第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题及实际问题. 回首教材 1.直线与圆的位置关系 设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 2.圆与圆的位置关系 设圆O1，O2的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 数量的关系 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 公切线条数 4 3 2 1 0 拓展教材(常见结论及应用) 1.牢记3个相关结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程. (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦. 3.切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值2. 追根溯源 (人B选择性必修①P116T4)已知直线x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B两点. (1)求线段AB的垂直平分线的方程； (2)若|AB|＝2，求m的值； (3)在(2)的条件下，求过点P(4,4)的圆C的切线方程. 发现启迪 两题均考查直线与圆的相交弦问题.求解直线与圆相交模型，需要结合图形熟练掌握常用性质，如垂径定理、弦长公式、弦中点问题等.高考题答案不唯一，结论具有开放性，与新高考接轨，具有反规律化命题、反套路化解题的新高考特色. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1.(苏教选择性必修①P66T2)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　 ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定 答案：B 2.(尝试用“过圆上一点切线方程”的结论解题)圆x2＋y2＝5在点P(1,2)处的切线方程为(　 ) A.x－2y＋3＝0 B.2x＋y－4＝0 C.x＋2y－5＝0 D.2x－y－4＝0 解析：选C　圆心为O(0,0)，kOP＝2，故切线的斜率为－.故切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 3.(人A选择性必修①P98T1改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________. 答案：内切 4.(人A选择性必修①P91例1改编)直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦AB的长为___________. 解析：将圆的方程化为标准式，可得(x－1)2＋(y－2)2＝5，利用点到直线的距离可以求得弦心距为＝，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为2＝. 答案： B组——迷点盲点的澄清训练 1.(混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交)若曲线C：x2＋(y＋1)2＝1与直线l：x＋y＋a＝0有公共点，则实数a的取值范围为________. 解析：易知圆心(0，－1)到直线l的距离小于或等于半径，故≤1，解得1－≤a≤1＋. 答案：[1－，1＋] 2.(忽视两圆相切有两种情况)若半径为r，圆心为(0,1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r的值等于________. 答案：－1或＋1 题点一　直线与圆的位置关系的判断 例1　(2024·衡水模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　 ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析：选A　法一：代数法　由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交. 法二：几何法　由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交. 法三　易得直线l过定点(1,1).把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜5，所以点(1,1)在圆的内部，故直线l与圆C相交. 例2　(2021·新课标Ⅱ卷)[多选]已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　 ) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：选ABD　选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，A正确.选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝>|r|，∴直线l与圆C相离，B正确.选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝<|r|，∴直线l与圆C相交，C错误.选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，D正确.故选ABD. [思维建模] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. [针对训练] 1.(2024·江淮十校联考)已知直线l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相交，则r的取值范围是(　 ) A.(0,1] B.(0,1) C.[1，＋∞) D.(1，＋∞) 解析：选D　圆心到直线的距离为d＝＝1，故r＞1. 2.已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“k＝”是“直线l与圆C相切”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心C(2,1)，半径为1，直线l与圆C相切，圆心C到直线l的距离等于半径，即d＝＝1，解得k＝或k＝0，当k＝时，直线l与圆C相切；当直线l与圆C相切时，k的值不一定是，则“k＝”是“直线l与圆C相切”的充分不必要条件. 题点二　圆的切线与弦长问题 考法(一)　切线问题 例3　(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　 ) A.1 B. C. D. 解析：选B　法一　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝＝2，则|PA|＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APC·cos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－＜0，即∠APB为钝角，所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝. 法二　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2,0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接CA，CB，PC，AB，可得|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即4cos∠APB＝－1，解得cos∠APB＝－＜0，即∠APB为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，且α为锐角，所以sin α＝＝. 借题发挥：解决此类问题的关键：①作草图，作出符合题意的圆与切线；②会用性质，即会利用圆外一点与圆心的连线平分过圆外的该点的圆的两切线的夹角；③活用公式，即会利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式求解. 例4　过点(－4,3)的圆(x＋3)2＋(y－1)2＝1的切线方程为_________________. 解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x＝－4，圆心(－3,1)到该直线的距离等于半径1，符合题意，当切线的斜率存在时，设过点(－4,3)的切线方程为y－3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋3＝0，∵圆心到直线kx－y＋4k＋3＝0的距离等于半径，∴＝1，解得k＝－，∴切线方程为3x＋4y＝0.综上所述，切线方程为x＝－4或3x＋4y＝0. 答案：x＝－4或3x＋4y＝0 易错防范 若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线必有两条，无论是用几何法还是代数法求得k值是一个时，另一条切线斜率一定不存在. 易错再练 直线l过点(2,1)且与圆C：(x＋1)2＋y2＝9相切，则直线的方程为________. 答案：x＝2或4x＋3y－11＝0 |思维建模|　圆的切线方程的求法 几何法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k 代数法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k 考法(二)　弦长问题 例5　若直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则b的值为(　 ) A.1 B. C.±1 D.± 解析：选C　∵∠POQ＝120°，圆的半径为1，∴|PQ|＝＝，圆心(0,0)到直线y＝x＋b的距离d＝＝，∴2＋2＝1，解得b＝±1. 例6　过点P(－2,0)作斜率不为0的直线l与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的斜率k＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由题意，知直线l的方程为y＝k(x＋2)，k≠0，即kx－y＋2k＝0，k≠0.因为圆C的圆心坐标为C(1,1)，半径r＝，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1.又d＝＝，所以＝1，即(3k－1)2＝k2＋1，解得k＝0(舍去)或k＝. |思维建模|　直线被圆截得的弦长的求法 几何法 运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2 代数法 设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ ·　 考法(三)　最值(范围)问题 例7　已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________. 解析：由圆的方程知圆心C(2,0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略).设|AC|＝x，则x≥＝2.∵AP，AQ为圆C的切线，∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，∴|AP|＝|AQ|＝＝. ∵AC是PQ的垂直平分线，∴|PQ|＝2×＝＝4.∵x≥2，∴≤1－＜1，∴2≤PQ＜4，即线段PQ的长的取值范围为[2，4). 答案：[2，4) 例8　(2024·龙岩模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________. 解析：由圆O：x2＋y2＝2，得r＝，四边形PAOB的面积S＝2S△PAO＝|PA|·|AO|＝|PA|，∵点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，∴P(x0,4－x0)，则|PA|＝＝，又|PO|2＝x02＋(4－x0)2＝2x02－8x0＋16＝2(x0－2)2＋8≥8，∴|PO|2－2≥6，则|PA|≥，∴四边形PAOB的面积的最小值为×＝2. 答案：2 |思维建模|　与圆有关的最值(范围)问题的解题策略 涉及与圆的切线有关的线段长度最值(范围)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果. [针对训练] 3.若直线y＝kx＋2把圆x2＋y2＝4分成长度为1∶2的两段圆弧，则k＝(　 ) A.± B.± C.±1 D.± 解析：选D　如图，连接OB，圆的标准方程为x2＋y2＝4，圆心为(0,0)，半径R＝2，设直线和圆相交于A，B，若较短弧长与较长弧长之比为1∶2，则∠AOB＝120°，则圆心到直线y＝kx＋2的距离d＝1，即d＝＝1，即k＝±. 4.(2024·荆州中学模拟)已知圆O：x2＋y2＝10，直线l：ax＋by＝2a－b(a，b∈R)与圆O的交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|MN|＝(　 ) A. B. C.2 D.3 解析：选C　直线l：ax＋by＝2a－b(a，b∈R)，即a(x－2)＋b(y＋1)＝0，所以直线过定点A(2，－1)，|OA|＝ ＝，圆O半径r＝，点A在圆O内，所以当直线与OA垂直的时候，|MN|最短，此时|MN|＝2＝2.故选C. 5.设直线l：y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________；b＝________. 解析：设C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，由题意，C1，C2到直线的距离等于半径，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍)或者b＝－2k，解得k＝，b＝－. 答案：　 － 6．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析：由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2，2a－3)，所以kA′B＝，所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 答案： 题点三　圆与圆的位置关系 例9　(2024·济南模拟)圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是(　 ) A.(－∞，－] B.[，＋∞) C.[－，] D.(－∞，－]∪[，＋∞) 解析：选D　将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得(x＋m)2＋y2＝1，即圆心为(－m,0)，半径为1，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，因为圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或相离，所以≥2＋1，即m2≥5，解得m∈(－∞，－]∪[，＋∞).故选D. 例10　 [多选]已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　 ) A.C1与C2的公切线恰有4条 B.C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C.C1与C2相交弦的弦长为 D.若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 解析：选BD　由已知得圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3,4)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5，r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误；作差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，故B正确；C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2＝，故C错误；若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确.故选BD. [思维建模] 圆与圆位置关系的解题策略 (1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. (3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解. [针对训练] 7.(2024·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，已知两点O(0,0)，A(3,4)到直线l的距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有(　 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：选C　如图，分别以O，A为圆心，以1,4为半径作圆，因为|OA|＝＝5＝1＋4，所以两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线l共有3条，故选C. 8.(2023·枣庄二模)满足圆x2＋(y－4)2＝25与(x－a)2＋y2＝1相交的一个a值为________. 解析：圆x2＋(y－4)2＝25的圆心为(0,4)，半径r1＝5，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为(a,0)，半径r2＝1，因为两圆相交，所以r1－r2<<r1＋r2，即4<<6，解得0<a<2或－2<a<0，所以满足圆x2＋(y－4)2＝25与(x－a)2＋y2＝1相交的一个a值可以为2. 答案：2(答案不唯一，只要在区间(－2，0)∪(0,2)即可) 阿波罗尼斯圆 若点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|，则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆. [应用体验] 1.已知平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________. 解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，整理得2＋y2＝，所以点P的轨迹的圆心坐标为. 答案： 2.(2024·盐城质检)已知圆O：x2＋y2＝1和点A，若定点B(b,0)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________. 解析：设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x－b)2＋y2＝λ2，整理得x2＋y2－x＋＝0，所以解得 如图所示，S△MAB＝|AB|·|yM|，由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0,1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，故△MAB的面积的最大值为××1＝. 答案：2　 3.已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，求点M的轨迹方程. 解：如图所示，设动点M(x，y)，连接MO，MA，有|MA|＝2|MO|， 即 ＝2，化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4①，则方程①即为所求点M的轨迹方程，它表示以C(－1,0)为圆心，2为半径的圆. 4.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围. 解：点C在直线l：y＝2x－4上，故设C的坐标为(a,2a－4). 因为半径r1＝1，所以圆C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1. 设点M(x，y)，则由|MA|＝2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D， 即＝2，化简整理得x2＋(y＋1)2＝4. 所以点M(x，y)在以D(0，－1)为圆心，r2＝2为半径的圆上. 又点M(x，y)在圆C上，所以两圆有公共点的条件是|r1－r2|≤|DC|≤|r1＋r2|， 即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤.即a的取值范围是. [课时跟踪检测] 1.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为(　 ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 解析：选B　由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径r＝2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切. 2.(2024·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是(　 ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 解析：选B　由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标为O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，则两圆的圆心距|O1O2|＝＝，则2－1<<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交. 3.已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为(　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选C　如图，连接OA，OB，由圆心为原点，则圆心到直线的距离d＝＝4，又|AB|＝6，所以|AB|＝2＝6⇒r2＝25⇒r＝5. 4.(2024·泰安模拟)已知点M(1，)在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为(　 ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：选D　圆心为(0,0)，所以kCM＝，所以过M的切线l的斜率为－＝－，设倾斜角为θ，则tan θ＝－，由于θ∈[0，π)，故θ＝，故选D. 5.(2024·菏泽模拟)设圆C：(x－3)2＋y2＝r2(r>0)上恰好有三个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆的半径r的值为(　 ) A.2 B.4 C. D.3 解析：选D　圆心(3,0)到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝2，若圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则r＝2＋1＝3.故选D. 6.已知圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0，过点P(6，－2)作圆C的两条切线，切点分别为A，B.则四边形PACB的面积为(　 ) A.6 B.12 C.14 D.18 解析：选B　如图，连接AC，BC，PC，依题意，圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝9，圆心为C(2，1)，半径为3，则|AC|＝3，|PC|＝＝5，故|AP|＝＝4，由对称性可知，△PAC与△PBC全等，故四边形PACB的面积S＝|PA|·|AC|＝12.故选B. 7.(2024·忻州一模)[多选]已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，下列说法正确的是(　 ) A.若m＝4，则圆O1与圆O2相交 B.若m＝4，则圆O1与圆O2外离 C.若直线x－y＝0与圆O2相交，则m> D.若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝ 解析：选AC　圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心O1(1，0)，半径r1＝2.若m＝4，O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心O2(5,0)，半径r2＝4，则|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|< r1＋r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确，B错误；若直线x－y＝0与圆O2相交，则圆心O2(5,0)到直线x－y＝0的距离d＝<，解得m>，故C正确；若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，所以相交弦长|MN|＝2＝2＝，故D错误.故选AC. 8.已知圆O：x2＋y2＝1与直线l：x＝－1，写出一个半径为1，且与圆O及直线l都相切的圆的方程：________. 解析：设圆心C为(x0，y0)，由已知圆C与直线l：x＝－1相切，圆C与圆O：x2＋y2＝1相切，可得即得或或且已知半径为1，所以圆的方程可以为x2＋(y－2)2＝1或x2＋(y＋2)2＝1或(x＋2)2＋y2＝1. 答案：x2＋(y－2)2＝1(答案不唯一) 9.(2024·吉林模拟)由直线x＋y＋6＝0上一点P向圆C：(x－3)2＋(y＋5)2＝4引切线，则切线长的最小值为________. 解析：如图，设过点P的切线与圆C相切于点E，连接CE，PC，则PE⊥CE， 圆C的圆心为C(3，－5)，半径为r＝2，则|PE|＝，当PC与直线x＋y＋6＝0垂直时，|PC|取最小值，且最小值为＝2，所以|PE|＝≥ ＝2，即切线长的最小值为2. 答案：2 10.经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程是________. 解析：法一：面积最小的圆是以两个交点为直径的圆　∵圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4， ∴圆心坐标为(－1,2)，半径为r＝2. ∴圆心到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝， 设直线2x－y＋3＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点为A（x1，x1），B（x2，x2）， 则|AB|＝2＝2＝， ∴过点A，B的最小圆半径为， 联立得5x2＋6x－2＝0，故x1＋x2＝－， 则圆心的横坐标为(x1＋x2)＝－，纵坐标为2×＋3＝， ∴最小圆的圆心为，∴最小圆的方程为2＋2＝. 法二　依题意，可设过点A，B两点圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)＝0， (利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得(x＋λ＋1)2＋2＝λ2＋λ＋4， 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即λ2＋λ＋4取到最小值， 而λ2＋λ＋4＝2＋≥，当λ＝－时取到最小值，此时圆的方程为2＋2＝. 答案：2＋2＝ 11.已知圆C的方程为x2＋y2＝1. (1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程； (2)直线m过点P(1,2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求直线m的方程. 解：(1)根据题意，得点P在圆C外，分两种情况讨论： 当直线l的斜率不存在时，过点P(1,2)的直线方程是x＝1，与圆C：x2＋y2＝1相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0. 因为直线l与圆C相切，所以圆心(0,0)到直线l的距离为＝1，解得k＝， 此时，直线l的方程为3x－4y＋5＝0. 所以满足条件的直线l的方程是x＝1或3x－4y＋5＝0. (2)根据题意，若|AB|＝， 则圆心到直线m的距离d＝＝， 结合(1)知直线m的斜率一定存在. 设直线m的方程为y－2＝n(x－1)， 即nx－y－n＋2＝0， 则d＝＝，解得n＝1或n＝7. 所以满足条件的直线m的方程是x－y＋1＝0或7x－y－5＝0. 12.(2024·南京模拟)如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于M，N两点(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3. (1)求圆C的方程； (2)过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值. 解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m>0)，则圆C的半径为m， 又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，解得m＝.所以圆C的方程为2＋(y－2)2＝. (2)证明：由(1)知，M(1,0)，N(4,0)， 当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝ kBN＝0，即kAN＋kBN＝0(易错点：此处易忽略，务必要对直线AB与x轴是否重合进行分类讨论)； 当直线AB的斜率不为0或该直线的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝ty＋1， (重点：设直线方程时，经常需要在“k参”与“m参”(m＝)中选择，本题已知点M在x轴上，故设m参比较方便) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立可得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0，Δ＝4t2＋12(t2＋1)>0， 由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0. 综上，可得kAN＋kBN＝0. 13.[多选]已知O为坐标原点，圆Ω：(x－cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，则下列结论正确的是(　 ) A.圆Ω恒过原点O B.圆Ω与圆x2＋y2＝4外切 C.直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长的最大值为 D.直线xcos α＋ysin α＝0与圆Ω相切或相交 解析：选ACD　对于A，代入点(0,0)得(－cos θ)2＋(－sin θ)2＝1恒成立，A正确；对于B，＝|1－2|，即两圆心距离等于两圆半径差，两圆内切，B错误； 对于C，直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长为2＝2， ∵sin θ＋cos θ＝sin∈， ∴2≤2＝，即直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长的最大值为，C正确；对于D，圆心到直线的距离＝|cos(θ－α)|≤1，故圆和直线相切或相交，D正确.故选A、C、D. 14.(2023·开封三模)已知点A(1,0)，B(2,0)，经过B作圆(x－3)2＋(y－2)2＝5的切线与y轴交于点P，则tan∠APB＝________. 解析：如图所示，设圆心为C点，则C(3,2)，(2－3)2＋(0－2)2＝5，则点B在圆上，且kBC＝＝2，由PB与圆相切可得kPB·kBC＝－1⇒kPB＝－，则tan∠OPB＝2，∵|OB|＝2，∴|OP|＝1，故P(0,1)，则tan∠APO＝1，从而得tan∠APB＝tan(∠OPB－∠OPA)＝＝＝. 答案： 15.(2024·湘潭一中模拟)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________. 解析：由题意知直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图， 作OA⊥MN，垂足为A，在Rt△OMA中，因为∠OMN＝45°，所以|OA|＝|OM|sin 45°＝|OM|≤1，解得|OM|≤，因为点M(x0,1)，所以|OM|＝≤，解得－1≤x0≤1，故x0的取值范围是[－1,1]. 答案：[－1,1] 16.已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A. (1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标; (2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝ ＝4. 又|MP|＝＝，所以＝4，解得b＝0或b＝. 所以点P的坐标为(0,0)或. (2)因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，且MP的中点坐标为， 所以圆N的方程为(x－b)2＋2＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0. 由解得或 所以圆N过定点(0,4)和. 学科网（北京）股份有限公司 $$