精品解析：浙江省初中名校共同体2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023学年第一学期浙江省初中名校发展共同体九年级期中考试 数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了比例，直接利用比例设参数，然后代入求值即可，解题的关键是熟练掌握比例的性质． 【详解】由，设，（）， ∴， 故选：． 2. 已知在中，，则的外接圆直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆直径，勾股定理求得斜边的长即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴的外接圆直径为， 故选：C． 3. 若将函数的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减进行变换． 【详解】解：将函数的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位， 可得， 故选D． 4. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】过点作半径于，如图，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中， ， ∴， ∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象性质，根据顶点坐标为，对称轴，开口方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为中的，函数图象的开口向上，故该选项是错误的； B、因为，所以函数图象的顶点坐标是，故该选项是错误的； C、因为，函数图象的开口向上，该函数的最小值是，故该选项是错误的； D、因为对称轴，，函数图象的开口向上，当时，y随x的增大而增大，故该选项是正确的； 故选：D 6. 如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】 本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 7. 小舟给出如下题目：二次函数的图象如图所示，点A坐标为，给出下列结论：①﹔②；③是方程的其中一个解；④；其中正确的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则利用对称轴即可对①进行判断；根据判别式的意义可对②进行判断；根据抛物线与x轴的另一个交点坐标为可对③进行判断；由，，即可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴，故①错误； ∵抛物线对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 即抛物线抛物线与x轴有2个交点， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴是方程的其中一个解，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； 故选：C． 8. 如图，点A，B，C，D为上的四个点，AC平分，AC交BD于点E，，则AC的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的性质与判定，方程思想，能够掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵（圆周角定理）， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 故选：B． 9. 如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A=α，∠C=β（　　） A. 若α+β=70°，则的度数为20° B. 若α+β=70°，则的度数为40° C. 若α﹣β=70°，则的度数为20° D. 若α﹣β=70°，则的度数为40° 【答案】B 【解析】 【分析】连接BE，根据圆周角定理求出∠ABE=90°，∠AEB=90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α=β+，得到的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可． 【详解】解：连接BE，设的度数为θ， 则∠EBD= ， ∵AE为直径， ∴∠ABE=90°， ∵∠A=α， ∴∠AEB=90﹣α， ∵∠C=β，∠AEB=∠C+∠EBC=β+， ∴90°﹣α=β+， 解得：θ=180°﹣2（α+β）， 即的度数为180°﹣2（α+β）， A、当α+β=70°时，的度数是180°-140°=40°，故本选项错误； B、当α+β=70°时，的度数是180°-140°=40°，故本选项正确； C、当α-β=70°时，即α=70°+β，的度数是180°-2（70°+β+β）=40°-4β，故本选项错误； D、当α-β=70°时，即α=70°+β，的度数是40°-4β，故本选项错误； 故选：B． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 10. 定义平面内任意两点之间的距离，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，若点A在直线上，点B为抛物线上一点，则曼距的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值，根据定义表示出曼距，当A、B两点横坐标相等时，取得最小值，求解即可． 【详解】解：由题意得：设，， ∴， 由图可知当A、B两点横坐标相等时，取得最小值， ∴， ∴曼距的最小值为； 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 请写出一个开口向下并且顶点在y轴上的二次函数表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先设出二次函数解析式方程，，再根据图像开口向下可知，再根据顶点在y轴上，有，即可求解． 【详解】设该二次函数的解析式为， ∵抛物线的开口向下， ∴， 又∵顶点在y轴上， ∴， ∴时，有：， 故答案为：（答案不唯一，满足上述条件即可） 12. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为4米，则a约为________米．（结果精确到一位小数） 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据，，即可求出的值． 【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，， ， ， 的值为米； 故答案为2.5． 13. 二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与性质．先求出抛物线与轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答． 【详解】解：当时，， 解得： ∴二次函数的图象与轴的交点为，， 由函数图象可得的的取值范围为：． 故答案为：． 14. 如图，在扇形中放置有三个全等的矩形方格，点O为扇形的圆心，格点A、B、C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个矩形方格的长和宽分别为和1，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先求出长，再利用三角函数求出的度数，再根据阴影面积等于扇形的面积减去梯形面积即可得解．熟练掌握扇形面积公式和利用三角函数求出是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵每个矩形方格的长和宽分别为和1， ∴，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 15. 如图，矩形纸片，点E在边上，连接，点F在线段上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为，若，则折痕的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的折叠问题，勾股定理．正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过点F作于点M，交于点N，通过证明四边形为矩形，四边形为矩形，得出，根据，推出，则，由折叠的性质得出，，即可根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理可得，列出方程，求出，最后根据勾股定理可得：，即可求解． 【详解】解：过点F作于点M，交于点N， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， 同理可得：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由沿折叠得到， ∴，， 根据勾股定理可得：， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 根据勾股定理可得：， 故答案为：． 16. 量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知点C是量角器半圆弧的中点，点P为三角板的直角顶点，两直角边、分别过点A、B．连结，过点O作交于点M，交于点N．若，则的最小值为________；若点Q为的中点，则点P从点Q运动到点B时，N点的运动路径长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图，连接．证明点上，且运动轨迹是，过点作于．求出，可得结论；连接，，结合图形可得，点P从点Q运动到点B，点Q为的中点，运动的终点时，，即有，则有，根据弧公式即可作答． 【详解】解：当点P在上时，点N在线段的右侧，如图，连接． ∵是半圆的二等分点， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， 作的外接圆，连接，． 则有圆心T为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上，运动轨迹是， 过点作于． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 当点P在上时，如图， 可知点N在线段的左侧，此时的显然大于， 综上：的最小值为． 如图，连接，， ∵，，， ∴， ∵点P从点Q运动到点B，点Q为的中点， ∴终点时，， ∴， ∴， ∵， ∴点在上，运动轨迹长为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，弧长公式，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹． 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分） 17. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1） （2）x的值 【解析】 【分析】本题考查了比例和比例中项， （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 掌握比例和比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即，那么线段b是a和c的比例中项”是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， 则设， ∵， ∴， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ， ， ， 或（舍）， 即x的值． 18. 如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且，与交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）圆周角定理，得到，的度数为，平行得到，进而得到，垂径定理，得到，进而得到的度数为，即可求出的度数； （2）勾股定理，求出的长，即可求出的长． 本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理和垂径定理，是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是半圆O的直径，， ∴，的度数为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴． 19. 已知二次函数，当时，求函数y的取值范围． 小胡同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则： 所以函数y的取值范围为． 小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】 解：小胡的解答不正确，正确的解答过程如下： ∵，， ∴当时，该二次函数有最小值2， ∵当时，则； 当时，则： ∴当时，函数y的取值范围为． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当时和当时的函数值，即可解答． 【详解】略 20. 请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，等腰内接于中，； （2）如图②，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F． 【答案】（1） 如图①，作直线即可，即为所求； （2）如图②， 【解析】 【分析】本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． （1）如图，作直线即可，即为所求； （2）连接交于点O，连接交于点H，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于点O，连接交于点H， 连接即可，直线即为所求． 21. 杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． （1）请求出与的函数关系式； （2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）①；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， ，解得：． ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：①由题意可得， ∴w与x的函数关系式为． ②， ∵且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵在对称轴左侧，即时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）． 答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 22. 如图1，在正方形ABCD中，，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，作交边AD于点N． （1）当F为BE中点时，求证：﹔ （2）如图2，若，求的值． 【答案】（1） 证明：为的中点， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， （）， ， ，， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）先证明得出，根据，以及正方形的性质即可得证； （2）根据正方形的性质可得，得出，根据已知条件设，则，求得，进而求得，证明，取得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形ABCD为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 【答案】任务一：； 任务二：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下： ∵上边缘水流的抛物线解析式为： 当时， 解得：或（舍去），则抛物线与负半轴的交点坐标为； ∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． ∴下边缘的抛物线解析式为： 当时，， 解得：或（舍去）， 则抛物线与负半轴的交点坐标为； ∵ 而路边的绿化带宽米， ∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带； 任务三：有影响，理由如下： 上边缘水流的抛物线解析式为：， ∵绿化带正中间种植了行道树，即处种植了行道树 当时，米 而园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 则在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”有影响，建议针一般打在离地面大于米且小于或等于米的高度． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质； 任务一：待定系数法求解析式，即可求解； 任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为：，分别令，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求； 任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，即处种植了行道树，令，求得的值，与题意比较，进而得出结论． 【详解】解：任务一：依题意，设上边缘水流的抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得： ∴抛物线的表达式为： 任务二：略； 任务三：略． 24. 如图1，是内接三角形，将绕点A逆时针旋转至，其中点D在圆上，点E在线段上． （1）求证：﹔ （2）如图2，过点作分别交、于点M、N，交于点F，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，若时，求的值； 【答案】（1） 证明：∵将绕点A逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）旋转的性质，得到，根据弧，弦，角的关系，得到，即可得证； （2）证明，进而得到，旋转得到，根据，推出，等量代换，得到，即可得证； （3）等量代换，得到，过点作，角平分线的性质得到，等积法得到，连接，推出，，将绕点旋转至与重合得到，证明三点共线，设，则，进而得到，推出，证明，得到，得到，再进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴，， ∴， ∵ ∴延长必经过点， 过点作， ∵， ∴， ∴（同高三角形） ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将绕点旋转至与重合得到，则：，，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴设，则， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，圆周角定理，弧，弦，角的关系，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，进行线段和角的转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第一学期浙江省初中名校发展共同体九年级期中考试 数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知在中，，则的外接圆直径为（ ） A. B. C. D. 3. 若将函数的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（ ） A. B. C. D. 7. 小舟给出如下题目：二次函数的图象如图所示，点A坐标为，给出下列结论：①﹔②；③是方程的其中一个解；④；其中正确的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 如图，点A，B，C，D为上的四个点，AC平分，AC交BD于点E，，则AC的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 9. 如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A=α，∠C=β（　　） A. 若α+β=70°，则的度数为20° B. 若α+β=70°，则的度数为40° C. 若α﹣β=70°，则的度数为20° D. 若α﹣β=70°，则的度数为40° 10. 定义平面内任意两点之间的距离，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，若点A在直线上，点B为抛物线上一点，则曼距的最小值（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 请写出一个开口向下并且顶点在y轴上的二次函数表达式________． 12. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为4米，则a约为________米．（结果精确到一位小数） 13. 二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是________． 14. 如图，在扇形中放置有三个全等的矩形方格，点O为扇形的圆心，格点A、B、C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个矩形方格的长和宽分别为和1，则阴影部分的面积为________． 15. 如图，矩形纸片，点E在边上，连接，点F在线段上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为，若，则折痕的长为________． 16. 量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知点C是量角器半圆弧的中点，点P为三角板的直角顶点，两直角边、分别过点A、B．连结，过点O作交于点M，交于点N．若，则的最小值为________；若点Q为的中点，则点P从点Q运动到点B时，N点的运动路径长为________． 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分） 17. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 18. 如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且，与交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 19. 已知二次函数，当时，求函数y的取值范围． 小胡同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则： 所以函数y的取值范围为． 小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 20. 请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，等腰内接于中，； （2）如图②，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F． 21. 杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． （1）请求出与的函数关系式； （2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图1，在正方形ABCD中，，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，作交边AD于点N． （1）当F为BE中点时，求证：﹔ （2）如图2，若，求的值． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 24. 如图1，是内接三角形，将绕点A逆时针旋转至，其中点D在圆上，点E在线段上． （1）求证：﹔ （2）如图2，过点作分别交、于点M、N，交于点F，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，若时，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $