精品解析：安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】借助纯虚数的定义可计算出复数，结合其几何意义即可得其在复平面上的对应点的位置. 【详解】复数为纯虚数，，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第二象限. 故选：B. 2. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、数量的运算律，结合垂直关系的向量表示求解即得. 【详解】依题意，，由，得， 所以. 故选：C 3. 设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（    ） A. 若,,则 B. 若,,,则 C. 若,,,则 D. 若,,,则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和平面的平行和垂直的性质定理对各选项逐一判断即可. 【详解】选项A:,,只有当在同一平面内的时候,才有,故不正确; 选项B: ,,,则可相交、平行或异面,故不正确; 选项C:,,,则还可能是相交平面,故不正确; 选项D:两个平面垂直时,与它们垂直的两条直线一定是垂直的,所以若,,,则,正确. 故选:D. 4. 在平行四边形中，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用表示，根据计算求解即可． 【详解】因为 ， 是线段的中点， 所以. 故选：D. 5. 已知圆台的上､下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球，该球与圆台的上､下底面及母线均相切，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式及球的表面积公式计算即可. 【详解】设圆台的上底面圆半径为，则底面圆半径为，母线长为， 如图所示，作出圆台与球的轴截面.由于球与圆台的上下底面及母线均相切，故. 根据圆台的侧面积公式，可得，所以球的直径为，故半径为，表面积为： 故选：C 6. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为与为互斥事件，故， 所以 ，故，故. 故选：A 8. 如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有下列四个结论： ①与是异面直线； ②，，相交于一点； ③； ④平面． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据、可判断①；设，根据平面，平面，又面面，可判断②；令，根据为平行四边形，可判断③；由线面平行的判定定理可判断④． 【详解】对于①，因为，，所以，又，所以与是相交直线，则①不正确； 对于②，设，面面，面面，所以平面，平面，又面面， 所以，，相交于一点，②正确； 对于③，令，连接， 因为，分别是，的中点， 所以，，则为平行四边形， 所以，而，所以③不正确； 对于④，因为平面，平面， 所以平面，④正确． 综上所述，②④正确， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D. 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD 10. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D. 【详解】依题意，，， 对A：，故A正确: 对B：依题意，， 所以数据的方差为： ，故B错误； 对C：，故C正确; 对D：由 ，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（ ） A. B. C. 若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为 D. 若PA=1，则直线PE与平面所成角为 【答案】BC 【解析】 【分析】连接，证明，计算判断AB；求出异面直线夹角余弦、线面角的正弦判断CD作答. 【详解】连接，如图， 因为平面，平面，则，而，平面， 于是平面，又平面，因此， 在正方形中，，， 则，，A错误，B正确； 取中点，连接，则，为异面直线PE与BC所成的角或其补角， 而平面，平面，有，又， 平面，则有平面，平面，于是， ，因此，C正确； 由平面知，是直线PE与平面所成的角，， 显然，D错误. 故选：BC 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足:，则______________. 【答案】3 【解析】 【分析】借助复数的乘方运算与四则运算法则计算后，结合复数模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：3. 13. 已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______． 【答案】 【解析】 【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果. 【详解】设，连接， 平面，平面，，， 四边形为正方形，， ，平面，平面， 又平面，，是二面角的平面角， 由，得：. 故答案为：. 14. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形的斜边，直角边，，点在以为直径的半圆上，延长，交于点.若，，，则的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再用正弦的和角公式求解，再求出，由三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】由题意得：， 所以，故，所以， 因为，所以 故 ， 因为，，，所以， 又因为，，所以， 所以的面积是. 故选：A. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，i是虚数单位. （1）若是实数，求b的值； （2）在①点P在实轴上，②点P在虚轴上，③点P在一､三象限的角平分线上，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：若，复数在复平面内对应的点为P，且___________，求实数m的值. 注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答记分. 【答案】（1）；（2）选①；选②；选③. 【解析】 【分析】（1）根据，先利用复数的除法化简，再根据复数为实数求解； （2）易知，选①根据：P在实轴上，则复数为实数求解；选②：根据点P在虚轴上，则复数为纯虚数求解；选③：根据点P在一､三象限的角平分线上，由实部和虚部相等求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为是实数，所以，解得； （2），， 选①：因为 P在实轴上，所以，解得； 选②：因为点P在虚轴上， 所以，解得； 选③：因为点P在一､三象限的角平分线上， 所以，即，解得. 16. 已知向量满足. （1）求； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得结果； （2）因为平行求出，再根据向量的数量积求出模长，最后应用二次函数的最值求出模长最值. 【小问1详解】 由，得， 同相减得，， 代入中，得. 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 当时，取最小值. 17. 某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； （2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数； （3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【答案】（1）分； （2）分； （3）. 【解析】 【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可； 利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数； 利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率. 【小问1详解】 解：由， 得. 数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分． 【小问2详解】 解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为， 在分以下所占比例为 因此，第百分位数一定位于内，由， 可以估计样本数据的第百分位数约为分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分. 【小问3详解】 解：由题意可知，分数段的人数为 (人)， 分数段的人数为 (人)． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，， 设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件， 则样本空间共包含个样本点 而的对立事件包含个样本点 所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为． 18. 如图，在平面四边形ABCD中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，求BC． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求得，再结合求解即可 （2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可 【小问1详解】 由可得，又故，故 【小问2详解】 设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故 19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. （1）求证:平面MCD; （2），求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点， 所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面， 由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故， 又平面平面MCD，因此平面MCD； （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点S，结合中位线性质可得S，M，C，D四点共面，再利用结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用所给条件，结合线面垂直的判定定理与性质定理与余弦定理计算可得的余弦值，再利用等体积法可求出点到平面的距离，结合的长度即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接AC，BD交于点，则为平行四边形ABCD的中心， 又， 则等腰中，根据三线合一，有， 又，平面， 故平面， 设， 则， ， ， 相加并整理得，① 在Rt，Rt中，有， 即，（2），，③ 解方程组①②③得，， 故， 于是， 在中，是PC中点， 故， 于是， 设点A到平面PBC的距离为，由，得， 故， 故所求线面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（    ） A. 若,,则 B. 若,,,则 C. 若,,,则 D. 若,,,则 4. 在平行四边形中，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上､下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球，该球与圆台的上､下底面及母线均相切，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有下列四个结论： ①与是异面直线； ②，，相交于一点； ③； ④平面． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 11. 如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（ ） A. B. C. 若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为 D. 若PA=1，则直线PE与平面所成角为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足:，则______________. 13. 已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______． 14. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形的斜边，直角边，，点在以为直径的半圆上，延长，交于点.若，，，则的面积是______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，i是虚数单位. （1）若是实数，求b的值； （2）在①点P在实轴上，②点P在虚轴上，③点P在一､三象限的角平分线上，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：若，复数在复平面内对应的点为P，且___________，求实数m的值. 注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答记分. 16. 已知向量满足. （1）求； （2）若，求的最小值. 17. 某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； （2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数； （3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 18. 如图，在平面四边形ABCD中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，求BC． 19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. （1）求证:平面MCD; （2），求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $