒成立，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________． 13. 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元． 14. 已知实数满足，，则_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象经过点，且在处取得极值. （1）求，的值； （2）求经过点且与曲线相切的切线方程. 16. 已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足. （1）分别求数列和的通项公式； （2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求. 17. 已知函数. （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若，当时，证明：恒成立； （3）若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 19. 已知函数（为自然对数的底数）． （1）求函数的单调区间； （2）若，的导数在上是增函数，求实数b的最大值； （3）在（2）的条件下，求证：对一切正整数均成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2023-2024学年度下学期考试高二年级期中试题 数学 命题人：沈阳市第五十六中学 王璇 评审题人：康平县高级中学 何庆超 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列均为等差数列，， ，则（ ） A. 9 B. 18 C. 16 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】两式相加,依据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为， ， 所以， 所以， 故选：A. 2. 已知函数​，则​（ ） A. ​ B. 1 C. ​ D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数运算求得. 【详解】， 令得. 故选：B 3. 已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB；根据数列的单调性即可判断C；根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D. 【详解】A：，在数列中，，且，∴， ∴公差，数列为递增数列，故A错误； B：由A选项的分析知，，，得，故B错误； C：当1≤n≤7时，，当n≥8时，，所以的最小值为，故C错误； D：，故D正确， 故选：D． 4. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合的特征，构造函数，利用其单调性即可比较大小. 【详解】构造函数，，则， 令解得；令，解得； 可得在上单调递增，在上单调递减， ，，且， ，即，就是. 故选：C． 5. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ） A. 是函数的极大值点； B. 是函数的最小值点； C. 在区间上单调递增； D. 在处切线的斜率小于零． 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的导函数的图象对A，B，C，D四个选项逐个判断即可． 【详解】解：由函数的导函数的图象可知， A．左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以是函数的极小值点，故错误，不符合题意； B．左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，不是函数的最小值点，故B错误，不符合题意； C．当时，，单调递增，故C正确，符合题意； D．由图象得，所以在处切线的斜率大于零，故D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列求出，进而求得，再利用累加法求通项得解. 【详解】依题意，，，当时，，则， 所以 . 故选：A 7. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故选：D 8. 设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【详解】可构造函数F（x）=， F′（x）==， 由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增． 不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0． 即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（）， 由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜． 故不等式的解集为（0，）， 故选B． 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】结合导数的求导法则依次求解． 【详解】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，由，得，故D项错误； 故选：AC 10. 设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且为数列的唯一最大项，则 D. 若，且，则使得成立的的最大值为20 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据前项积的定义和性质即可结合等比数列的性质即可逐一求解. 【详解】若，则，可得，即选项A错误； 而，即选项B正确. 若，且是数列的唯一最大项. 当时，，不合题意； 当时，由，可得， 即，解得，即选项C正确. 若，当时，， 又，不满足，不合题意； 当时，由可得，，， 所以，， 则为单调递减数列， 因此当时，故，当时，故， 因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 又，，， 所以使得成立的的最大值为20，即选项D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：由首项和公比确定等比数列的单调性的几种情况： （1），时，等比数列为单调递减数列， （2），时，等比数列单调递增数列， （3），时，等比数列为单调递增数列， （4），时，等比数列单调递减数列， （5）时，等比数列为摆动数列， （6）时，等比数列为常数列， 11. 函数、，下列命题中正确的是（ ）. A. 不等式的解集为 B. 函数在上单调递增，在上单调递减 C. 若函数有两个极值点，则 D. 若时，总有恒成立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据，得到，然后用导数画出其图象判断；对B，，当时，，当时，判断；对C，将函数有两个极值点，有两根判断；对D，将问题转化为恒成立，再构造函数，用导数研究单调性. 【详解】对A，因为， ， 令，得，故在该区间上单调递增； 令，得，故在该区间上单调递减. 又当时，，， 故的图象如下所示： 数形结合可知，的解集为，故正确； 对B，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误； 对C，若函数有两个极值点， 即有两个极值点，又， 要满足题意，则需有两根， 也即有两根，也即直线的图象有两个交点. 数形结合则，解得. 故要满足题意，则，故错误； 对D，若时，总有恒成立， 即恒成立， 构造函数，，对任意的恒成立， 故单调递增，则 恒成立， 也即，在区间恒成立，则，故正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________． 【答案】28 【解析】 【分析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，再由a1＝1，a2＝2，公积为8，求出a3＝4，然后根据周期可求得结果 【详解】因为数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8， 所以a1a2a3＝8，所以a3＝4， 同理可得a4＝1，a5＝2，a6＝4，…… 所以数列{an}是周期为3的数列， 因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28． 故答案为：28 13. 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】列出利润关于投资B商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最大值及对应的x的值. 【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元， 则， 可得， 当时，可得，函数单调递增； 当时，可得，函数单调递减； 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 故答案为： 14. 已知实数满足，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】对两个等式进行“同构”变形，通过发现两个等式得共通之处进行构造函数求解. 【详解】根据题意，显然是正数. 由，两边取对数得，，即，又，即，利用，于是，记，，故在上递减， 由，于是，. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象经过点，且在处取得极值. （1）求，的值； （2）求经过点且与曲线相切的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用点在函数的图象上和函数极值点的定义即可求解； （2）设切点为，利用直线的点斜式写出切线方程，再利用导数的几何意义、切点在曲线上和切线上建立方程组，解出切点坐标及切线的斜率即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为函数图象经过点， 所以 因为函数在处取得极值， 所以， 所以，解得, 所以。 【小问2详解】 由（1）知, 所以， 所以 设切点坐标为，设切线方程为， 由题意可得，解得或， 所以切线方程为或. 16. 已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足. （1）分别求数列和的通项公式； （2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求. 【答案】（1）， （2）11302 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量运算求得，再由的和式采用作差法求得并验证即得通项； （2）由，列出数列的前8项，求出他们对应的数列中的相同项，确定为的前107项的和减去的前7项的和. 【小问1详解】 设正项等差数列公差为， 因为，，所以，解得： 所以 数列满足 设， 当时，有，即， 当时，有，得 符合，所以 【小问2详解】 根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256， 对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项， 故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列 设数列的前项和为，所以 . 17. 已知函数. （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若，当时，证明：恒成立； （3）若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值是，最小值是 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可； （2）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明； （3）根据题意，先求参数，进而用分离参数的方法解决恒成立问题即可. 【小问1详解】 当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是 【小问2详解】 因为，所以令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. 【小问3详解】 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数的取值范围为 18. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解； （2）累加法求数列通项公式； （3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算. 【小问1详解】 ， 变形得：， 又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列. 从而，即. 【小问2详解】 由题意可得， 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， 又，所以， 当时，满足上式， 所以 【小问3详解】 由（1）、（2）知， 则在前项中， , , 作差得 . . 从而. 19. 已知函数（为自然对数的底数）． （1）求函数的单调区间； （2）若，的导数在上是增函数，求实数b的最大值； （3）在（2）的条件下，求证：对一切正整数均成立． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）由在上是增函数，可知其导数恒成立，继而分离参数，构造函数，结合求解函数的最值，即可求得答案； （3）由（2）可推出，依次令，累加后，利用放缩法结合裂项相消法，即可证明结论. 【小问1详解】 由已知得，当时，对， 所以上单调递增； 当时，由得，由得， 此时的增区间为，减区间为； 综上当时，函数的单调增区间为， 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 时，， 则，令， 由在上是增函数， 故恒成立，从而恒成立， ； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在上是增函数， 故，故在上是增函数，所以， 依次令， 可得， 将以上不等式相加有 ， 所以原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $