精品解析：广东省深圳技术大学附属中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷

深圳技术大学附属中学高一下第二次月考数学试题 命题：张涛涛 审题：林凯标 时间：120分钟 分值：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. {2} B. {2,3,4} C. {1,2,3,4} D. {0,2,3,4} 2. 设向量，，若，则实数的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知复数z的共轭复数是，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ） ①的值为0.005； ②估计成绩低于60分的有25人； ③估计这组数据的众数为75； ④估计这组数据的第85百分位数为86． A. ②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是 A. 若，则∥ B. 若∥，∥，则∥ C. 若∥，则∥ D. 若是异面直线，∥，∥，则∥ 6. 在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 解放碑是重庆的标志建筑物之一，因其特存的历义内涵，仍牵动着人们敬仰的目光，在海内外具有非凡的影响.我校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点的仰角为，且，则解放碑的高约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，与交于，，则为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按比例给分，有选错的得0分. 9. 如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ） A. 是钝角三角形 B. 的面积是的面积的2倍 C. 是等腰直角三角形 D. 的周长是 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则只有一解 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 11. 如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则（ ） A. 直线，为异面直线 B. 二面角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式组的解集为______. 13. 若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是______． 14. 如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是__． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求在方向上的投影向量. 16. 某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表及直方图： 周跑量（周） 人数 周跑量（周） 人数 ， 100 ， 150 ， 120 ， 60 ， 130 ， 30 ， 180 ， 10 ， 220 （1）请补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； （2）将周跑量在，，，，，区间内的跑步爱好者依次记为，，三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取40人，求这三个组分别抽取的跑步爱好者人数； （3）根据以上图表数据，估计样本的下四分位数、众数及平均数（结果保留一位小数）． 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 18. 如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形.，F为CD的中点. （1）证明：平面BCE； （2）证明：平面平面CDE； （3）求直线AD和平面BCE所成的角的正弦值. 19. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值； （2）判断并用定义法证明函数的单调性； （3）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳技术大学附属中学高一下第二次月考数学试题 命题：张涛涛 审题：林凯标 时间：120分钟 分值：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. {2} B. {2,3,4} C. {1,2,3,4} D. {0,2,3,4} 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的并运算即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：C 2. 设向量，，若，则实数的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示求的坐标，再由向量垂直的坐标表示求参数. 【详解】由题设，，又， ∴，解得. 故选：B 3. 已知复数z的共轭复数是，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数z的代数形式，利用给定等式建立方程，解方程求出复数z即可计算作答. 【详解】设复数，，则，因，即， 即，则，解得，因此，， 所以. 故选：B 4. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ） ①的值为0.005； ②估计成绩低于60分的有25人； ③估计这组数据的众数为75； ④估计这组数据的第85百分位数为86． A. ②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果. 【详解】对于①，由，得.故①正确； 对于②，估计成绩低于60分的有人.故②错误； 对于③，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故③正确； 对于④，设这组数据的第85百分位数为m，则，解得：，故④正确. 故选：B 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是 A. 若，则∥ B. 若∥，∥，则∥ C. 若∥，则∥ D. 若是异面直线，∥，∥，则∥ 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，利用垂直于同一直线的两个平面互相平行，可知A正确； 对于B，利用平行于同一平面的两个平面互相平行，可知B正确； 对于C，α、β相交时，若m，n与交线平行，则m∥n，故C不正确； 对于D，若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α， 可得α内的两条相交直线平行于β，则α∥β，故D正确. 故选：C． 6. 在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别是正三棱柱上、下底面中心，则的中点是该三棱柱外接球的球心，求出球半径后可得体积． 【详解】如图，分别是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，则的中点是该三棱柱外接球的球心， 外接球半径．其中点为外接圆圆心，为外接圆半径， 为正三角形，（是边中点）． 所以外接球半径．从而外接球体积为． 故选：D． 7. 解放碑是重庆的标志建筑物之一，因其特存的历义内涵，仍牵动着人们敬仰的目光，在海内外具有非凡的影响.我校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点的仰角为，且，则解放碑的高约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案 【详解】由题知，设， 则， 又，所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：B. 8. 如图，在中，，，与交于，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，利用三点共线和三点共线分别表示，根据平面向量基本定理求解即可 【详解】∵，， ∴， 同理，向量还可以表示为 ， 所以 解得，所以， 所以，，所以为， 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按比例给分，有选错的得0分. 9. 如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ） A. 是钝角三角形 B. 的面积是的面积的2倍 C. 是等腰直角三角形 D. 的周长是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断. 【详解】根据斜二测画法可知， 在原图形中，O为的中点，， 因为， 所以，,， 则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示： 所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确. 在中，， 过作轴垂线，垂足为，， 所以， 所以的面积是，的面积是， 的面积是的面积的倍，故B错误. 故选：CD 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则只有一解 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A、C：根据题意结合正弦定理运算分析即可；对于B：根据三角形解得个数的结论分析判断；对于D：根据题意结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：由，由正弦定理可得， 则， 因为，则， 可得，即，所以为等腰三角形，故A正确； 对于选项B：若，，，则， 所以有两解，故B错误； 对于选项C：若， 有正弦定理可得， 则，即， 因为，则， 可得，所以，故C正确； 对于选项D：若为锐角三角形，则，可得， 且，，则在上单调递增， 所以， 又因为，则，可得， 所以，故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则（ ） A. 直线，为异面直线 B. 二面角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 【答案】BC 【解析】 【分析】证明，说明四点共面，判断A；作出二面角的平面角，计算其余弦值，可判断B；找到直线与平面所成角，解直角三角形可得其正切值，判断C；作出过点B，E，F的平面截正方体的截面，求其面积判断D. 【详解】对于A，连接，则为矩形，则， 而点E，G分别是棱AD，CD的中点，故， 则四点共面，故直线，不是异面直线，A错误； 对于B，连接交于点O，连接， 平面平面，故， 又平面，故平面, 即为二面角的平面角， 又， 故，B正确； 对于C，由于平面，故即为直线与平面所成角， 而,故，C正确； 对于D，连接，则, 则梯形即为过点B，E，F的平面截正方体的截面， 而， 故等腰梯形的高为， 故等腰梯形的面积为， 即过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为，D错误， 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式组的解集为______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求得不等式和的解集，即可求解. 【详解】由题意，不等式，即，解得或； 又由，即，解得， 所以不等式的解集为或. 即原不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13. 若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是______． 【答案】80 【解析】 【分析】确定数据的方差，根据方差的计算公式化简，即可得答案. 【详解】由题意可设这10个数据为，其方差为， 则 ， 故， 故答案为：. 14. 如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】先由余弦定理求出，从而得到，确定BC的中点E为三棱锥的外接球球心在平面的投影，再证明出为AD的中点，N为的中点，即EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，从而确定当点与点N重合时，三棱锥的外接球半径最小，点P与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围. 【详解】因为，由余弦定理得： ， 因为，由勾股定理逆定理得：， 直四棱柱中，底面为平行四边形， 故⊥CD， 点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故BC为直径， 取BC的中点E，则E为三棱锥的外接球球心在平面的投影， 设与AD相交于点M，与相交于点N，连接EM，ED， 则EM=ED 因为，故，， 故三角形DEM为等边三角形，， 即为AD的中点，同理可得：N为的中点， 连接EN，则EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上， 显然，当点与点N重合时，三棱锥的外接球半径最小， 假如点P与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大， 如图1，点P与点N重合，连接OC，设，则OE=2-R，， 由勾股定理得：，即，解得：， 此时外接球表面积为； 如图2，当点P与或重合时，连接， 其中， 设，则， 由勾股定理得：，， 故，解得：， 此时外接球半径为，故外接球表面积为， 但因为点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故最大值取不到， 综上：的取值范围是. 故答案为： 【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求在方向上的投影向量. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据模长及夹角得出向量的数量积； （2）根据向量的数量积求模长； （3）先根据垂直得出数量积，再根据数量积计算投影向量即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，得， 所以.故. 【小问3详解】 由题意得，即，得， 所以.因为，所以， 在方向上的投影向量： 16. 某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表及直方图： 周跑量（周） 人数 周跑量（周） 人数 ， 100 ， 150 ， 120 ， 60 ， 130 ， 30 ， 180 ， 10 ， 220 （1）请补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； （2）将周跑量在，，，，，区间内的跑步爱好者依次记为，，三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取40人，求这三个组分别抽取的跑步爱好者人数； （3）根据以上图表数据，估计样本的下四分位数、众数及平均数（结果保留一位小数）． 【答案】（1） （2） 14；22；4 （3） 四分位数约为21.2，众数为32.5，平均数为28.5 【解析】 【分析】（1）先分别求出，的频率和，的频率，由此能补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图． （2）利用用分层随机抽样的方法组合频率分布直方图能求出这三个组分别抽取的跑步爱好者人数． （3），的频率为0.22，，的频率为0.13，，由此能求出样本的下四分位数，由频率分布直方图能求出众数和平均数． 【小问1详解】 ，的频率为，，的频率为， 全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下： 【小问2详解】 将周跑量在，，，，，区间内的跑步爱好者依次记为，，三个组， 用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取40人， ，，，，，区间内的频率分别为：0.35，0.55，0.1， ，内抽取的跑步爱好者人数为人， ，内抽取的跑步爱好者人数为人， ，内抽取的跑步爱好者人数为人． 【小问3详解】 由频率分布表得，的频率为， ，的频率为， ， 样本的下四分位数约为21.2， 由频率分布直方图得众数为， 由频率分布布估计平均数为： ． 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别利用余弦定理或者正弦定理对原式进行边角互化，结合三角形面积公式，求得，即可求得； （2）利用正弦定理，将转化为关于的三角函数，结合的范围，求得该三角函数值域，即可求得结果. 【小问1详解】 方法一：因为； 又因为，所以，即； 又因为为锐角三角形，所以. 方法二：，所以， 即，， 则，得；因为为锐角三角形，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 因为为锐角三角形，所以， 即所以，所以，即. 18. 如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形.，F为CD的中点. （1）证明：平面BCE； （2）证明：平面平面CDE； （3）求直线AD和平面BCE所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：取CE中点M，连结MF，BM， MF是的中位线，∴，， ∵平面ACD，平面ACD， ∴，又，∴，， ∴四边形ABMF是平行四边形， ∴，∵平面BCE，平面BCE， ∴平面BCE； （2）证明：∵平面ACD，平面ACD， ∴，∴四边形ABMF是矩形，∴. ∵是正三角形，F是CD中点，∴. ∵，∴， ∵，平面CDE，平面CDE， ∴平面CDE，∵平面BCE， ∴平面平面CDE； （3） 【解析】 【分析】（1）取CE中点M，连结MF，BM，先利用线面垂直的性质定理证得，从而证得四边形ABMF是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可证得结论.（2）先利用线面垂直的性质定理证得，然后利用面面垂直的判定定理即可证得结论.（3）取线段DE的中点P，连接BP，先证得直线AD和平面BCE所成的角就是直线BP和平面BCE所成的角，然后解三角形即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 取线段DE的中点P，连接BP， ∵且， ∴四边形ABPD是平行四边形， ∴， 则直线AD和平面BCE所成的角就是直线BP和平面BCE所成的角， 过点P作，垂足为N，连结BN， 由（2）知平面平面CDE，又平面平面， ∴平面BCE，∴为直线BP和平面BCE所成角的平面角. 设，则， ∵平面ACD， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形ABPD为平行四边形， ∴， ∴， 故直线AD和平面BCE所成的角正弦值为. 19. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值； （2）判断并用定义法证明函数的单调性； （3）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）； （2）任取，且 ， 故函数在上为减函数 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义得出，化简即可得出的值； （2）利用定义证明单调性即可； （3）先利用函数的奇偶性以及单调性得出，构造函数，求出其最小值，即可得出的范围. 【小问1详解】 因为函数是奇函数 所以，即对任意一个实数都成立 则 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，函数在上为减函数，并且是奇函数 因为对任意恒成立，所以对任意恒成立 即，令，则 令， 任取，且 当时， 当时， 则函数在上单调递减，在上单调递增 即 【点睛】本题第三问中，关键是利用函数的单调性以及奇偶性解抽象不等式，再将不等式的恒成立问题转化为最值问题来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $