精品解析：青海省西宁市2024届高三下学期复习检测（二）文科数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试 西宁市高三年级复习检测（二） 文科数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 则复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：D 2. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 由，，得或， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 3. “说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙两名志愿者，利用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法不正确的为（ ） A. 甲的众数小于乙的众数 B. 乙的极差小于甲的极差 C. 甲的方差大于乙的方差 D. 乙的平均数大于甲的平均数 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合众数、极差的定义，以及方差和平均数公式，即可求解． 【详解】由图可知，甲志愿者的宣传次数分别为：4，5，6，3，4，3，3， 乙志愿者的宣传次数分别为：5，4，4，5，4，3，3， 甲的平均数为， 乙的平均数为，故D错误， 甲的众数为3，乙的众数为4，故甲的众数小于乙的众数，故A正确； 甲的极差为3，乙的极差为2，则乙的极差小于甲的极差，故B正确； 甲的方差为， 乙的方差为， 故甲的方差大于乙的方差，故C正确． 故选：D． 4. 2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥以及圆柱的体积公式即可求得答案. 【详解】由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为，高为； 圆柱的底面半径为，高为， 故该模型球舱体积为（）， 故选：D. 5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行求解的值，结合充要关系的定义判断即可. 【详解】由可得，解得或. 当时，：，：，显然，重合，舍去， 故时，. 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 6. 在中，点为边的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，由向量的线性运算，先由，再由，，代入即可得出结果. 【详解】因为点为边的中点，所以， . 故选：A. 7. 有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图所示的花海大世界，其中大圆半径为3，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的.若在其中空白部分种植红芍.倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍种植区中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解. 【详解】由已知得：大圆的面积为，小圆的面积为. 所以空白部分的面积为. 设“恰好处在红芍种植区中”为事件，则. 故选：C 8. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，再根据离心率公式即可得解. 【详解】由双曲线可得渐近线方程为， 由题意可得， 所以双曲线的离心率， 故选：D． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】对于A、B：根据图像可得，，结合周期得，代入点，分析可得；对于C：结合三角函数图象性质：在最值处取到对称轴，代入检验即可；对于D：通过平移可得，结合奇偶性分析判断． 【详解】根据图象可得： ，则，即，A正确； ∵的图象过点，则 又∵，则 ∴，即，B正确； ∴，则为最大值 ∴的图象关于直线对称，C正确； 的图象向右平移个单位长度得到不是奇函数，不关于原点对称，D错误； 故选：D． 10. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 11. 已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【详解】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 12. 已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案. 【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知实数满足约束条件，则的最小值为__________ . 【答案】13 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，即可求出的最小值． 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示： 平移目标函数，当过点时，取得最小值， 由，得， 所以的最小值为． 故答案为：13． 14. 以抛物线的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点和准线，确定圆心和半径，即得答案. 【详解】由题意得抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 故所求圆的圆心为，半径为2， 故圆的方程为：， 故答案为： 15. 在中，，，，的角平分线交于D，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求得的长，再利用建立的等式，即可求得答案. 【详解】在中,由余弦定理得， 则，即， 解得，（负值舍）， 而平分，即， 又，故， 则. 故答案为： 16. 若对任意，存在实数，使得关于x的不等式成立，则实数的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可知，构建，利用导数判断其单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为，， 可得， 构建，则， 构建， 因为在内单调递减， 可知在内单调递减，且， 当时，，即； 当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，可得， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧 根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 已知数列，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列的前项和为（）；②数列的前项之积为（）. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①或②均可证明数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求出数列的通项公式； （2）由分组求和法结合等差、等比的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 若选①， 当时，，即， 当时，由（I），则（II）， （I）（II）得：，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以； 若选②，当时，，即， 当时，，即， 当时，符合上式， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 则. 18. 2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； （2）该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 【答案】（1）0.01； （2） 【解析】 【分析】（1）先由频率和为，计算得到参数的值，再由中位数两侧小矩形面积和各为，计算得到中位数即可； （2）抽样比确定样本中数学成绩不低于130分的学生数和数学成绩不低于120分的学生数，设定事件和列举基本事件的样本空间，经统计数据后，利用古典概型概率的计算公式求值即可. 【小问1详解】 由题意， 得：， 设今年该中学高考数学成绩的中位数为， 则，解得. 故该中学今年高考数学成绩的中位数约为. 【小问2详解】 由题意可知分数在的频率为， 同理分数在的频率为， 所以分数在的抽取人数为：，记为， 分数在的抽取人数为：，记为， 从这5名学生中随机抽取2人，该试验的样本空间为： ， 所以基本事件的总数为：. 设事件“抽取的2名学生中恰有1名成绩不低于130分”， 则， 事件包含的基本事件数为：. 由古典概型概率的计算公式得：. 故这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为. 19. 如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且. （1）若为的中点，证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 取中点，连接， 为等边三角形，， 四边形为正方形，， ， 又平面， ∴⊥平面， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，证明出线面垂直，得到； （2）证明出⊥平面，求出，根据等体积法求解点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 因为平面⊥底面，平面底面，⊥， 所以⊥平面， 因为四边形为正方形，所以⊥，且， 故， 因为，，所以， 由勾股定理得， 设到平面的距离为， ， 即， 解得. 20. 已知椭圆C：过点，长轴长为. （1）求椭圆方程及离心率； （2）直线l：与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线交于点P、Q，O为坐标原点且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1），； （2） 如图， 由消去y得，， ，即， 设 、，则，． 直线 的方程为，则， 直线 的方程为，则， 由，得，则， 于是， 即 整理得，解得或， 当时，直线方程为，即， 此时直线过定点，不符合题意，舍去； 当时，直线方程为，即，直线过定点，合乎题意， 所以直线经过定点，且定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出的值，由此可得出椭圆的方程及离心率. （2）设、，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点、的坐标，根据已知得到，再把韦达定理代入化简即得证. 【小问1详解】 由椭圆的长轴为，得， 将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得得， 所以椭圆的方程为，离心率. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 21. 已知函数. （1）若存在极值，求的取值范围； （2）若，，证明：. 【答案】（1） （2） 欲证不等式在时恒成立， 只需证明在时恒成立. 设，， 则， 令，， 则. 当时，，所以， 所以即在上单调递增， 所以， 因为，所以， 故，所以在上单调递增， 所以， 即当，时，不等式恒成立. 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，分、两种情况讨论，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值点，即可得解； （2）依题意即证明在时恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 由，，得， 当时，，则单调递增，不存在极值； 当时，令，则， 当，则，即在上单调递减， 当，则，即在上单调递增. 所以是的极小值点， 所以当时，存在极值， 综上所述，存在极值时，的取值范围是. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值. 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）曲线的参数方程消参得直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线l的直角坐标方程； （2）先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解. 【小问1详解】 由（为参数）， 消参得曲线的直角坐标方程为． 由得， 则直线的直角坐标方程为． 【小问2详解】 易知点在直线上，直线的参数方程可写为（为参数）， 代入，得． 设对应的参数分别为，则 ． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数． （1）求的解集； （2）若函数的最小值为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用分区间讨论的方法，去掉绝对值符号，化简函数的表达式，进而将转化为3个不等式组求解，即得答案； （2）结合（1）中的表达式，确定M的值，利用河西不等式即可求得答案. 【小问1详解】 ， 故等价于或或， 解得， 不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，； 当时，； 当时，， 故函数的最小值为，即 利用柯西不等式可得， 即，当且仅当时等号成立， 结合，即当时，取得最小值4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年普通高等学校招生全国统一考试 西宁市高三年级复习检测（二） 文科数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. “说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙两名志愿者，利用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法不正确的为（ ） A. 甲的众数小于乙的众数 B. 乙的极差小于甲的极差 C. 甲的方差大于乙的方差 D. 乙的平均数大于甲的平均数 4. 2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，点为边的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图所示的花海大世界，其中大圆半径为3，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的.若在其中空白部分种植红芍.倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍种植区中的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ） A. 5 B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称 10. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 11. 已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知实数满足约束条件，则的最小值为__________ . 14. 以抛物线的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的方程为______. 15. 在中，，，，的角平分线交于D，则_________ 16. 若对任意，存在实数，使得关于x的不等式成立，则实数的最大值为____________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 已知数列，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列的前项和为（）；②数列的前项之积为（）. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； （2）该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 19. 如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且. （1）若为的中点，证明：； （2）求点到平面的距离. 20. 已知椭圆C：过点，长轴长为. （1）求椭圆方程及离心率； （2）直线l：与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线交于点P、Q，O为坐标原点且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标. 21. 已知函数. （1）若存在极值，求的取值范围； （2）若，，证明：. 二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数． （1）求的解集； （2）若函数的最小值为，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $