精品解析：四川省百师联盟2024届高三下学期信息押题卷（三）全国卷文科数学试题

2024届高三信息押题卷（三）全国卷 文科数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自已的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 2. 已知全集，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集、并集、补集的定义逐一判断即可. 【详解】因为，故错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 因为，故D正确. 故选：D 3. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的最长棱长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，还原直观图，即可求得最长的棱长. 【详解】根据三视图，还原直观图为三棱锥，如图所示， 由题意得， 在直角三角形中，，同理， 所以最长棱为. 故选：C. 4. 已知非零平面向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在向量非零向量的情况下， 若，即， 即有，即． 又，故， 又，所以，即方向相反，故， 即“”是“”的必要条件； 若，则共线，但与的方向可能相同也可能相反， 所以由推不出，故充分性不成立； 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B． 5. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 150 B. 140 C. 130 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求出等差数列的首项和公差，再代入前项和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则，解得：， 所以. 故选：D 6. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若与所成的角相等，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案. 【详解】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，与所成的角相等，则可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误， 对于C，，，则可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D． 7. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则． 故选：B． 8. 已知满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用两角和的正弦化简得出，再应用两角差的正弦计算即可. 【详解】， 所以， 所以， 故选:C． 9. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为，则该数列的第18项为（ ） A. 188 B. 208 C. 229 D. 251 【答案】A 【解析】 【分析】记该二阶等差数列为，，计算出，利用累加法结合等差数列求和能求出的值. 【详解】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记， 由题意可知，数列为等差数列，且， 所以等差数列的公差为，所以， 所以，则， 所以， 故选：A 10. 已知双曲线分别为的右焦点和左顶点，点是双曲线上的点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据、点在上，求出可得答案． 【详解】由题设知，，则， 所以，且，易知， 又因为点在上，所以，所以， 因为，所以， 则，化简得 ， 解得或（舍去）．所以， 故的离心率为． 故选：B． 11. 已知函数，对于任意，有，则以下错误的为（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上共有6个极值点 【答案】B 【解析】 【分析】先推导出周期，求出的值，再利用对称轴为得，再利用三角函数的对称性和单调性逐一判断选项即可. 【详解】因为，所以，因此，从而， 注意到，故，所以，又，即的图象关于直线对称， 从而，即，所以， 又，所以， 所以，所以的最小正周期为A正确． 因为，所以函数的图象不关于点对称，B错误． 当时，，故函数在上单调递减，C正确． 令，得， 令，得， 故，易知函数在单调递增， 在单调递减，故函数在上共有6个极值点，D正确． 故选：B． 12. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的周期性、赋值法等知识求得正确答案. 【详解】取，代入， 得，解得， 令，则， 故， 所以是周期为的周期函数， ， ， 所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：求解抽象函数求值有关问题，可考虑利用赋值法、函数的周期性等知识来进行求解.对于一个函数，如果存在一个非零实数，使得对所有都满足，那么这个函数就是周期函数，是它的周期. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设实数，满足不等式组，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】画出可行域，数形结合求出目标函数的最大值. 【详解】因为实数，满足不等式组，作出可行域如下所示： 由，解得，所以， 由，可得，平移直线， 由图可知，当直线经过时直线在轴上的截距取得最大值， 即取得最大值，所以． 故答案为： 14. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数_______ 【答案】7 【解析】 【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 15. 在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求几何体的边长取的中点，，即可得出外接球的半径，进而得出外接球的体积. 【详解】由题意知，， 由勾股定理可知，，， 所以， 取的中点，所以， 所以四面体的外接球在斜边的中点处， 四面体的外接球的半径， 外接球的体积． 故答案为：. 16. 若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得，进而代入在直线上，求解. 【详解】因为，所以， 设直线与的切点为，则切线方程为，即， 又因为，所以解得，所以切线方程为， 因为，所以， 设直线与的切点为，所以①， 又因为切点在直线上，所以②， 由①和②可得，所以，解得. 故答案为： 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22､23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17. 随着人们对节日仪式的愈加重视及送礼需求的不断增加，中国礼物经济市场规模逐年增大，下表为2019-2023年中国礼物经济市场规模的数据（万亿元），其中2019-2023年的年份代码分别为1-5. 年份代码x 1 2 3 4 5 中国礼物经济市场规模y/万亿元 0.944 1.091 1.157 1.226 1.300 （1）由上表数据可知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； （2）求y关于的回归方程.（系数精确到0.001） 参考数据:. 参考公式:相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1），因为与的相关系数近似为，趋近于1，说明与的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系； （2） 【解析】 【分析】（1）根据参考数据、参考公式计算相关系数，即可得出结论； （2）根据参考数据计算、，即可得出回归直线方程. 【小问1详解】 ， ， ， 因为与的相关系数近似为，趋近于1，说明与的线性相关程度相当强， 从而可以用线性回归模型拟合与的关系； 【小问2详解】 ， ， 故. 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可求得答案； （2）利用余弦定理结合可求出，再利用可求出边上的高． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得． 又因为，则，所以． 整理得，即． 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，且， 则有， 又，故． 解得或（舍去）， 所以边上的高． 19. 如图，在三棱台中，，.若点为的中点，点为靠近点的四等分点. （1）求证：平面； （2）若三棱台的体积为，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 如图3，取的中点，连接. 在中，由为其中两边的中点，有. 由棱台的性质知，与相似， 且,则有, 所以,则四边形为平行四边形， 则，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可得，再由已知可证四边形为平行四边形，得，进而有，即可证明结论； （2）根据已知可得三棱台的高为，可得平面，再结合已知可证平面，应用,即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设三棱台的高为，且， 则体积，则， 故平面,平面, 则，又，，平面, ∴平面. ，为中点， ， ∴. 20. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增，无减区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明如下： 因， 设则， 则在上单调递减， 故. 【解析】 【分析】（1）将原函数求导，就参数进行分类讨论导函数的符号，即得函数的单调性； （2）构造函数，在条件下，判断的符号，得到得证. 【小问1详解】 的定义域, 若则在上单调递增； 若当时，则单调递减，时，则单调递增. 综上：当时，在上单调递增，无减区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 21. 已知椭圆，左右顶点分别为，长半轴等于焦距，过点的直线与椭圆交于点，点不与重合． （1）若点与点关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （2）若直线过椭圆的焦点，且满足，求椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 根据题意知长半轴等于焦距可得且，设出坐标后表示出斜率，结合点在椭圆上，计算即可得； (2) 结合(1)问所得，联立方程计算即可得. 【小问1详解】 根据题意知长半轴等于焦距可得且，可得． 设，则， 由题可知，， 所以①，由在椭圆上， 得，即 代入①得． 【小问2详解】 由对称性，不妨设直线过焦点， 根据(1)问知，，， 所以直线的斜率为， 根据点斜式可设直线为：， 与椭圆联立方程组得化简得：， ， 解之得 或(因为所以舍弃)， 故代入直线，得． ，解得， 所以椭圆的方程为：． （二）选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）曲线与交于两点，求直线的极坐标方程及三角形面积． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）由曲线的参数方程变形得，利用平方关系可得到的普通方程；由即可得的直角坐标方程. （2）由（1）得曲线的普通方程，的直角坐标方程，两式相减可得它们的公共弦所在直线方程，即直线的方程，由及和差公式可得直线的极坐标方程；根据点到直线的距离公式可得的圆心到直线的距离，由勾股定理可得弦长的值，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，由可得的面积. 【小问1详解】 由曲线的参数方程为（为参数）， 即， 可得， 即曲线的普通方程为； 曲线的极坐标方程为， 即， 则， 即， 即曲线的直角坐标方程为． 【小问2详解】 由（1）得曲线的普通方程， 曲线的直角坐标方程， 易知两曲线相交，将两方程相减，可得它们的公共弦所在的直线方程为， 即直线的方程为， 即有， 即直线的极坐标方程为． 设曲线的圆心到直线的距离为， 则， 故． 设到直线的距离为，则， 得的面积为． [选修4-5：不等式选讲] 23. （1）已知函数，求不等式的解集； （2）设、、为正数，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：因为、、为正数， 则 ， 即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故. 【解析】 【分析】（1）当时，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集； （2）由已知可得，结合柯西不等式可证得结论成立. 【详解】（1）当时，为， 当时，则有，解得，此时，； 当时，则有恒成立，此时，； 当时，则有，解得，此时，. 综上所述，当时，不等式的解集为； （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三信息押题卷（三）全国卷 文科数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自已的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的最长棱长为（　　） A. B. C. D. 4. 已知非零平面向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 150 B. 140 C. 130 D. 120 6. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若与所成的角相等，则 C. 若，，则 D. 若，则 7. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为，则该数列的第18项为（ ） A. 188 B. 208 C. 229 D. 251 10. 已知双曲线分别为的右焦点和左顶点，点是双曲线上的点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 11. 已知函数，对于任意，有，则以下错误的为（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上共有6个极值点 12. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设实数，满足不等式组，则的最大值是______. 14. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数_______ 15. 在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为__________． 16. 若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则__________. 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22､23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17. 随着人们对节日仪式的愈加重视及送礼需求的不断增加，中国礼物经济市场规模逐年增大，下表为2019-2023年中国礼物经济市场规模的数据（万亿元），其中2019-2023年的年份代码分别为1-5. 年份代码x 1 2 3 4 5 中国礼物经济市场规模y/万亿元 0.944 1.091 1.157 1.226 1.300 （1）由上表数据可知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； （2）求y关于的回归方程.（系数精确到0.001） 参考数据:. 参考公式:相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求边上的高． 19. 如图，在三棱台中，，.若点为的中点，点为靠近点的四等分点. （1）求证：平面； （2）若三棱台的体积为，求三棱锥的体积. 20. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：. 21. 已知椭圆，左右顶点分别为，长半轴等于焦距，过点的直线与椭圆交于点，点不与重合． （1）若点与点关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （2）若直线过椭圆的焦点，且满足，求椭圆的标准方程． （二）选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）曲线与交于两点，求直线的极坐标方程及三角形面积． [选修4-5：不等式选讲] 23. （1）已知函数，求不等式的解集； （2）设、、为正数，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $