精品解析：河南省洛阳市汝阳县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023-2024学年上学期期中测评试卷 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使有意义，则x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 1 3. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，点B，E分别在，上，，，的长（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 7. 若x，y都是实数，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，平面直角坐标系中，点，点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 9 B. 14 C. 30 D. 35 9. 在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段上一点若满足（是和的比例中项），则称点P是的黄金分割点．一般认为一个人如果肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金分割（黄金比接近），会给人一种特别的美感．如图，某女士身高165cm，下半身长100cm，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为多少厘米．若设高跟鞋的高度大约为多少，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则_______． 12. 方程的解是__________． 13. 给出二次根式：①；②；③；④，其中化简后能与合并的是__________（填序号）． 14. 《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是__________cm． 15. 如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 若m是一元二次方程的根，求代数式的值． 18. 有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； （2）如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 20. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 21. 教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． （1）用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； （2）若苗圃的面积为，求x的值； （3）苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 22. 阅读下列材料，完成相应任务． 材料一 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二 若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： （1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． （2）拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 23. 洛洛遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长． 洛洛发现，过点C作，交的延长线于点E，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）请回答：的度数为__________，的长为__________． （2）参考洛洛思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在四边形中，与交于点E，且，，，，，求的长； ②如图4，在中，，点D是边的中点，点E在边上，过点D作交边于点F，连结，当，时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上学期期中测评试卷 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使有意义，则x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式的分母不为0，二次根式的被开方数非负，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴ ∴x的值可以是3， 故选：D． 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键，解题时要注意查看是否是一元二次方程一般形式． 任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】把化成一般式， 得， ∴常数项是 故选：C 3. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数9，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，直接利用根的判别式计算即可选出正确答案． 【详解】解：， ， 此方程有两个相等的实数根． 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除运算，分别计算出各选项结果再进行判断即可 【详解】解：A.与不能运算，故选项A错误，不符合题意； B. ，故选项B错误，不符合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，故选项D错误，不符合题意； 故选：C 6. 如图，，点B，E分别在，上，，，的长（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得出，从而求出，再由求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7. 若x，y都是实数，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，代入求值，解题关键在于求出x，y的值． 【详解】解：由题可知， 解得， ∴， ∴， 故选C． 8. 如图，平面直角坐标系中，点，点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 9 B. 14 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题型，相似三角形的判定和性质，利用三角形相似求出点C的坐标，熟练掌握待定系数法求反比例函数的比例系数是解决此题的关键． 作轴于，证明，求出，，得出，求出． 【详解】解：作轴于，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：，， ∴， ∴． 将点C的坐标代入反比例函数解析式中，得 解得：． 故选：B． 9. 在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均降低率问题，熟练掌握是解决问题的关键，其中a是起始量，b是终止量，x是平均降低率，n是降低次数． 根据“2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，”可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】根据题意得：， 即 故选：C． 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段上一点若满足（是和的比例中项），则称点P是的黄金分割点．一般认为一个人如果肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金分割（黄金比接近），会给人一种特别的美感．如图，某女士身高165cm，下半身长100cm，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为多少厘米．若设高跟鞋的高度大约为多少，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出下半身、全身的高度，再根据下半身全身=0.618，求出鞋子的高度．． 【详解】解：设高跟鞋的高度大约为， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程在黄金分割比的应用，掌握分式方程的列出和黄金分割比的式子是本题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的运算，解题的关键是利用分式的性质将拆分为，再结合已知条件进行计算． 【详解】解：由已知， 则． 故答案为3． 12. 方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，先移项，然后再提公因式即可解答此方程． 【详解】解：， ， ， ， ∴或 解得，，， 故答案为：， 13. 给出二次根式：①；②；③；④，其中化简后能与合并的是__________（填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题是一道有关二次根式的题目，掌握同类二次根式的定义和二次根式的化简是解题关键； 先根据二次根式的性质把所给的二次根式化简，再根据被开方数是否与的相同，得到的同类二次根式． 【详解】解：将各个二次根式化为最简二次根式， 得①；②；③；④， 所以被开方数为6的有． 则与可以合并的是③． 故答案为：③． 14. 《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是__________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．证明与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵ ∴， 又， ∴ 由相似三角形的性质得到：． 解得，． 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：10． 15. 如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是______． 【答案】3或 【解析】 【分析】当与相似时．分①当，；②当，两点重合；两种情况求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 由折叠可知，，当与相似时．分，两种情况求解： ①当时，即，， ∴， ∴； ②当时，即，两点重合，在的延长线上， ∴，即， ∴，即， 解得，； 综上所述，的值为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例等知识．熟练掌握折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 若m是一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，完全平方公式的变形，把m代入方程变形得，然后利用计算即可解题． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，且， ， ， ，即， ，即． ． 18. 有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； （2）如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数，方程总有实数根． （2）的周长为11或10． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质. （1）先计算出，然后根据非负数的性质即可证明． （2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当腰长为4时，把代入， 得，， 解得； 方程化为， 则其另一个解为， 此时的周长为． 当底边长为4时，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，此时方程化为， 即, 解得：， 此时的周长为． 综上所述，的周长为11或10． 20. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 21. 教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． （1）用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； （2）若苗圃的面积为，求x的值； （3）苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 【答案】（1） （2）8 （3）苗圃的面积不能为， 设矩形的面积为， 则， ∵， ∴时，的值最大，最大值为108， ∴苗圃的面积不能为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，列代数式．解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米，即得长； （2）根据题意得：，即可解得的值； （3）设矩形的面积为，，由二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米， ∴长为：（米）． 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：，， ∵当时，， 当时，， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为8． 【小问3详解】 略 22. 阅读下列材料，完成相应任务． 材料一 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二 若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： （1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． （2）拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； ②根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 由①知， ∴． 23. 洛洛遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长． 洛洛发现，过点C作，交的延长线于点E，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）请回答：的度数为__________，的长为__________． （2）参考洛洛思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在四边形中，与交于点E，且，，，，，求的长； ②如图4，在中，，点D是边的中点，点E在边上，过点D作交边于点F，连结，当，时，请直接写出的长． 【答案】（1）；3 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质求出，然后根据三角形内角和定理可得，进而可以解决问题； （2）①过点作交的延长线于点，证明，得，再利用勾股定理即可解决问题． ②延长到，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图3，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②延长到，使得，连接，如图4， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查三角形的中线、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $