精品解析：江西省上饶市广丰一中2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷

江西省上饶市广丰一中2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是（ ） A. B. C. D. 2. 将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（ ） A. 在区间上为增函数 B. C. D. 3. 在中，为上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若复数（其中i是虚数单位），则（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 17 8. 在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若函数的图象经过点，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为函数图象的对称中心 C. 直线为函数图象的对称轴 D. 函数的单调增区间为 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则________. 13. 已知向量满足，且与的夹角为，则_____________. 14. 若复数是纯虚数，则__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 16. 在等腰梯形中，，，，． （1）若与垂直，求的值； （2）若为边上的动点(不包括端点），求的最小值． 17. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量的坐标； （2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值； （3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值. 18. 已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. （1）当时，求实数的值. （2）当，且，求实数的值. 19. 如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）求四棱台的体积和球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市广丰一中2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用负角的定义及角度与弧度的互化，直接计算. 【详解】将分针拨快30分钟，则分针顺时针旋转180°，所以分针转过的弧度数是. 故选：A 2. 将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（ ） A. 在区间上为增函数 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数平移变换原则可知；根据图象、的对称轴和对称中心可确定最小正周期，从而得到；由为奇函数可知，由此可得，从而确定的解析式；利用代入检验法可确定A正确；根据特殊角三角函数值可知B正确；结合的单调性可判断出CD正误. 【详解】由题意知：， 由图象可知：，则与是相邻的对称轴和对称中心， ，即， 为奇函数，， 解得：，又，，； 对于A，当时，，则在上为增函数，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，， 在上单调递减，，，C正确； 对于D，，， 在上单调递减，， ，，即，D错误. 故选：D. 3. 在中，为上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法、减法的三角形法则及数乘向量的运算性质即可求解. 【详解】解：因为在中，为上一点，且， 所以， 故选：D. 4. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可. 【详解】，，， , 解得或，又， 则，， 故选：B. 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，由正弦定理、余弦定理可得，，可得是直角三角形，以为原点，建立直角坐标系，由又E为BC中点，在线段AB上，且，可得，的坐标，利用坐标运算可得的余弦值. 【详解】已知，由正弦定理得，又， 由余弦定理，所以， 则有，即是以为直角的直角三角形， 如图，以为原点，建立直角坐标系，设，则， 又E为BC中点，在线段AB上，且， 则，，，，， 解得． 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和差角公式以及弦切互化公式即可求解. 【详解】， 故， 故， 故选：A 7. 若复数（其中i是虚数单位），则（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模的性质、模长公式和共轭复数的模的性质可求出结果. 【详解】因为， 所以． 故选：C． 8. 在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 在中由余弦定理求得，即知为等边三角形，又由已知，若的外接圆的圆心为有为菱形，则平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】在中，，即，又， ∴为等边三角形 根据题意，有如下示意图： 如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接PH. 由题意可得，且，. ∴由上知：且，又， ∴，由，平面ABC. 设O为三棱锥外接球的球心，连接，，OC过O作，垂足为D，则外接球的半径R满足，， ，代入解得，即有， ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用三角形的性质确定三棱锥一面的外接圆圆心，由三棱锥外接球球心与面的外接圆圆心的关系以及已知线段的长度求球体半径，即可求球体的体积. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若函数的图象经过点，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为函数图象的对称中心 C. 直线为函数图象的对称轴 D. 函数的单调增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为函数的图象经过点，则， 因为，所以，，则. 对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，，故点不是函数图象的对称中心，B错； 对于C选项，，故直线为函数图象的对称轴，C对； 对于D选项，由得， 因此，函数的单调增区间为，D错. 故选：AC. 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确. 【详解】对于中，由正弦定理得， 由，得，即， 由，则，故，所以或， 即或（舍去），即，A正确； 对于B，若，结合和正弦定理知， 又，所以可得，B正确； 对于，在锐角中，，即. 故，C错误； 对于，在锐角中，由， ， 令，则， 易知函数单调递增，所以可得，D正确； 故选：ABD. 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；，由底面积和高判断体积验证选项B；转化为点和点到点的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D. 【详解】连接，如图所示， 直三棱柱中，， 为正方形，， ，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，，A选项正确； 由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确； 设，，， ， ， ，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误； 当是的中点时，，，， ， ，， ，设点到平面的距离为，由， 得，， 直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为， 则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意得到函数周期为6，通过周期化简式子得到原式等于＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)，进一步化简得到原式等于＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)，代入函数解析式求解即可. 【详解】∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015) ＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2014)＋f(2015) ＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5) ＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5) 故答案为：0. 13. 已知向量满足，且与的夹角为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题根据数量积的定义，结合向量模的运算求解即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 14. 若复数是纯虚数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，根据纯虚数的概念即可求得答案. 【详解】由题意， 由于为纯虚数，所以，，故. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，；；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间； （2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为 所以函数的最小正周期； 因为函数的单调增区间为，， 所以，， 解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）不等式有解，即； 因为，所以，又， 故当，即时， 取得最小值，且最小值为， 所以. 16. 在等腰梯形中，，，，． （1）若与垂直，求的值； （2）若为边上的动点(不包括端点），求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到各边长，并建立平面直角坐标系，得到，根据与垂直，得到方程，求出； （2）设，，则，求出最小值. 【小问1详解】 过作于 ， 等腰梯形中易知 ， 又，故可得 ， 如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 所以， 故 因为与垂直，所以， 解得； 【小问2详解】 设，，则，， 则， 则， 对，其对称轴， 故其最小值为， 所以的最小值为. 17. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量的坐标； （2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值； （3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量； （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得； （3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可. 【小问1详解】 解： ， 所以. 【小问2详解】 解：依题意， 由得， 因为， 所以， 所以. 【小问3详解】 解：由题知，， 所以 因为，， 所以，， 令， 所以，问题转化为函数的最值问题. 因为函数的对称轴为， 所以，当，即时，的最大值在处取得，为； 当，即时，的最大值在处取得，为； 当，即时，的最大值在处取得，为； 综上，在上的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法. 18. 已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. （1）当时，求实数的值. （2）当，且，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解； （2）由实系数的一元二次方程的求根公式化简求解即可. 【小问1详解】 因为是关于的方程的两个虚根， 所以当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，，由求根公式可知，两根分别为， 所以， 所以，解得. 19. 如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）求四棱台的体积和球的表面积． 【答案】（1） 设与、与BD分别交点E，F，连接EF，因为底面为菱形，所以． 在等腰梯形中，因为E，F为底边中点， 所以，又EF与BD相交，平面，所以平面． （2） （3）四棱台的体积为，球的表面积为． 【解析】 【分析】（1）只需证明和即可； （2）做出二面角的平面角再做计算. （3）将四棱台还原为四棱锥，把三棱台的内切球转化为三棱锥的内切球问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面平面，又平面平面， 过点作于，则平面，因为平面， 所以，再作于，又因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，则是二面角的平面角． 因为平面，故是侧棱与底面所成角，所以． 在，，， 在，， 在，． 因此二面角的正切值为． 【小问3详解】 将四棱台还原为四棱锥， 由题意可知三棱台为正三棱台，所以三棱锥为正三棱锥， 因此三棱台和三棱锥的内切球为同一个球，设，是和的中心， 由（2）易知在，所以三棱锥为正四面体，所以， 因此平面是四棱锥的中截面，则，， 故四棱台的体积． 球的表面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $