第8章 第9节 定点、定值问题(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第九节　定点、定值问题 题点一　定点问题 例1　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点. (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点. 解：(1)∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)， ∴可设椭圆E的方程为＋＝1， 又椭圆E过B， ∴＋＝1，得a2＝3， ∴E的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2).由题意知，直线MN与y轴不垂直，设其方程为x－1＝t(y＋2). 联立得方程组消去x并整理，得(4t2＋3)y2＋(16t2＋8t)y＋16t2＋16t－8＝0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝. 设T(x0，y1).由A，B，T三点共线，得＝，得x0＝y1＋3. 设H(x′，y′).由＝， 得＝， ∴x′＝3y1＋6－x1，y′＝y1， ∴直线HN的斜率k＝＝＝， ∴直线HN的方程为y－y2＝·(x－x2). 令x＝0，得y＝·(－x2)＋y2＝＋y2 ＝＝＝－2. ∴直线NH过定点(0，－2). [思维建模] 求定点问题的解题策略 (1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). [针对训练] 1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)若抛物线x2＝2py(p>0)与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点. 解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x， 所以－＝1，＝1，解得a＝b＝，所以C的方程为－＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＝2py1，x22＝2py2， 由可得y2－2py＋2＝0，Δ＝4p2－8>0，所以y1＋y2＝2p，y1y2＝2， 所以x1x2＝·＝2p， 因为kAB＝＝，所以直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－x1＋y1＝x－＝x－，所以直线AB过定点(0，－). 题点二　定值问题 例2　已知P是圆C：(x＋2)2＋y2＝12上的一个动点，定点M(2,0)，线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，记点T的轨迹为C′. (1)求C′的方程. (2)若直线l与曲线C′恰有一个公共点，且l与直线l1：y＝x，l2：y＝－x分别交于A，B两点，试证明△OAB的面积是定值(O为坐标原点). 快审准解：(1)由题意可得|TP|＝|TM|，即可得到||TM|－|TC||＝2<|CM|，根据双曲线的定义得到点T的轨迹是以(2,0)，(－2,0)为焦点的双曲线，从而得解. (2)讨论直线l的斜率是否存在，当直线l的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据Δ＝0找到参数m，k之间的关系，再利用弦长公式求得|AB|，并用点到直线的距离公式求得三角形的高，求得面积.当直线l的斜率不存在时，得到此时三角形的面积.综上即可证明. 解：(1)由C：(x＋2)2＋y2＝12，可知C(－2,0)，圆C的半径r＝2， 连接TM，因为线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，所以|TP|＝|TM|， 所以|TM|＝|TC|＋2或|TC|＝|TM|＋2，所以||TM|－|TC||＝2<|CM|＝4， 所以由双曲线的定义可知，点T的轨迹是以(2,0)，(－2,0)为焦点的双曲线， 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，易知2a＝2，c＝2，所以a＝，c＝2，b＝＝1， 所以C′的方程为－y2＝1. (2)证明：第1步：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，分析斜率取值范围，与曲线C′方程联立. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， 因为直线l与直线l1：y＝x，l2：y＝－x分别交于A，B两点，所以k≠±. 由得关于x的方程(1－3k2)x2－6mkx－3m2－3＝0，因为k≠±，所以1－3k2≠0， 因为直线l与曲线C′恰有一个公共点， 所以Δ＝36m2k2＋4(1－3k2)(3m2＋3)＝0，即3k2＝m2＋1. 由得x＝－，即xA＝－. 第2步：根据弦长公式得|AB|，求点O到直线l的距离，得△OAB的面积. 同理可得xB＝－，则|AB|＝·|xA－xB|＝， 又原点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝|AB|d＝. 因为3k2＝m2＋1，所以S△OAB＝. 第3步：当直线l的斜率不存在时，求直线l的方程，以及此时△OAB的面积，得出结论. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±，又渐近线方程为y＝±x，(易错提醒：本解答先求解直线斜率存在的情况，再对斜率不存在的情况补充说明，也可以反过来，先计算斜率不存在的情况，容易得到S△OAB＝，再计算斜率存在的情况，这样会有一个指引的作用) 此时|AB|＝2，S△OAB＝××2＝.综上，△OAB的面积为定值. [思维建模] 圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. [针对训练] 2.(2024·厦门一中模拟)已知A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，|AB|＝，直线AB的斜率为－. (1)求椭圆的方程； (2)直线l∥AB，与x轴交于点M，与椭圆相交于点C，D，求证：|CM|2＋|MD|2为定值. 解：(1)A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，可得A(a,0)，B(0，b)， 因为|AB|＝，所以|AB|＝＝， 直线AB的斜率为－，所以＝－，解得a＝2，b＝1， 所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)证明：设直线l的方程为y＝－x＋m，则M(2m,0)， 与椭圆方程联立可得x2－2mx＋2m2－2＝0， 由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2>0得－<m<， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，可得x1＋x2＝2m，x1x2＝2m2－2， |CM|2＋|MD|2＝(x1－2m)2＋y12＋(x2－2m)2＋y22＝x12－4mx1＋4m2＋2＋x22－4mx2＋4m2＋2＝(x1＋x2)2－x1x2－5m(x1＋x2)＋10m2＝5m2－(2m2－2)－10m2＋10m2＝5， 所以|CM|2＋|MD|2为定值. [课时跟踪检测] 1.(2024·南通开学考试)在直角坐标系xOy中，点P到点F(，0)的距离与到直线l：x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程； (2)过W上两点A，B作斜率均为－的两条直线，与W的另两个交点分别为C，D.若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值. 解：(1)设P(x，y)，由题意可知，＝⇒＋y2＝1，∴W的方程为＋y2＝1. (2)证明：设A(x0，y0)，C(x1，y1)， ∴AC的方程：y＝－(x－x0)＋y0，代入椭圆方程⇒x2＋4＝4， ∴2x2－(2x0＋4y0)x＋x02＋4y02＋4x0y0－4＝0， ∴x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，∴x1x0＝2x0y0， ∴x1＝2y0，∴C，同理设B(x0′，y0′)，D(x2，y2)，∴D， ∴k1k2＝kAB·kCD＝·＝，为定值. 2.(2024·大庆模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为，且点M的纵坐标为2. (1)求抛物线C的方程和点M的坐标； (2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且MA⊥MB，证明直线l过定点. 解：(1)设M(x0,2)，则解得∴抛物线C：y2＝2x，M(2,2). (2)证明：由题意知直线l斜率不为零，可设l：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2－2my－2n＝0，∴Δ＝4m2＋8n>0，即m2＋2n>0. ∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n. ∵kMA＝＝＝， kMB＝＝＝， 又MA⊥MB，∴kMA·kMB＝＝＝＝－1， 则n＝2m＋4(此时m2＋2n＝m2＋4m＋8＝(m＋2)2＋4>0成立)， ∴直线l：x＝my＋2m＋4＝m(y＋2)＋4，当y＝－2时，x＝4，∴直线l恒过定点(4，－2). 3.(2024·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，左、右两个顶点分别为A1，A2，经过点B(4,0)的直线l交双曲线的右支于M，N两点，且M在x轴上方，当l⊥x轴时，|MN|＝2. (1)求双曲线方程； (2)求证：直线MA1，NA2的斜率之比为定值. 解：(1)由题意可得2a＝4⇒a＝2， 当l⊥x轴时，直线l：x＝4，则－＝1⇒y＝±b， 又|MN|＝2＝2b⇒b＝，所以－＝1. (2)证明：由题意可知A1(－2,0)，A2(2,0)，不妨设l：x＝ty＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知y1≠0，y2≠0， 联立双曲线方程得⇒(t2－2)y2＋8ty＋12＝0，则 且不难发现ty1y2＝－(y1＋y2)， 由斜率公式可知kMA1＝，kNA2＝， 则k MA1：k MA1＝＝＝＝＝－， 故k MA1：k NA2＝－是定值. 借题发挥：本题关键在于比值式是不对称的，不能直接利用根与系数的关系，这里需要用ty1y2＝－(y1＋y2)去整体代换化简求值. 4.(2024·烟台模拟)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，右焦点F到渐近线的距离为.设M(x0，y0)是双曲线C2：－＝1上的动点，过M的两条直线l1，l2分别平行于C1的两条渐近线，与C1分别交于P，Q两点. (1)求C1的标准方程； (2)求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标. 解：(1)因为C1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以b＝a. 又右焦点F到渐近线的距离为，所以＝，得c＝. 又因为c2＝a2＋b2，所以a＝2，所以b＝. 所以双曲线C1的标准方程为－＝1. (2)证明：由(1)可知C2的方程为－＝1， 设M(x0，y0)，所以有－＝1， 过点M作与y＝x平行的直线与双曲线C1交于点P， 由得－＝1，整理得＝1， 所以x－x0＋y0＝， 由于－＝1， 故＝－， 则x＝x0－y0－＝－y0，故y＝(x－x0)＋y0＝－x0， 所以P， 同理可得Q. 所以直线PQ:4y0y＝3x0x恒过定点(0,0). 学科网（北京）股份有限公司 $$