第8章 第1节 直线的方程(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第八章 解析几何 第一节　直线的方程 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的倾斜角. 2.根据确定直线位置要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式). 回首教材 1.直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为 范围 直线l倾斜角的取值范围为[0，π) 2.直线的斜率 (1)定义 当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.倾斜角是90°的直线没有斜率. (2)过两点直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. (3)直线的方向向量坐标 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1).若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.特别地，(1，k)是l的一个方向向量. 3.直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线 [微点提醒] (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝ty＋b. 拓展教材(常见结论及应用) (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系. (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大. (3)牢记口诀：斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论. (4)直线y＝kx＋b的一个方向向量m＝(1，k). (5)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A). 发掘教材 A组——教材信息的发掘训练 1.(人B选择性必修①P90T5改编)过点A(1,4)的直线的方向向量为m＝(1,2)，则该直线方程为(　 ) A.2x－y＋2＝0 B.2x＋y－6＝0 C.x－2y＋7＝0 D. x＋y－5＝0 解析：选A　由于直线的方向向量为m＝(1,2)，故直线的斜率为＝2，故直线的方程为y－4＝2(x－1)，即2x－y＋2＝0. 2.(人A选择性必修①P64T1改编)过两点(－2,4)和(4，－1)的直线在y轴上的截距为(　 ) A. B.－ C. D.－ 解析：选C　由题可知直线方程为y＋1＝·(x－4)，即y＝－(x－4)－1，令x＝0，则y＝，故直线在y轴上的截距为. 3.(人B选择性必修①P77例1改编)已知直线l经过点A(－1,3)与B(2,0)，则直线l的倾斜角为________. 答案： 4.(三点共线的应用)已知A(1,3)，B(－2,1)，C(4，m)三点在同一条直线上，则m＝________. 解析：易知kAB＝kBC，即＝，解得m＝5. 答案：5 B组——迷点盲点的澄清训练 1.(忽视斜率公式中x1≠x2)已知经过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为________. 答案： 2.(忽略截距为0的情形)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________. 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 题点一　直线的倾斜角与斜率(自主练通) 1.在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　 ) A.－2 B.0 C. D.2 解析：选B　由题意知，△ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝＋(－)＝0. 2.[多选]如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　 ) A.k1<k3<k2 B.k3<k2<k1 C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1 解析：选AD　由题图知k2>k3>0，k1<0，故>α2>α3>0，且α1为钝角，故选AD. 3.已知点A(－1,2)，B(m,3)，若m∈，则直线AB的倾斜角的取值范围为(　 ) A.∪ B. C.∪ D. 解析：选B　设直线AB的倾斜角为α，当m＝－1时，α＝(易错点：解题时易漏掉m＝－1这种特殊情况)；当m≠－1时，∵k＝∈(－∞，－]∪，∴α∈∪.综上，直线AB的倾斜角α的范围是. 4.(2024·襄阳一模)直线x＝1与直线x－y＋1＝0的夹角大小为________. 解析：因为直线x＝1的斜率不存在，倾斜角为，直线x－y＋1＝0的斜率为，倾斜角为，故直线x＝1与直线x－y＋1＝0的夹角为－＝. 答案： [思维建模] 与直线倾斜角、斜率有关问题的注意点 (1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不具有单调性. (2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在. 题点二　直线方程(自主练通) 1.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　 ) A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0 C.2x－y＝0或x－y＋3＝0 D.2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析：选D　法一　当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为＋＝1，∵直线过(1,2)，∴－＝1，∴a＝－1，∴方程为x－y＋1＝0，故选D. 法二　易知直线斜率存在，且不为0，设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，当x＝0时，y＝2－k，当y＝0时，x＝1－，即2－k＋1－＝0，解得k＝2或k＝1，故直线方程为y＝2x或x－y＋1＝0. 2.(2024·福建模拟)在△ABC中，A(3,2)，B(1，1)，C(2,3)，则AB边上的高所在的直线方程是(　 ) A.2x＋y－7＝0 B.2x－y－1＝0 C.x＋2y－8＝0 D.x－2y＋4＝0 解析：选A　设AB边上的高所在的直线为l，由已知可得，kAB＝＝，所以直线l的斜率kl＝－2.又l过C(2,3)，所以l的方程为y－3＝－2(x－2)，整理可得，2x＋y－7＝0.故选A. 3.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　 ) A.x＋y－3＝0 B.x－3y－2＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0 解析：选D　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan＝＝－3，又点M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.故选D. 4.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为________. 解析：联立解得∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v＝(－3,2)，∴直线的斜率k＝－，则直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0. 答案：2x＋3y－5＝0 [思维建模] 求直线方程的常用方法 (1)直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程. (2)待定系数法：①先根据已知条件设出直线方程的恰当形式，方程中含有待定的系数；②再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数；③最后代入求出直线方程. [提醒]　(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零). 题点三　直线方程的综合问题 考法(一)　直线过定点问题 例1　直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点(　 ) A.(3,1) B.(0,1) C.(0,0) D.(2,1) 解析：选A　直线kx－y＋1－3k＝0可以为y－1＝k(x－3)，表示过点(3,1)，斜率为k的直线，所以所有直线都通过定点(3,1).故选A. |思维建模|　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得. 若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0). 考法(二)　与直线方程有关的最值、范围问题 例2　已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是(　 ) A.[－，] B.∪ C. D.∪ 解析：选D　设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.联立得x2＋x＋6＝0(m≠0)，则Δ＝2－24≥0，即m2≥，解得m≤－或m≥.∴实数m的取值范围是∪. 例3　已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当|MA|·|MB|取得最小值时，则直线l的方程为________. 解析：法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A，B(0,1－2k)(k<0).∴|MA|·|MB|＝·＝2＝2≥4.当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号.此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，易知A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，＋＝1.∴|MA|·|MB|＝||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 |思维建模|　最值、范围问题的解题方法 (1)求参数的值或范围，注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解. (2)求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求解最值. (3)求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决问题. [针对训练] 1.直线(a－1)x－(a＋1)y＋2＝0恒过定点(　 ) A.(1,1) B.(1，－1) C.(－1,1) D.(－1，－1) 解析：选A　将(a－1)x－(a＋1)y＋2＝0变形为(x－y)a－x－y＋2＝0，令x－y＝0且－x－y＋2＝0，解得x＝1，y＝1，所以直线恒过定点(1,1). 2.(2024·湖北校联考模拟)已知点A(2,3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　 ) A.∪[2，＋∞) B.∪ C. D. 解析：选A　因为直线l：kx－y－k＋1＝0，即直线l：k(x－1)－y＋1＝0，所以直线l经过定点M(1，1)，MA的斜率为＝2，MB的斜率为＝，则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤. 3.已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________. 解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 答案： 斜率公式的应用 斜率公式的应用主要形式有比较大小、求解点共线问题、求参数取值范围、求函数最值等.由于斜率公式具有把代数问题几何化的功能，因此在解答过程中，首先借助斜率公式的几何定义画出草图，然后利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况，进而解决问题. [应用体验] 1.函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值集合为(　 ) A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3} 解析：选B　如图，＝＝…＝的几何意义是曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的值可以为2,3,4. 2.已知函数f(x)＝2x，且a<b<c<0，则，，的大小关系为(　 ) A.>> 　 B.>> C.>> 　 D.>> 解析：选A　函数＝，该式表示的几何意义为点(x,2x)和点(1,0)连线的斜率，如图所示，根据图象知，>> . 3.已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________. 解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以＜＜. 答案：＜＜ 4.已知点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0,1)时，则的取值范围为________. 快审准解：把 转化为M(x1，y1)与点A(1，－1)所成直线的斜率，作出函数y＝ex在x∈[0,1)部分的图象，则M是图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 解析：由表示M(x1，y1)与点A(1，－1)所成直线的斜率k，又由M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0,1)部分图象上的动点，如图所示，可得C(0,1)，B(1，e)，则kAC＝－2，所以k≤－2，即k的取值范围为(－∞，－2]. 答案：(－∞，－2] 5.已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值为________，最小值为________. 解析：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象，为抛物线的一部分，即曲线段AB，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.易得A(1,1)，B(－1,5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是. 答案：8　 [课时跟踪检测] 1.若直线l的方向向量是e＝(－1，)，则直线l的倾斜角是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　由题意得直线l的斜率为－，则直线l的倾斜角是，故选C. 2.对方程＝2表示的图形，下列叙述正确的是(　 ) A.斜率为2的一条直线 B.斜率为－的一条直线 C.斜率为2的一条直线，且除去点(－3,6) D.斜率为－的一条直线，且除去点(－3,6) 解析：选C　方程＝2成立的条件为x≠－3，且当x≠－3时，方程可变形为y－6＝2(x＋3)，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点(－3,6)，故选C. 3.若直线l的方程y＝－x－中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过(　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选C　由y＝－x－，ab>0，ac<0，知直线斜率k＝－<0，在y轴上截距为－>0，所以此直线必不经过第三象限.故选C. 4.(2024·菏泽模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(　 ) A.1±或0 B.或0 C. D.或0 解析：选A　由题意知kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±. 5.已知直线l过A(－2,1)，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线l的方程是(　 ) A.x－y－1＝0或x＋y－3＝0 B.x－y－1＝0或x－y＋3＝0 C.x＋y＋1＝0或x－y＋3＝0 D.x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 解析：选C　由题意可知，所求直线的倾斜角为45°或135°，即直线的斜率为1或－1，故直线方程为y－1＝x＋2或y－1＝－(x＋2)，即x－y＋3＝0或x＋y＋1＝0.故选C. 6.已知直线l：x＋y－4＝0，则下列结论正确的是(　 ) A.点(2，－2)在直线l上 B.直线l在y轴上的截距为－4 C.直线l的倾斜角为 D.直线l的一个方向向量为v＝(1,1) 解析：选C　对于A，∵2－2－4≠0，∴点(2，－2)不在直线l上，A错误；对于B，∵l：y＝－x＋4，∴l在y轴上的截距为4，B错误；对于C，由l：y＝－x＋4得，直线l的斜率k＝－1，∴直线l的倾斜角为，C正确；对于D，若直线l的一个方向向量为v＝(1,1)，则其斜率k＝1，不合题意，D错误.故选C. 7.[多选]对于直线l：x＝my＋1，下列说法正确的是(　 ) A.直线l恒过定点(1,0) B.直线l斜率必定存在 C.当m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为 D.当m＝时，直线l的倾斜角为60° 解析：选AC　对于A，直线l：x＝my＋1恒过定点(1,0)，A正确；对于B，当m＝0时，直线l：x＝1垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在，B错误；对于C，当m＝2时，直线l：x＝2y＋1与x轴、y轴分别交于点(1,0)，，此时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为×1×＝，C正确；对于D，当m＝时，直线l：x＝y＋1的斜率k＝，因此倾斜角为30°，D错误.故选AC. 8.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,1)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　 ) A.2x＋4y－3＝0 B.x－2y－3＝0 C.2x－y－3＝0 D.4x－2y－3＝0 解析：选D　由AC＝BC，结合题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，AB的中点为M，斜率kAB＝－，则AB垂直平分线的斜率k＝2，则△ABC的欧拉线的方程为y－＝2(x－1)，即4x－2y－3＝0，故选D. 9.已知a>0，b>0，直线＋y＝b在x轴上的截距为1，则a＋9b的最小值为(　 ) A.3 B.6 C.9 D.10 解析：选B　因为直线＋y＝b在x轴上的截距为1，所以＋0＝b，即ab＝1.因为a>0，b>0，所以a＋9b≥2＝6，当且仅当a＝9b，即a＝3，b＝时取等号，所以a＋9b的最小值为6，故选B. 10.在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(　 ) A.2x－y＋1＝0 B.2x－y－1＝0 C.2x－3y－2＝0 D.3x－y－1＝0 解析：选B　如图所示，∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，由角平分线的性质可知＝⇒＝⇒a＝，所以∠BAC的角平分线所在直线l的方程是＝⇒2x－y－1＝0. 11.设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　 ) A.[0，π] B. C. D.∪ 解析：选C　由题意知，当sin θ＝0时，直线l的斜率不存在，其倾斜角α＝；当sin θ≠0时，直线l的斜率k＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以倾斜角α∈∪.综上，α∈. 易错防范 此处易搞不清倾斜角与斜率的关系而失分.若倾斜角为，斜率不存在，若斜率存在，倾斜角应除去. 易错再练 设直线的斜率为k，且－1≤k<，则直线l的倾斜角α的取值范围为(　 ) A.∪ B.∪ C. D.∪ 答案：D　　　　　　　　　 12.已知A(2,4)，B(－3,1)两点，直线l：y＝kx与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是(　 ) A.[2，＋∞) B.(－∞，0]∪[2，＋∞) C.∪[1，＋∞) D.∪[2，＋∞) 解析：选D　直线l：y＝kx恒过点O(0,0)，则直线OA的斜率为kOA＝＝2，直线OB的斜率为kOB＝＝－，如图，由图可知直线l的斜率k的取值范围是∪[2，＋∞)，故选D. 谨记结论：当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小至－∞(即斜率不存在). 13.直线3x＋4y＋12＝0的斜率为________. 答案：－ 14.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________. 解析：由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥. 答案： 15.若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为________. 解析：如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3， 建立如图平面直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝3， 由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°， 故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝， kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－2，则kOA＋kOC＝－2＝－. 答案：－ 16.如图，过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B. (1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程. 解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1. (1)因为＋＝1≥2＝，所以ab≥16，S△AOB＝ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立.所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0. (2)因为＋＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立. 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0. 165 学科网（北京）股份有限公司 $$