第二章 一元二次方程 总复习 2024-2025学年北师大版数学 九年级上册

北师大版2024-2025学年度九年级上册数学 第二章《 一元二次方程》总复习（含答案） 班别_________姓名__________学号________成绩___________ 1、 选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．若x=1是方程的根，则m的值为（  ） A．m=1 B．m=－1 C．m=－3 D．m=3 2.一元二次方程可以转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+2=6，则另一个一元一次方程是（  ） A．x+2=－6 B．x+2=6 C．x－2=6 D．x－2=6 3．用配方法解方程，配方后的方程是（  ） A．=8 B．=8 C．=15 D．=15 4．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 5．若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则a的值是（   ） A．－16 B．4 C．16 D．－4 6．方程的解是（  ） A．x=1 B．x=0 C． D．没有实数根 7．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（  ） A．1 B．2 C． D． 8．关于x的方程的一个解为，则该方程的另一个解是（  ） A．=－2 B．=3 C．=－3 D．=1 9.某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件100元降到每件81元，则平均每次降价的百分率为（  ） A． B． C． D． 10.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（　　） A．12元 B．10元 C．11元 D．9元 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　． 12已知方程的一个根是，则值是________． 13.某矩形的长为a，宽为b，且（a+b）（a+b+4）＝32，则a+b的值为 　 　． 14.三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为 　 　． 15.某小区原有一块长为50米，宽为40米的矩形健身场地，现计划在场内沿四周铺一圈宽度相等的小路，使场地剩余的面积为1739平方米，设这条小路的宽度为x米，则可列方程：　 　． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．解方程 (1)（2） 17. 已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 18.已知关于x的一元二次方程 (1)若1是该方程的一个根，求m的值． (2)若一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2。 求(1)三条道路的面积；（2）图中x的值． 20.已知关于x的一元二次方程x2+（2a－1）x+a2+a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1+x2+x1x2＝5，求a的值． 21.五一期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，确定降价促销.据调查发现，若每件商品盈利50元时，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件.设每件商品降价x元. （1）每件商品降价x元后，可售出商品　 　件（用含x的代数式表示）； （2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值. 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22.阅读下列材料：配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的，例如解方程，则，∴x=2:由x2﹣2x+y2+4y+5＝0求、．则有，∴．解得,：,则有，∴．解得或，根据以上材料解答下列各题： 若．求的值． ．求x+y-2025的值． 若．求的值． 若，，表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 23.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始， 沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始， 沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ． 点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动， 设运动时间为t秒（t≥0）． (1)当t=3时，求PD的长？ (2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？ (3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 参考答案 1、 D 2、 A 3、 C 4、 C 5、 B 6、 C 7、 D 8、 B 9、 A 10、 B 11、 －2 12、 －2 13、 4 14、 11 15、 （50-2x)(40-2x)=1739 16．解：(1)原方程化为：（x+1）（x﹣5）=0， ∴x+1=0或x﹣5=0， ∴x1=﹣1，x2=5； (2)原方程化为：（y+2）（y﹣7）=0， ∴y+2=0或y﹣7=0， ∴y1=﹣2，y2=7 17.解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，αβ=-m ∵α+2β=5， ∴α+β+β=5， 即， 解得，α=－1 ∴m=-αβ=3 18.解：（1)将代入得， ，解得， ∴m的值为3； （2）由题意知， 解得， 又∵ ∴m的取值范围为且． 19.解：（1）∵18×15－224=46m2 ∴三条道路的面积是46m2 （2） 依题意，得（18－2x)(15－2x)=224 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23(不符合题意，舍云） ∴图中x的值为1m. 20解：（1）∵方程x2+（2a－1）x+a2+a－2＝0有两个不相等的实数根 ∴Δ＝（2a－1）2﹣4×1×（a2+a－2）＞0， 解得：a＜； （2）∵x1和x2是方程x2+（2a－1）x+a2+a－2＝0的两根， ∴x1+x2＝1－2a，x1x2＝a2+a－2， ∵x1+x2+x1x2＝5， ∴1－2a+a2+a－2＝5， ∴a2﹣a﹣6＝0， 解得：a1＝3，a2＝－2， ∵由（1）得，a＜， ∴a＝－2． 21．解：（1）(500+20x) （2）解：由（1）可知可售出商品，依题意得， ， 解得， 根据尽快清仓，则 22解：(1)∵ ∴ ∴a1＝a2＝﹣2 (20∵x2﹣4x+y2+6y+13＝0， ∴(x2﹣4x+4)+(y2+6y+9)＝0， ∴ ∴x－2=0,y＋3=0 ∴x＝2，y＝﹣3， ∴x+y-2025=2-3-2025=-2026 (3)∵a2﹣2a﹣8＝0 ∴a2﹣2a+1-1﹣8＝0 ∴ ∴a1＝4，a2＝﹣3， （4）是等边三角形.理由是： ∵ ∴2a2+2b2+2c2﹣2ac﹣2ab﹣2bc=0 ∴a2﹣2ac+c2+a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0 ∴ ∴a－c=0,a－b=0,b－c=0 ∴a=c,a=b,b=c ∴a=b=c ∴是等边三角形. 23.解：（1）当t=3时，AD=5，AP=3， ， ； （2）∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， ， ∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t， 又∵PD⊥AC， ， ∵∠C=90°，BC=8，AC=6， 得S△ABC=， ∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC， ∴ ， 解得 ， （不合题意，应舍去）， ∴当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半； （3）存在 ， 由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD， 若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形， 即： t＝8﹣2t 解得t＝2.4． 答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$