第1章 第5讲 微专题——追及、相遇问题(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考物理一轮总复习（福建专版）

第5讲　微专题——追及、相遇问题(综合融通课) 思维建模 1．两个分析技巧 临界条件 一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点 等量关系 两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口 2．两类追及情境 (1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 (2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距s0，当vB＝vA时，若sB>sA＋s0，则能追上；若sB＝sA＋s0，则恰好追上；若sB<sA＋s0，则不能追上。 注意：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 3．三种分析方法 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图，对临界状态分析求解 函数法 设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δs与时间t的二次函数关系，Δs＝0时，表示两者相遇。 ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值 图像法 在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系 典题例析 [典例]　(2024·宁德高三调研)在同一水平直轨道上有A和B两列无人驾驶货运车厢相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足的条件。 [解析]　两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为sB、末速度为vB，运动过程如图所示。现用三种方法解答如下： 解法一　分析法 根据位移公式和速度公式 对A车有sA＝v0t＋(－2a)t2，vA＝v0＋(－2a)t 对B车有sB＝at2，vB＝at 两车位移关系有s＝sA－sB 追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB 联立以上各式解得v0＝ 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 。 解法二　函数法 利用判别式求解，由解法一可知sA＝s＋sB 即v0t＋(－2a)t2＝s＋at2 整理得3at2－2v0t＋2s＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s＝0时，两车刚好不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。 解法三　图像法 利用v-t图像求解，先作出A、B两车的v-t图像，如图所示 设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at 对B车有vB＝v′＝at 以上两式联立解得t＝ 经t时间两车发生的位移之差等于原来两车间距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知s＝v0·t＝v0·＝ 所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 。 [答案]　v0≤ 应用体验 1．汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距s0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少； (2)经过多长时间A恰好追上B。 解析：(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s 此时汽车A的位移sA＝vAt＝12 m 汽车B的位移sB＝vBt－at2＝21 m 故最远距离Δsmax＝sB＋s0－sA＝16 m。 (2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s，运动的位移sB′＝＝25 m 汽车A在t1时间内运动的位移 sA′＝vAt1＝20 m 此时相距Δs＝sB′＋s0－sA′＝12 m 汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s 故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s。 答案：(1)16 m　(2)8 s |升|维|训|练|　 (1)在上述第1题中，若某同学应用关系式vBt－at2＋s0＝vAt，解得经过t＝7 s(另解舍去)时A恰好追上B。这个结果合理吗？为什么？ (2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方在同一车道相距s0＝7 m处、以vB＝10 m/s的初速度同方向运动的汽车B正向左开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则B车能否追上A车？　 提示：(1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝＝5 s＜7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动。 (2)可由位移关系式：vBt－at2＝s0＋vAt，解得t1＝(3－)s，t2＝(3＋)s(舍去)，t1时两车已相撞。 2．大雾天气，有甲、乙两车在同一平直车道上匀速行驶，甲车在后速度为v1＝14 m/s，乙车在前速度为v2＝10 m/s，某时刻甲车车头与乙车车尾间的距离为L0＝30.5 m，此时乙车突然以大小为a0＝1 m/s2的加速度刹车，经过时间t0甲车车头与乙车车尾间的距离减为L＝14 m，为了两车避免相撞，此时甲车也立即刹车做匀减速直线运动，求： (1)t0的值。 (2)刹车后，甲车做匀减速直线运动的加速度至少多大？ 解析：(1)在t0时间内，甲、乙两车运动位移分别为s1＝v1t0，s2＝v2t0－a0t02， 又s1－s2＝L0－L，解得t0＝3 s(另一解为负值，舍去)。 (2)甲车开始刹车时，乙车速度为 v3＝v2－a0t0＝7 m/s 若甲车刹车后经时间t两车速度相等(均为v)，两车恰好避免相撞，则v＝v1－at，v＝v3－a0t 时间t内甲、乙两车运动位移分别为 s3＝v1t－at2，s4＝v3t－a0t2， 又s3－s4＝L，联立以上各式解得a＝2.75 m/s2 即甲车刹车加速度至少为2.75 m/s2。 答案：(1)3 s　(2)2.75 m/s2 [课时跟踪检测] 1.(2024·福建闽侯模拟)甲、乙两辆汽车沿同一平直公路行驶，两汽车的速度随时间变化如图所示，t＝9 s时两车第二次相遇，则两车第一次相遇的时刻为(　 ) A．2.25 s B．3 s C．4.5 s D．6 s 解析：选B　由数学知识可知，两图线的交点的横坐标为t＝6 s，因为v-t图线与时间轴围成的面积表示位移，故两汽车在t＝3 s到t＝9 s时间内的位移相同，t＝9 s时两车第二次相遇，则两车第一次相遇的时刻为t＝3 s。 2．两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为v0。若前车突然以恒定的加速度a刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的路程为s，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为(　 ) A.s B.s C．2s D.s 解析：选B　画出从前车开始刹车时两车运动的v-t图像，如图所示，因后车以加速度2a开始刹车，刹车后行驶的距离为s；在前车刹车过程的时间内，后车匀速运动的距离为2s，所以，两车在匀速行驶时保持的距离至少应为2s＋s－s＝s。 3．(双选)某学校田径运动会上正进行接力比赛。如图所示，静止在O处等待接棒的运动员甲，观察到运动员乙以大小为v的速度运动到P处时，甲从静止开始以大小为a的加速度做匀加速直线运动，当甲速度达到v时，运动员乙恰好追上甲。在此过程中运动员乙做匀速直线运动，则(　 ) A．运动员甲的运动时间为 B．运动员甲的运动时间为 C．OP距离为 D．OP距离为 解析：选AD　设甲从出发到乙追上甲所用时间为t，甲做匀加速直线运动，则有v＝at，v2－0＝2ax甲，解得t＝，x甲＝，故A正确，B错误；设P、O两点之间的距离为x，则有vt＝x＋x甲，带入数据解得x＝，故C错误，D正确。 4．(2024·宁德高三检测)如图所示，甲、乙两辆玩具小汽车(可以视为质点)并排沿平直路面的相邻轨道向前行驶，两车都装有蓝牙设备，这两个蓝牙设备可以在6 m以内实现通信。t＝0时刻，甲、乙两车刚好位于图示位置，此时甲车的速度为6 m/s，乙车的速度为2 m/s，从该时刻起甲车以1 m/s2的加速度做匀减速运动直至停下，乙车保持原有速度做匀速直线运动。忽略轨道间距和信号传递时间，则从t＝0时刻起，两车能利用蓝牙通信的时间为(　 ) A．2 s B．6 s C．8 s D．10 s 解析：选C　根据几何知识可知，当甲车在乙车前方时，有x甲－x乙＝6 m，根据运动学公式有x甲＝v甲t＋at2，x乙＝v乙t，解得：t1＝2 s，t2＝6 s。由公式v＝v0＋at，解得t＝6 s时甲车停止行驶，此时甲车在乙车前方6 m处，乙车继续行驶至甲车前方6 m的过程中，所用时间为t′＝(6 m＋6 m)÷2 m/s＝6 s，所以两车能利用蓝牙通信的总时间为t总＝2 s＋6 s＝8 s，故选C。 5．(2024·龙岩高三调研)在同一平直路面上，从同一地点沿相同方向做匀变速直线运动的两辆汽车A、B，A车的运动图像如图线a所示，B车的运动图像如图线b所示，则(　 ) A．0～2 s内A车的速度大，2 s后B车速度大 B．t＝2 s时，两车相遇 C．t＝4 s时，两车相遇 D．A车的初速度是2 m/s，加速度是1 m/s2 解析：选B　根据公式v＝，可知表示平均速度，即t＝2 s时，两车平均速度相同，因从同一地点同时出发，所以两车相遇，故B正确，C错误；根据位移与时间关系式x＝v0t＋at2，变形得＝v0＋at，结合图像可知A车的初速度为2 m/s，斜率为k＝＝a，解得加速度为a＝2 m/s2，B车初速度为零，同理可得加速度为a′＝4 m/s2，由此可知t＝1 s时，A车与B车速度大小相等，1 s后，B车速度大，故A、D错误。 6．(2024·漳州高三模拟)甲、乙两车沿平直公路同向行驶，t＝0时两车并排，甲车前5 s匀速行驶，之后匀减速行驶，乙车匀减速行驶直至停止，v-t图像如图所示，下列说法正确的是(　 ) A．两车位移之比x甲∶x乙＝4∶5 B．两车减速过程中的加速度之比a甲∶a乙＝2∶1 C．t＝20 s时两车间的距离最大，最大距离为50 m D．t＝5 s时两车间的距离最大，最大距离为12.5 m　 解析：选C　v-t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，而图线的斜率表示加速度，由图像可知两车的位移之比x甲∶x乙＝3∶4，两车减速过程中的加速度之比a甲∶a乙＝3∶2，故A、B错误；t＝5 s时，甲、乙两车速度相等，其余时间甲车速度小于乙车速度，故在t＝20 s时两车间的距离最大，且最大距离为50 m，故C正确，D错误。 7．(2024·济南高三调研)据统计，城市交通事故大多数因违章引起，如图，甲、乙两车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线向前匀速行驶，当甲、乙两车的车头到十字路口(道路中心线)的距离分别为30 m、40 m时，路口恰处于红、绿灯转换，甲、乙两车均未采取任何减速或制动等措施，以致两车相碰。已知两车型号相同，车的车长为3.2 m，车宽为1．76 m，并已知甲车的车速为40 km/h，设两车相碰前均匀速行驶，则在穿过路口过程中，乙车车速的范围为(　 ) A．45.9 km/h≤v≤60.5 km/h B．40 km/h≤v≤60 km/h C．24.3 km/h≤v≤33.3 km/h D．v≤63.3 km/h 解析：选A　设车长为L，车宽为d；乙车速度最大时，乙车的车尾与甲车的车头相碰，如图1，则＝，解得v乙max≈60.5 km/h。当乙车速度最小时，乙车的车头与甲车的车尾相碰，如图2，则＝，解得v乙min≈45.9 km/h，即乙的速度范围为45.9 km/h≤v≤60.5 km/h。故选A。 8．(双选)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙两车相距x0＝100 m，在t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是(　 ) A．0～3 s内两车间距逐渐增大 B．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m C．6～9 s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大 D．两车在0～9 s内会相撞 解析：选BC　由题意可知0～3 s内，甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动，初速度相等，则两车间距逐渐减小，故A错误；根据题意作出两车的v-t图像，如图所示。由图可知t＝6 s时两车速度相等，阴影部分面积代表0～6 s内两车的位移差Δx＝×30×3 m＋×30×(6－3)m＝90 m，所以最近距离为100 m－90 m＝10 m，故B正确；由图可看出6～9 s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，由于6 s时甲在前距离乙车10 m的位置，所以在0～9 s内两车不会相撞，故C正确，D错误。 9．(双选)小明到汽车站时，汽车正以8 m/s的速度沿平直道路匀速驶离车站，司机听到呼喊声，反应0.5 s后立即以2 m/s2的加速度匀减速刹车。设司机听到呼喊声时，小明距离汽车8 m，正以4 m/s的速度匀速追赶汽车。则从司机听到呼喊声到小明追上汽车，下列说法正确的是(　 ) A．经过2 s小明和汽车间距离最大 B．经过6 s小明追上汽车 C．小明和汽车间的最大距离为14 m D．汽车的位移为20 m 解析：选CD　当汽车与小明速度相等时，小明和汽车间距离最大，则v1－at1＝v2，解得t1＝2 s，从司机听到呼喊声到小明和汽车间距离最大的时间t＝t0＋t1＝0.5 s＋2 s＝2.5 s，故A错误；2.5 s内汽车通过的位移x1＝v1t0＋v1t1－at12＝8×0.5 m＋8×2 m－×2×4 m＝16 m,2.5 s内小明通过的位移x2＝v2t＝4×2.5 m＝10 m，小明和汽车间的最大距离为Δx＝x1＋x0－x2＝16 m＋8 m－10 m＝14 m，故C正确；从汽车开始刹车到停止运动的时间t3＝＝ s＝4 s，汽车刹车通过的位移x3＝t3＝×4 m＝16 m，从司机听到呼喊声到汽车停止运动通过的位移x＝v1t0＋x3＝8×0.5 m＋16 m＝20 m，汽车停止运动时，小明通过的位移x4＝v2(t0＋t3)＝4×(0.5＋4)m＝18 m，由x0＋x>x4，则汽车停止运动时小明没追上汽车，从汽车停止运动到小明追上汽车的时间t4＝＝ s＝2.5 s，则从司机听到呼喊声到小明追上汽车的时间t′＝t0＋t3＋t4＝0.5 s＋4 s＋2.5 s＝7 s，故B错误，D正确。 10．(2024·宁德高三调研)(双选)随着科技的不断进步，无人驾驶汽车会逐渐成为未来交通的新趋势。甲、乙两辆无人驾驶试验汽车在同一条平直公路沿两条平行直线朝同一方向运动，甲车在后，乙车在前，t＝0时刻两车相距x0＝34 m，甲车以v1＝20 m/s 的初速度、a1＝－2 m/s2的加速度做匀减速直线运动刹车，乙车从静止出发，以a2＝1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，下列说法正确的是(　 ) A．两车相遇时甲车一直在运动 B．两车第一次相遇的时间是2 s C．两车第二次相遇时甲车位移为110 m D．两车第二次相遇的时间是2 s 解析：选BD　设经过t时间两车相遇，根据位移与时间关系式x1＝v1t－a1t2，x2＝a2t2，位移间的关系为x1＝x0＋x2，联立解得t1＝2 s，t2＝ s，甲车从运动到停止时所用的时间为t0＝＝ s＝10 s，因为t2＝ s>10 s(舍去)，甲车从第一次相遇到停止时所用时间Δt＝10 s－2 s＝8 s，甲车从运动到停止所经过的位移为x1′＝＝ m＝100 m，乙车在10 s内运动的位移为x2′＝a2t02＝×1×102 m＝50 m，此时甲、乙两车相距Δx″＝100 m－34 m－50 m＝16 m，此时乙车的速度为v2′＝a2t0＝1×10 m/s＝10 m/s，设乙车再向前运动16 m所用的时间为t3，则有Δx″＝v2′t3＋at32，解得t3＝(2－10)s，第二次相遇的时间t4＝t3＋t0＝2 s，由上分析可知第二次相遇时甲车位移为100 m，故A、C错误，B、D正确。　 11.如图所示为某城市十字路口道路示意图，道路为双向四车道，每个车道宽度为2.4 m。一自行车从道路左侧车道线沿停车线向右匀速行驶，速率为14.4 km/h，同时一辆汽车在最右侧车道正中间行驶，速率为54 km/h，汽车前端距离停车线20 m。已知汽车的宽度与自行车的长度均为1.8 m，汽车的车身长4.8 m。汽车司机为避免与自行车相撞马上采取刹车制动，最大制动加速度大小为5 m/s2。 (1)求汽车的最短刹车距离xm； (2)请通过计算判断当汽车以最大加速度刹车时，是否能够避免相撞。 解析：(1)已知v1＝14.4 km/h＝4 m/s，v2＝54 km/h＝15 m/s。设汽车以最大加速度刹车，则－2axm＝0－v22，代入数据解得xm＝22.5 m。 (2)以最大加速度刹车，设汽车车头到达停车线所用时间为t，则x＝v2t－at2， 解得t＝2 s或者t＝4 s， 又因为汽车停下的时间为t′＝＝ s＝3 s，故t＝4 s不符合题意，舍去； 此时以最左侧车道线为起点，车头左侧距起点x1＝2.4×3 m＋ m＝7.5 m，车头右侧距起点x2＝2.4×4 m－m＝9.3 m，车头所占位置到最左侧车道线范围为7.5 m～9.3 m， 自行车在t＝2 s的时间内行驶的位移为x自，则有x自＝v1t＝4×2 m＝8 m，自行车此时所占位置到最左侧车道线范围为6.2 m～8 m。 由此可知，它们的位置范围有重叠，不能避免相撞。 答案：(1)22.5 m　(2)见解析 12．强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以36 km/h和57.6 km/h的速度在限速90 km/h的路面上匀速行驶，其中甲车车身长L1＝5 m、货车车身长L2＝8 m，某时刻货车在甲车前s＝3 m处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为2 m/s2，假定货车速度保持不变，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度，求： (1)甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间(结果保留2位小数)； (2)一般情况下，汽车时速超过限速不到10%的，仅给予警告，不予扣分和罚款。若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者车头相距208 m，乙车速度为43.2 km/h，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车在不被扣分和罚款的前提下，能否安全超车？若甲车不能安全超车，则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车？ 解析：(1)甲车初速度为 v1＝36 km/h＝10 m/s 货车速度为v2＝57.6 km/h＝16 m/s 公路限速为vm＝90 km/h＝25 m/s 甲车速度从v1加速至vm所用时间为 t1＝＝7.5 s 该段时间内甲车和货车的位移分别为 x1＝t1＝131.25 m x2＝v2t1＝120 m 因为x1<x2＋s＋L1＋L2 所以甲车加速至vm后还需要匀速行驶一段时间才能完成超车， 该时间为t2＝≈0.53 s 则甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间为tmin＝ t1＋t2＝8.03 s。 (2)假设甲车在超车过程中一直加速，设超车时间为t3， 根据位移关系有v1t3＋a1t32－v2t3＝L1＋L2＋s，解得t3＝8 s 超车完毕时甲车速度为 v1′＝v1＋a1t3＝26 m/s<1.1vm 乙车初速度为v3＝43.2 km/h＝12 m/s t3时间内甲、乙两车行驶的路程之和为 l＝v1t3＋a1t32＋v3t3＝240 m>208 m 所以甲车在不被扣分和罚款的前提下不能安全超车，若要甲车能够安全超车，乙车在t3时间内行驶的路程最大值为 smax＝208 m－＝64 m 此时对应乙车刹车的加速度最小，则 smax＝v3t3－amint32 解得amin＝1 m/s2。 答案：(1)8.03 s　(2)不能　1 m/s2 学科网（北京）股份有限公司 $$