第8章 第11节 证明、存在性问题(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第十一节　证明、存在性问题 题点一　证明问题 例1　(2024·肇庆模拟)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知定点P，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN. 解：(1)如图，设圆E的圆心E(x，y)，半径为r，则|EM|＝r＋，|EN|＝r－，所以|EM|－|EN|＝2<|MN|. 由双曲线定义可知，E的轨迹是M，N为焦点，实轴长为2的双曲线右支， 所以曲线C的方程为－y2＝1，x≥. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋2， 由于直线l与曲线C交于两点，故－<m<， 又所以(m2－3)y2＋4my＋1＝0，故 又x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，y1≠0，y2≠0， 所以＋＝＋＝2m＋·＝2m＋·＝0， 即kAP＋ kBP＝0，所以∠APN＝∠BPN，得证. [思维建模] 解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. [针对训练] 1.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”. (1)求椭圆C2的方程； (2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：A1H⊥PA2. 解：(1)由椭圆C1：＋＝1的离心率为e＝＝＝，设椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，且b＝， 因为两个椭圆为“相似椭圆”，可得e＝＝，解得a2＝12， 所以椭圆C2的方程为＋＝1. (2)证明：不妨设P(m，n)，其中n>0，则＋＝1，可得m2＝6－， 把x＝m代入椭圆C1：＋＝1，可得y＝，所以H， 所以kA1H＝ ，kPA2＝， 所以kA1H·k PA2＝×＝＝－＝－＝－1. 所以A1H⊥PA2. 题点二 　存在性问题 例2　过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为－1的直线l与抛物线E交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l′，交抛物线E于C，D两点，直线AC与BD的交点是否恒在一条直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由. 解：(1)第1步：写出直线l的方程，并与抛物线E的方程联立，写出根与系数的关系. 由题意知，F，则直线l：y＝－x＋. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得消去y并整理得，x2－3px＋＝0，Δ1＝(－3p)2－4×1×＝8p2>0， 所以x1＋x2＝3p，x1x2＝. 第2步：根据抛物线的定义求p. 由抛物线的定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8， 解得p＝2， 所以抛物线E的方程为y2＝4x. (2)第1步：设直线l ′的方程及点C，D的坐标，写出根与系数的关系. 由(1)可得，y1y2＝－4，F(1,0). 由题意知，直线l′的斜率不为0，设直线l′：x＝my＋1，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 联立得消去x并整理得，y2－4my－4＝0， Δ2＝(－4m)2－4×1×(－4)＝16(m2＋1)>0， 所以y3y4＝－4. 第2步：写出直线AC，BD的方程. 直线AC：y－y3＝(x－x3)＝(x－x3)＝(x－x3)，即y＝　①. 同理得，直线BD：y＝　②. 第3步：求直线AC和直线BD交点的横坐标，得结果. 由①②消去y得，＝， 即4(y1－y2＋y3－y4)x＝y1y2(y3－y4)＋y3y4(y1－y2)＝－4(y1－y2＋y3－y4)， 解得x＝－1， 所以直线AC与直线BD的交点恒在直线x＝－1上. 借题发挥：先猜后证破圆锥曲线定直线问题 先定性再求解.因为直线AB和直线CD都过抛物线的焦点，所以结合抛物线的对称性知，若直线AC与BD的交点恒在一条直线上，则该直线必垂直x轴，所以求这两条直线交点的横坐标，验证其是否为定值即可. [思维建模] 探索性(存在性)问题，一般是不给出确定性的结论，而是以“是否存在”设问，让考生根据题目的条件进行分析判断得出确定的结论.此类问题的常用解法：先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.要注意的是： (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知道，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法. [针对训练] 2.已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2，其一条渐近线斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点A(1,1)能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于P，Q两点，且点A是弦PQ的中点？如果直线l存在，求出它的方程；如果不存在，请说明理由. 解：(1)因为双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 又该双曲线的实轴长为2，一条渐近线斜率为，则解得 因此，该双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)不存在.理由如下： 假设直线l存在，设以A(1,1)为中点的弦的两端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则有x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. 根据双曲线的对称性知x1≠x2.由点P，Q在双曲线上， 得2x12－y12＝2,2x22－y22＝2， 两式相减得2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 所以2×2(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，所以＝2，即以A(1,1)为中点的弦所在直线的斜率k＝2， 故直线PQ的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 联立消去y得2x2－4x＋3＝0， Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0， 因此直线l与双曲线无交点，故满足条件的直线l不存在. [课时跟踪检测] 1.设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：O，M，N三点共线. 解：(1)由题意知，4a＝4，a＝. 又e＝，∴c＝，b＝， ∴椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线. 当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则两式相减，得＋－＝0， ∴＝－， ＝－， ∴·＝－，·＝－，即k·kOM＝－，∴kOM＝－. 同理可得kON＝－， ∴kOM＝kON，∴O，M，N三点共线. 2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4). (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，＝λ，＝λ均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 解：(1)由已知C：－＝1(a>0，b>0)，点A的坐标为(6,4)，得c＝4，焦点F1(0，－4)，F2(0,4)，2a＝|AF1|－|AF2|＝－6＝4.所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，故C：－＝1. (2)设l的方程为y＝2m(m>1)，则D(0,2m)，故M(0，m)，已知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，故N.与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，由已知得3k2≠1，Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝　①.由＝λ，＝λ得x1＝λ，x2＝λ，消去λ得x2＝x1，即2x1x2－(x1＋x2)＝0　②，由①②得k(m2－2)＝0，因为k≠0，m>1，所以m＝，故存在定直线l：y＝2满足条件. 3.已知椭圆E：＋＝1的上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，过点A的直线l与椭圆E的另一个交点为P，点Q与点P关于x轴对称，直线AP交直线BC于M，直线AQ交直线BC于N，点T(6，－2)，求证：|AM|＝|TN|. 证明：根据题意作出图形，如图，连接MT，AT. (作图妙招：既然要证明|AM|＝|TN|，那么一般分两种情况：在等腰三角形里面作为两腰，在平行四边形里面作为对边.在本题求解过程中，我们先粗略画图后，感觉跟平行四边形有点像，然后按照这个思路重新画一个更精确的图形，这也是矫正作图的一种思路) 要想证明|AM|＝|TN|，考虑从证明四边形AMTN是平行四边形入手.平行四边形这一几何特征如何转化为代数运算呢？我们可以根据平行四边形的判定方法来实现. 设点P(x0，y0)，则点Q(x0，－y0)，x0≠0，易知点A(0,2)，B(0，－2)，C(3,0)， 所以直线BC的方程为－＝1，即2x－3y＝6， 直线AP的方程为y＝x＋2. 联立直线BC与直线AP的方程，可得M. 直线AQ的方程为y＝－x＋2，同理可得N. xM＋xN＝＋ ＝＝ ＝6＝2xC， 且yM＋yN＝－2＋－2＝(xM＋xN)－4＝×6－4＝0＝2yC， 所以线段MN的中点为点C.又点A(0,2)，T(6，－2)，则线段AT的中点也为点C，(能变通：这里若想通过＝证明四边形AMTN是平行四边形，由＝，＝结合＋＝1消元化简，非常烦琐，所以选择利用对角线互相平分证明平行四边形，运算量就变小了)所以四边形AMTN为平行四边形，故|AM|＝|TN|. 4.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上一点E(－1，t)，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线EA，EF，EB的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1＋k3＝2k2. 解：(1)由题意，知＝1，所以p＝2，所以拋物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：因为直线l过抛物线C的焦点F(1,0)， 由题意知，直线l斜率不为0，所以设l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去x得y2＝4my＋4， 即y2－4my－4＝0，所以Δ＝16m2＋16>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 所以k1＋k3＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝－t×＝－t. 因为E(－1，t)，F(1,0)， 所以k2＝＝－，所以k1＋k3＝2k2. 学科网（北京）股份有限公司 $$