江苏省南京市秦淮外国语学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试卷

- 1 - 2023-2024学€{€级P学期南京市秦淮外ÿ语学校 10oo考 数学试卷 一.选择题ÿ每题 2分，共 16分Ā 1．Q列Ā形中，O是轴对ĀĀ形的是ÿ Ā A． B． C． D． 2．如Ā，已知 BF DE= ， / /AB CD，要使 ABF CDE   ，添加的条件可以是ÿ Ā A． BE DF= B． AF CE= C． / /AF CE D． B D = 3．如Ā，在 ABC 中，AB的垂直分线分别交 AB，BC于点D，E，AC的垂直分线分别交 AC， BC于点 F ，G ，且 AEG 的周长是 20，则线段 BC的长~ÿ Ā A．40 B．20 C．15 D．10 4．某地t建的幸福小区的O个出口 A、 B、C 的位置如Ā所示，物业|司想在小区内修建一个电 ú车充电桩，以方便业，要求到O个出口的距离都相等，则充电桩应该在 ABC ÿ Ā - 2 - A．O条高线的交点处 B．O条中线的交点处 C．O个角的分线的交点处 D．O条边的垂直分线的交点处 5．如Ā， 120ACD = ， AB BC CD= = ，则 A 等于ÿ Ā A．10 B．15 C． 20 D． 30 6．如Ā，已知 ABC 的面ÿ~ 48， 6AB AC= = ，点D~ BC边P一点，过点D分别作DE AB⊥ 于 E，DF AC⊥ 于 F ，若 3DF DE= ，则DF长~ÿ Ā A．12 B．10 C．6 D．8 7．等腰O角形一腰P的高P另一腰所r的夹角~ 45，则顶角的度数~ÿ Ā A． 45或135 B． 45 C．135 D． 90 8．如Ā， MON ñ = ， 30ñ ü ，点 A~ONP一定点，点C ~ONP一ú点， B，D~OM P两 ú点，当 AB BC CD+ + 最小时， BCD ABC + =ÿ Ā A． 5ñ B． 6ñ C．90 ñ − D．180 ñ − 二、填空题ÿ每题 2分，共 20分Ā 9．等腰O角形的两条边长分别~ 15和 7，则它的周长等于 ． 10．如Ā，在 ABC 中， / /ED BC， ABC 和 ACB 的分线分别交 ED于点G 、 F ，若 3FG = ， - 3 - 7ED = ，则 EB DC+ 的值~ ． 11．如Ā，在 ABC 中， AB的垂直分线 l 交 BC 于点 D， 7BC = ， 4AC = ，则 ACD 的周长 ~ ． 12．如Ā，OP分 MON ，PA ON⊥ 于点 A， 3PA = ，点Q是射线OM P一个ú点，若 PQ m= ， 则m的取值范围是 ． 13．如Ā所示，O角形 ABC的面ÿ~ 23cm ， AP垂直 B 的分线 BP于点 P．则O角形 PBC 的面 ÿ是 ． 14．如Ā所示的五边形花ÿ是用五个全等的等腰O角形拼r的，则 BAC 的度数~ ． 15．如Ā， 80AOB = ，在OAP取点C，以点C~圆心，CO长~半径画弧交OB于点D，连接CDĀ 以点D~圆心，DC长~半径画弧交OB于点 B，连接CE ， DCE 的度数~ ． - 4 - 16．若直角O角形斜边P的高和中线分别~10cm、12cm，则它的面ÿ~ 2cm ． 17．如Ā，在 ABC 中， 12AB = ， 8AC = ，AD是 BC边P的中线，则 AD的取值范围是 ． 18．如Ā，在矩形 ABCD中， 4AB = ， 7BC = ，点 E~CD中点， P，Q~ BC边P两个ú点，且 1PQ = ，当四边形 APQE周长最小时， BP的长~ ． O、解答题ÿ共 64分Ā 19．ÿ6 分Ā已知ÿ如Ā，点 E、 F 在线段 BDP， AF BD⊥ ，CE BD⊥ ， AD CB= ，DE BF= ， 求证ÿ AF CE= ． 20．ÿ8分Ā如Ā， ABC 中，AD是高，CE 是中线，点G 是CE 的中点，DG CE⊥ ，点G ~垂足． ÿ1Ā求证ÿDC BE= Ā ÿ2Ā若 78AEC = ，求 BCE 的度数． - 5 - 21．ÿ8分Ā某数学t趣小组开展了一次活ú，过程如Qÿ设 (0 90 )BAC   =  ü ü  ．Ā把小棒依次 摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线 AB、 ACP． 活ú一ÿ如Āv所示，Ð点 1A开始，依次向右摆放小棒，若小棒P小棒在端点处互相垂直、 1 2A A ~ 第 1根小棒． 数学思考ÿÿ1Ā小棒能无限摆Q去吗？答ÿ ．ÿ填<能=或<O能= ) ÿ2Ā设 1 1 2 2 3AA A A A A= = ， = ． 活ú二ÿ如Ā乙所示，Ð点 1A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 1 2A A ~第1根小棒，且 1 2 1A A AA= ． 数学思考ÿÿ3Ā若已经摆放了 3根小棒， 3 = ．ÿ用含 的式子表示Ā ÿ4Ā若只能摆放 6根小棒，则 的范围~ ． 22．ÿ6分Ā如Ā，在 ABC 中， ACB 、 CBA 的角分线相交于点 E． ÿ1Ā求证ÿ点 E在 A 的分线PĀ ÿ2Ā过点 E作 ED BC⊥ 于点D， 4ED = ， ABC 的面ÿ~ 36，则 ABC 的周长~ ． - 6 - 23．ÿ8分Ā已知ÿAD是 ABC 的角分线，点 E~直线 BCP一点，BD DE= ，过点 E作 / /EF AB 交直线 AC 于点 F ，当点 F 在边 AC 的延长线P时，如Ād，延长 AD、 EF 交于点 G ，易证 AF EF AB+ = Ā ÿ1Ā当点 F 在边 ACP，如Āe，写出 AF 、 EFP AB的数量s系，并证明Ā ÿ2Ā当点 F 在边 AC的延长线P，AD是 ABC 的外角分线时，如Āf，直接写出 AF 、EFP AB 的数量s系． - 7 - 24．ÿ9分Ā在 ABC 中， ACB ~锐角，点D~射线 BCP一点，且P点 B、CO重合，连接 AD， 以 AD~边，向外作等边O角形 ADF ，连接CF ． ÿ1Ā若 AB AC= ， 60BAC = Ā d如Ā 1，当点D在线段 BCP时，试探讨CF P BD的数量s系和此时CF P ABs系，并说明理uĀ e如Ā 2，当点D在线段 BC的延长线P时，d中的结论是否Ï然r立，请说明理uĀ ÿ2Ā如Ā 3，若 AB AC ，60 90BAC ü  ü ，点D在线段 BCP，且 120FCD = 时，求 BCA 的 度数． 25．ÿ9 分Ā如Ā 1， BE是 ABC 中 AC 边P的高，点 D是 ABP一点，连接CD交 BE 于点 F ， EFC A =  ． ÿ1Ā求证ÿCD AB⊥ Ā ÿ2Ā若 2ACB ABE =  ，求证ÿ AC BC= Ā ÿ3Ā如Ā 2，在ÿ2Ā的条件Q，延长 BE至点G ，连接 AG，CG，若 2 2 ABCG BC S =四边形 ， 25ABGS = ， 求线段 AB的长． - 8 - 26．ÿ10 分Ās们知道ÿ过O角形的顶点引一条直线，可以将它分割r两个小O角形．如果每个小 O角形都p两个相等的内角，则s们Ā这条直线~原O角形的<美丽线=．如Ā 1，直线CD~ ABC 的<美丽线=． ÿ1Ā如Ā 2，在 ABC 中， 90A = ， 35C = ，请利用直尺和量角器在Ā 2中画出 ABC 的<美 丽线=ÿ标出所得O角形的内角度数，O要求写画法ĀĀ ÿ2Ā在 ABC 中， A ñ = ， ( )B ò ñ ò = ．若 ABC 存在过点C 的<美丽线=，试探究ñ P ò 的 s系．Q面是对这个问题的部分探究过程ÿ 设CD~ ABC 的<美丽线=，点D在边 ABP，则 ACD P BCD 中各p两个相等的内角． 0探究 11 如Ā 3，当 ACD ADC =  时，因~ A ñ = ，所以 ADC = ÿ用含ñ 的代数式表示Ā，且 ADC ~锐角，则 CDB ~钝角，所以在 CDB 中， DCB B ò =  = ．u此可以得到 ñ P ò 的s系 ~ ，其中ñ 的取值范围~ ． 0探究 21 借ûĀ 4，请你继续完r本问题的探究，直接写出ñ P ò 的s系ÿ写出一种O同于探究 1 的s系即 可Ā． - 1 - 2023-2024学€八€级P学期南京市秦淮外ÿ语学校 10月月考 数学试卷参考答案 一.选择题ÿ每题 2分，共 16分Ā 1．0答案1C． 2．0答案1C． 3．0答案1 B． 4．0答案1D． 5．0答案1C． 6．0答案1 A． 7．0答案1 A． 8．0答案1 B． 二、填空题ÿ每题 2分，共 20分Ā 9．0答案137． 10．0答案110． 11．0答案111． 12．0答案1 3m ． 13．0答案1 23 2 cm ． 14．0答案136． 15．0答案1 40． 16.0答案1120． 17．0答案1． 18．0答案14． O、解答题ÿ共 64分Ā 19．ÿ6分Ā0答案1见解析. 0解析1证明ÿ DE BF= ， DE EF BF EF + = + Ā DF BE = Ā 在 Rt ADF 和 Rt CBE 中 - 2 - DF BE AD CB =ü ý =þ ， Rt ADF Rt CBE(HL)    ， AF CE = ． 20．ÿ8分Ā0答案1ÿ1Ā见解析Āÿ2Ā 26． 0解析1ÿ1Ā证明ÿ连接 ED． 点G 是CE 的中点，DG CE⊥ ， DE DC = ． AD是高，CE 是中线， DE BE AE = = ． BE CD = ． ÿ2Ā解ÿ DE BE AE DC= = = ， BCE DEC =  ， BAD ADE = ． 2EDB BCE =  ， 180 2 AEC DEC ADE  − −  = 180 78 2 BCE −  − = 102 2 BCE − = ． AD是高， 90EDB ADE + = ． 即 102 2 90 2 BCE BCE  −  + = ． 3 78BCE  = ． 26BCE = ． - 3 - 21．ÿ8分Ā0答案1ÿ1Ā能Āÿ2Ā 22.5Āÿ3Ā 4 Āÿ4Ā 90 15 7  ü ． 0解析1解ÿÿ1Ā 根据已知条件 (0 90 )BAC   =  ü ü  小棒两端能分别落在两射线P， 小棒能继续摆Q去． 故答案为ÿ能Ā ÿ2Ā 1 2 2 3A A A A= ， 1 2 2 3A A A A⊥ ， 2 1 3 45A A A = ， 2 1 45AA A  + = ， 2 1AA A  = ， 22.5 = Ā ÿ3Ā 1 2 1A A AA= ， 1 2 2 1A AA AA A  = = ， 2 1 3 1A A A    = = + ， 1 2  = ， 同理可得ÿ 2 3 = ， 3 4 = ． 故答案为ÿ 4 Ā ÿ4Ā由题意得ÿ 6 90 7 90   ü ü ý þ ，  90 15 7  ü ． 故答案为ÿ 90 15 7  ü ． 22．ÿ6分Ā0答案1ÿ1Ā见解析Āÿ2Ā18． 0解析1ÿ1Ā证明ÿ过 E作 ED BC⊥ 于D，EF AB⊥ 于 F ， EG AC⊥ 于G ， ACB 、 CBA 的角分线相交于点 E， - 4 - ED EF EG = = ， 点 E在 A 的分线P． ÿ2Ā解ÿ ACB 、 CBA 的角分线相交于点 E，点 E在 A 的分线P，ED BC⊥ 于D，EF AB⊥ 于 F ， EG AC⊥ 于G ， ED EF EG = = ， 4ED = ， ABC 的面积为 36， ( )1 1 1 1 2 2 2 2 ABC BE BEC AEC S S S S AB EF BC ED AC EG AB BC AC ED    = + + =  +  +  = + +  ( )1 4 36 2 AB BC AC= + +  = ， 18AB BC AC + + = ， 故答案为ÿ18． 23．ÿ8分Ā0答案1ÿ1Ā AF EF AB− = Āÿ2Ā EF AF AB− = ． 0解析1ÿ1Ā结论ÿ AF EF AB− = ． 证明ÿ如Āe，延长 AD、 EF交于点G ， AD分 BAC ， BAD CAD =  ， / /EF AB， G BAD =  ， G CAD = ， FG AF = ， 在 ABD 和 GED 中， BAD G ADB GDE BD DE  =ü ÿ = ý ÿ =þ ， ( )ABD GED AAS   ， - 5 - AB GE = ， GE FG EF AF EF= − = − ， AF EF AB − = Ā ÿ2Ā结论ÿ EF AF AB− = ． 证明ÿ如Āf，延长 AD交 EF于点G ， AD分 PAC ， PAD CAD =  ， / /EF AB， AGF PAD =  ， AGF CAD =  ， ABD GED =  ， FG AF = ， 在 ABD 和 GED 中， ABD GED BD DE ADB GDE  =ü ÿ =ý ÿ = þ ， ( )ABD GED ASA   ， AB GE = ， EF FG GE− = ， EF AF AB − = Ā 24．ÿ9分Ā0答案1ÿ1ĀdCF BD= ， / /CF ABĀe仍然成立；ÿ2Ā 60BCA =  . 0解析1解ÿÿ1ĀdCF BD= ， / /CF ABĀ 理由如Qÿ AB AC= ， 60BAC = ， ABC 是等边O角形， 60BAD CAD + = ， 又 ADE 是等边O角形， 60CAF CAD + = ， CAF BAD =  ， 在 ACF 和 ABD 中， - 6 - AC AB CAF BAD AF AD =ü ÿ =ý ÿ =þ ， ( )ACF ABD SAS   ， CF BD = ， 60ACF ABD =  = ， 60BAC = ， ACF BAC =  ， / /CF AB Ā eCF BD= ， / /CF AB仍然成立，理由如Qÿ ADE 和 ABC 是等边O角形， 60CAB DAF =  = ， CAB CAD DAF CAD + =  + ， 即 CAF BAD =  ， 在 ACF 和 ABD 中， AC AB CAF BAD AF AD =ü ÿ =ý ÿ =þ ， ( )ACF ABD SAS   ， CF BD = ， 60ACF ABD =  = ， 60BAC = ， ACF BAC =  ， / /CF AB Ā ÿ2Ā过点 A作 60CAE = ，交 BC于点 E， 60EAD CAD + = ， 180 60 120ECA CEA + =  −  = ， ADF 是等边O角形， AF AD = ， 60FAD =  60CAF CAD + = ， 60EAD CAD + =  CAF EAD =  ， 120FCD = ， - 7 - 120FCA ACE + = ， 120ECA CEA + =  ACF CEA =  ， 在 ACF 和 AED 中， ACF DEA CAF EAD AF AD  =ü ÿ =ý ÿ =þ ， ( )ACF AED AAS   ， AC AE = ， 60CAE = ， ACE 是等边O角形， 60BCA = ． 25．ÿ9分Ā0答案1ÿ1Ā见解析Āÿ2Ā见解析Āÿ3Ā 10AB = ． 0解析1ÿ1Ā证明ÿ BE是 ABC 中 AC边P的高， BE AC ⊥ ， 90ACD EFC + = ， EFC A =  ， 90ACD A + = ， 90ADC = ， 即ÿCD AB⊥ ． ÿ2Ā证明ÿ由ÿ1Ā知ÿCD AB⊥ ， BE AC⊥ ， 90ACD A + = ， 90ABE A + = ， ACD ABE =  ， 又 2ACB ABE =  ， 2ACB ACD =  ， 即ÿ 2ACD BCD ACD + =  ， BCD ACD =  ， 即ÿ BCD ACD ABE =  =  ， CD AB⊥ ， - 8 - 90CDB CDA =  = ， 在 BCD 和 ACD 中， 90 BCD ACD CD CD CDB CDA  =ü ÿ =ý ÿ = = þ ， ( )BCD ACD ASA   ， AC BC = ． ÿ3Ā解ÿ BE是 ABC 中 AC边P的高， BG AC ⊥ ，  1 2 ABG S BG AE =  ， 1 2 BCG S BG CE =  ， 21 2 ABG BCGABGC S S S BC = + =四边形 ，  2 1 1 1 2 2 2 BG AE BG CE BC +  = ， 2 BG AE BG CE BC  +  = ， 即ÿ 2( )BG AE CE BC + = ， 2 BG AC BC  = ， 由ÿ2Ā知ÿ AC BC= ， 2 BG BC BC  = ， BG BC = ， 过点G 作GH BA⊥ 交 BA的延长线于点H， 则 90H = ， 由ÿ1Ā知ÿCD AB⊥ ， 90CDB = ， H CDB =  ， - 9 - 由ÿ2Ā知ÿ ABE BCD =  ， 即ÿ GBH BCD =  ， 在 GBH 和 BCD 中， 90 GBH BCD H CDB BG BC  =ü ÿ = = ý ÿ =þ ， ( )GBH BCD AAS   ， GH BD = ， 由ÿ2Ā知ÿ BCD ACD   ， AD BD = ， 2AB BD = ， 1 25 2 ABG S AB GH =  = ， 50AB GH  = ， 即ÿ 2 50BD BD = ， 5BD = ， 2 10AB BD = = ． 26．ÿ10分Ā0答案1ÿ1Ā见解析Ā ÿ2Ā0探究 11 180 2 ADC ñ −  = ， 180 4ñ ò=  − ， 0 36ñ ü Ā 0探究 21 2ò ñ= 或 4 180ñ ò+ = 或 90ñ ò+ = Ā 0解析1解ÿÿ1Ā如Ā 2， AD即为 ABC 的<美丽线=Ā ÿ2Ā0探究 11当 ACD ADC =  时， A ñ = ， 180ADC ACD A + + = ， - 10 - 180 2 ADC ñ −  = ，且 ADC 为锐角，则 CDB 为钝角， 在 CDB 中， DCB B ò =  = ， ADC DCB B =  + ，  180 2 2 ñ ò − = ， 180 4ñ ò =  − ，其中ñ 的取值范围为0 36ñ ü ， 故答案为ÿ 180 2 ñ − ， 180 4ñ ò=  − ， 0 36ñ ü Ā 0探究 21分情况讨论ÿ d如Ā 4，当 ACD A ñ =  = ， CDB B ò =  = 时， BDC A ACD =  + ， 2ò ñ = ，其中ñ 的取值范围为 0 45ñ ü ü Ā e当 A ACD =  ， BCD BDC =  时， 则 1 1 (180 ) 90 2 2 BDC B ò = − = − ， BDC A ACD =  + ， 1 90 2 2 ò ñ − = ， 整理得ÿ 4 180ñ ò+ = Ā f A ACD =  ， B BCD =  时， 则 180 180 2BDC B BCD ò =  − − =  − ， BDC A ACD =  + ， 180 2 2ò ñ − = ， 整理得ÿ 90ñ ò+ = Ā 综P所述，ñ 与 ò 的关系为ÿ 2ò ñ= 或 4 180ñ ò+ = 或 90ñ ò+ = ．