2025年九年级中考数学核心考点复习：第十三单元几何模型与方法综合实践探究

第十三单元 几何模型与方法综合实践探究 专题一 几何模型与方法(1)——从特殊到一般(新热点) 01.探究发现:(1)如图, 在矩形ABCD中, E为AD边上一点, 连接BE. ①若BE=BC, 过C作CF⊥BE交BE于点F, 求证: △ABE≌△FCB; ②若 时, 则BE·CF= . 模型应用:(2) 如图, 在菱形ABCD中, 过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E. 过E作EF⊥AD交AD于点F,若 时, 则EF·BC= . 02.问题提出：如图1，E为菱形ABCD边上一点， 是等腰三角形， AF交CD于点G, 探究 与α的数量关系. 问题探究：(1) 先将问题特殊化，如图2，当( 时，直接写出. 的大小； (2) 再探究一般情形，如图1，求 与α的数量关系. 问题拓展：将图(1) 特殊化，如图3，当( 时，若 求 的值. 03.探索发现: 如图1, E, F, H 是正方形ABCD边上的点, 连接BE, CF交于点G, 连接AG, GH, (1) 判断BE与CF的位置关系，并证明你的结论； (2) 若 求证： 迁移拓展:如图2, E, F是菱形ABCD边AB, AD上的点, 连接DE, 点G在DE上, 连接AG,FG, CG, ∠AGD=∠BAD, AF=AE, DF=GF, CD=10, CG=6, 直接写出DF的长及( 的值. 04.【问题提出】如图1, 在 中， D 是AC的中点，连接BD, 过点C作( 交BD于点E, 延长CE交AB于点F, 求 的值. 【问题探究】 (1) 先将问题特殊化. 如图2，当n=1时，直接写出 的值为 ； (2) 再探究一般情形. 如图1，求. 的值(用含n的式子表示). 【问题拓展】 (3) 如图3, 连接AE, 直接写出 的值(用含n的式子表示) . 专题二 几何模型与方法(2)——平行构相似 01.【基础巩固】 (1) 如图1, 在 中, D, E, F分别为AB, AC, BC上的点, AF交DE于点G, 求证: DG=EG; 【尝试应用】 (2) 如图2, 在(1) 的条件下, 连接CD, CG, 若CG⊥DE, CD=6, AE=3, 求 的值； 【拓展提高】 (3) 如图3, 在 中, ∠ADC=45°, AC与BD交于点O, E为AO上一点, 交AD于点G, EF⊥EG交BC于点F. 若∠EGF=40°, FG平分. 求BF的长. 02.【基础巩固】 (1) 如图1, 在 中, D, E, F分别为AB, AC, BC上的点,. AF交DE于点 G,求证： 【尝试应用】 (2) 如图2, 已知 D, E 为 的边BC上的两点，且满足. ，一条平行于 AB的直线分别交AD, AE和AC于点L, M和N, 求 的值； 【拓展提高】 (3) 如图3, 点E是正方形ABCD 的边CD上的一个动点, , 延长CD至点F, 使 连接CG，求CG的最小值. 专题三 几何模型与方法(3)——子母型相似 01.在 中，P为边AB上一点. (1) 如图1, 若 求证： (2) 若M为CP的中点, ①如图2, 若. 求BP的长； ②如图3, 若. ，直接写出BP的长. 02. (1) 如图1, 在, 中，D为AC边上一点， 求证： (2) 如图2, 在平行四边形ABCD中, 点E为BC边的中点, 点F在AB边上, 且 求DE的长； (3) 如图3, 在正方形ABCD中, 点F在AB边上, 点E为正方形ABCD外一点, 请直接写出 的值. 专题四 几何模型与方法(4)——斜A字型相似 01. 已知四边形ABCD的一组对边AD, BC的延长线交于点E. (1) 如图1, 若. 求证： (2)如图2, 若 的面积为6，求四边形ABCD的面积； (3) 如图3，另一组对边AB，DC的延长线相交于点F. 若 ，直接写出AD的长 (用含n的式子表示) . 专题五 几何模型与方法(5)——一线三等角 01.【模型探究】如图1, D, E, F分别为△ABC三边BC, AB, AC上的点,且 .求证： 【模型应用 为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将 沿EF翻折, 使A 点落在射线CB上的点 D 处, 且BD=2. ①如图2，当点D在线段BC上时，求 的值； ②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，直按写出AF的长. 02.【基础巩固】 (1) 如图1, 求证： 【尝试应用】 (2) 如图2, 在菱形ABCD中, 点E, F分别为边AD, AB上两点, 将菱形ABCD沿EF翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处，若 2PB, 求 的值； 【拓展提高】 (3)如图3,在矩形ABCD中,点P是AD边上一点,连接PB,PC,若 直接写出AB的长 . 03.已知, E, F分别是四边形ABCD 的边 BC, CD 上一点, 且 (1) 如图1, 若四边形ABCD是正方形, E 是BC的中点, 求证: (2) 若四边形ABCD 是平行四边形， ①如图2, 若∠AFE=45°, 求 的值； ②如图3, 若 直接写出(cos∠AFE∠AFE的值为 . 专题六 几何模型与方法(6)——十字架结构与化斜为直思想 01. 已知四边形ABCD中, E, F分别是AB, AD边上的点, DE与CF交于点G. 问题发现： (1) ①如图1, 若四边形ABCD是正方形, 且DE⊥CF于G, 则 ②如图2, 当四边形ABCD 是矩形时, 且DE⊥CF于G, AB=m, AD=n, 则 拓展研究： (2) 如图3, 若四边形ABCD是平行四边形, 且∠B+∠EGC=180°时, 求证: 解决问题： (3) 如图4, 若BA=BC=5, DA=DC=10, ∠BAD=90°, DE⊥CF于G, 请直接写出 的值. 02.【基础巩固】 (1) 如图1, AB⊥BC于点B, CE⊥BC于点C, AC⊥DE交BC于点D, 求证: 【尝试应用】 (2)如图2,在矩形ABCD 中, E是 BC上的一点, 作 交BC于点 F,CE=EF,若. 求 的值. 【拓展提高】 (3) 如图, 菱形ABCD的边长为10, E为AD上的一点，作 交AC于点F,交AB于点G, 且CE=2DF, 求 BG的长. 专题七 几何模型与方法(7) ——平行构相似与射影型 01. 在 Rt△ABC中, M是BC边上一点, 连接AM. (1) 如图1, 若 , N是AB延长线上一点, CN与AM垂直, 求证: (2) 过点B作 P 为垂足，连接CP并延长交AB于点Q. ①如图2, 若n=1, 求证: ②如图3，若M是BC的中点，直接写出 的值(用含n的式子表示). 02. 在 中，点D是BC中点，点F是射线AC上的一点. (1) 如图1, 连接FD并延长交 AB于点 E. ①若 则 ②试探究 是否为定值，如果是，请求出这个定值； 如果不是，请说明理由. (2) 如图2, BF交AD于点G, 且 求 的值. 专题八 几何模型与方法(8) ——共圆型相似 01. 问题背景:(1) 如图1, 四边形ABCD中, AC, BD交于点E, 其中 求证： 尝试应用:(2) 如图2, 中， , 点D是AB的中点, 点E, F是BC上两点, AE交DF于点G, 若 求 的值. 迁移拓展:(3) 如图3, 中， , 点D是AC上一点, 直接写出线段BD 长度的最小值. 专题九 几何模型与方法(9)——羊角型相似及构造 01. 问题背景: 如图1, AB, CD交于O, 延长BD, CA交于E, 证明： 应用拓展：如图2，在四边形ABCD中， 点E, F分别在边CD, AB上, 连BE, CF交于 O, AE, DF交于T. (1) 若 证明： (2) 若 于 E, 于 F, 直接写出 专题十 几何模型与方法(10)——特殊四边形与折叠 方法：①折叠出等腰； ②折叠出半角； ③折叠出三等角； ④折叠出十字架结构. 01.综合与实践: 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. (1) 操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM, BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： ； (2) 迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照(1) 中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ. ①如图2, 当点M在EF上时, ②改变点P在AD上的位置(点P不与点A, D重合), 如图3, 判断∠MBQ与. 的数量关系，并说明理由； (3) 拓展应用 在(2) 的探究中, 已知正方形纸片ABCD的边长为8cm, 当FQ=1cm时, 直接写出AP的长. 02. 在矩形ABCD的CD边上取一点E, 将 沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处. (1) 如图1, 若 求 的度数； (2) 如图2, 当. , 且AF·FD=10时, 求BC的长; (3) 如图3, 延长EF, 与 的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当 时，求 的值. 专题十一 几何模型与方法(11) ——旋转型相似 01.【问题背景】 (1) 如图1, . 求证： 【变式迁移】 (2) 如图2, E为正方形ABCD外一点, 过点D作. 垂足为F，连接CF. 求 的值； 【拓展创新】 (3) 如图3, A 是 内一点， , 直接写出AB 的长. 专题十二 几何模型与方法(12)——共底双等腰 基本结论：共底双等腰，底角的差相等 01. 问题提出: 如图1, 在 中, AB=AC, D是AC的中点, 延长BC至点E,使DE=DB, 延长ED交AB于点F, 探究- 的值； 问题探究：(1) 先将问题特殊化. 如图2，当 C=60°时, 直接写出 的值； (2) 再探究一般情形. 如图(1) ，证明 (1) 中的结论仍然成立. 问题拓展：如图3，在 中, AB=AC, D是AC的中点, G是边BC上一点, (n<2), 延长BC至点E, 使DE=DG, 延长ED交AB于点F. 直接写出 的值(用含n的式子表示) . 专题十三 几何模型与方法(13)——二倍角的处理 01.【问题情境】数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质. 已知AB=AC, ∠A>90°, 点E为AC上一动点, 将△ABE以BE为对称轴翻折. 同学们经过思考后进行如下探究： 【独立思考】小明:“当点D落在BC上时, ∠EDC=2∠ACB.” 小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长. ” 【实践探究】奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 问题1: 在等腰△ABC中, AB=AC, ∠A>90°, △DBE由△ABE翻折得到. (1) 如图1, 当点D落在BC上时, 求证: ∠EDC=2∠ACB; (2) 如图2, 若点E为AC中点, AC=4, CD=3, 求BE的长. 【问题解决】小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 的等腰三角形，可以将问题进一步拓展. 问题2: 如图3, 在等腰△ABC中, ∠A<90°, AB=AC=BD=4, 2∠D=∠ABD. 若( , 求BC的长. 02.【基础巩固】 (1) 如图1, 在 中， 求证： 【尝试应用】(2) 如图2, 在. 中， D为AB边上一点， 求 CD. 【拓展提高】(3)如图3,四边形ABCD为矩形,连接BD,将矩形ABCD绕点 B旋转至矩形EBFG,使得边EG经过点C, EG交BD于点H, 若 求 BH². 专题十四 几何模型与方法(14)——定角夹定高之探照灯问题 方法： 1. 作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长； 2. 根据“半径+弦心距≥定高”求r的取值范围； 3. 用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值. 01. 问题提出: (1) 如图1, 已知在边长为10的等边△ABC中, 点D在边 BC上, BD=6, 连接AD, 则△ACD的面积为 ； 问题探究： (2)如图2,已知在边长为6的正方形ABCD中,点E在边BC上,点F在边CD上,且∠EAF=45°.若EF=5, 求△AEF的面积; 问题解决： (3) 如图3是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB=4米，AD=6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面, 其中E, F分别在BC, CD边上(不与B, C, D重合),且∠EAF=45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求 面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF? 若存在，请求出 面积的最小值； 若不存在，请说明理由. 02.已知,四边形ABCD为矩形, E,F,G分别是AB,BC,AD上的点, (1) 当 ①如图1, 求证: ②如图2, 连接 DF, 若 CF=2AG, 求 (2) 如图3, 直接写出 G面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$