第3章 第1节 导数的概念及运算(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第三章 | 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 1.了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．通过函数图象，理解导数的几何意义． 2．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 回首教材 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3．导数的四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)． 4．复合函数的导数 对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [微点提醒] (1)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (2)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． (3)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆． 拓展教材(常见结论及应用) (1)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)不一定为0，(f(x0))′是函数值f(x0)的导数且(f(x0))′＝0. (2)若函数连续且可导，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)． (4)①注意′≠. ②(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2022·新课标Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为y＝x，y＝－x. 追根溯源 (人B选择性必修③P91T6)求满足下列条件的直线l的方程． (1)过原点且与曲线y＝ln x相切； (2)斜率为e且与曲线y＝ex相切． 发现启迪 从条件上看，两题均是求曲线y＝ln x过坐标原点的切线方程，只不过高考题又结合了分段函数及函数的性质求解，完美阐释了教材的本位作用. 二、复习备考要强化“教材本位” 组——教材信息的发掘训练 1．(北师大选择性必修②P66T1改编)设函数f(x)＝x4＋3x－1，则f′(2)＝(　 ) A．37 B．21 C．35 D．－1 解析：选C　由f′(x)＝4x3＋3，得f′(2)＝35. 2．(苏教选择性必修①P203T2改编)[多选]下列函数求导运算正确的是(　 ) A．若y＝，则y′＝－ B．若y＝4x，则y′＝4x C．若y＝，则y′＝ D．若y＝xex，则y′＝(x＋1)ex 答案：AD 3．(人A选择性必修②P82“探究与发现”拓展：牛顿法——用导数方法求方程的近似解) 如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为(　 ) A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375 解析：选B　由f(x)＝x2－2(x>0)，求导得f′(x)＝2x，而x0＝2，则f′(x0)＝4.又f(x0)＝2，于是函数f(x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)．令y＝0，得x1＝，则f′(x1)＝3，f(x1)＝2－2＝，因此函数f(x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3.令y＝0，得x2＝≈1.417. 4．(人A选择性必修②P78T3改编)曲线y＝f(x)＝x2＋在点(1,4)处的切线方程为____________． 解析：易知f′(x)＝2x－，则f′(1)＝－1，故f(x)在点(1,4)处的切线方程为y－4＝－(x－1)，即x＋y－5＝0. 答案：x＋y－5＝0 B组——迷点盲点的澄清训练 1．(混淆f′(x0)与[f(x0)]′)已知函数f(x)＝ex＋x3f′(1)，则f(1)＝(　 ) A．e B．－e C. D．－ 解析：选C　f(x)＝ex＋x3f′(1)，则f′(x)＝ex＋3x2f′(1)，故f′(1)＝e＋3f′(1)，解得f′(1)＝－，f(x)＝ex－x3，所以f(1)＝e－＝. 2．(忽视f′(ax＋b)与[f(ax＋b)]′的区别)已知f(x)＝x3，则f′(2x＋3)＝__________，[f(2x＋3)]′＝__________. 解析：f′(x)＝3x2，所以f′(2x＋3)＝3(2x＋3)2.[f(2x＋3)]′＝[(2x＋3)3]′＝3(2x＋3)2(2x＋3)′＝6(2x＋3)2. 答案：3(2x＋3)2　6(2x＋3)2 题点一　导数的运算(自主练通) 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C　由已知得f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6. 2．已知函数f(x)＝＋alog2x，若f′(1)＝0，则实数a的值为(　 ) A．ln 4 B．ln 2 C．－ln 4 D．－ln 2 解析：选A　因为f′(x)＝－＋，所以f′(1)＝－2＋＝0，解得a＝ln 4. 3．[多选]下列求导运算正确的是(　 ) A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3) B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1 C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1 解析：选ACD　因为f(x)＝sin(2x＋3)，所以f′(x)＝2cos(2x＋3)，故A正确；因为f(x)＝e－2x＋1，所以f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；因为f(x)＝，所以f′(x)＝，故C正确；因为f(x)＝xln x，所以f′(x)＝ln x＋1，故D正确． 4．已知函数f(x)＝sin x＋4x，则 ＝__________________. 解析：∵f′(x)＝cos x＋4，∴f′(π)＝3， ∴ ＝2 ＝2f′(π)＝6. 答案：6 [思维建模] 常用求导技巧 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用公式化简函数，再求导； (6)复合函数：确定复合关系，由外向内，层层求导． 题点二　导数的几何意义 考法(一)　求切线方程　 例1　(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　 ) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 解析：选C　由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C. 例2　(2023·南通二模)过点(－1,0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程__________． 解析：由y＝x3－x，得y′＝3x2－1，设切点坐标为(x0，x－x0)，则切线斜率为3x－1，得方程y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，代入点(－1,0)，得2x＋3x－1＝0，即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，解得x0＝－1或x0＝.当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0. 答案：2x－y＋2＝0(答案不唯一) 易错防范 求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即在曲线上，否则会出现所求切线方程不满足题意． 易错再练 已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为____________． 答案：x－y－1＝0 |思维建模|　求切线方程的策略 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等，切点在切线上，切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． 考法(二)　求切点坐标　 例3　曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x，则点P的坐标为(　 ) A．(2,8)或(－1，－4) B．(1,0)或(－1，－4) C．(－1，－4) D．(1,0) 解析：选D　由f(x)＝x3＋x－2得f′(x)＝3x2＋1，设点P(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4⇒x0＝±1.将x0＝±1代入f(x)中可得f(1)＝0，f(－1)＝－4，故P(1,0)或P(－1，－4)．当P(－1，－4)时，切线方程为y＋4＝4(x＋1)⇒y＝4x，不符合题意，舍去．所以点P(1,0)． 易错防范 此处易忽视验证与直线重合的情况而造成增解． 易错再练 已知曲线y＝x3＋3x在点P处的切线与直线y＝15x＋3平行，则点P的坐标为(　 ) A．(2,14)　　　　　　 B．(－2，－14) C．(2,14)或(－2，－14) D．以上都不对 答案：C |思维建模|　求切点坐标的关键点 (1)f′(x)＝k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标； (2)求解曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其定义域． 考法(三)　求参数范围　 例4　若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 快审准解：设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围． 解析：∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)ex0，切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0，切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0·(x－x0)．∵切线过原点，∴－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(－x0)，整理得x＋ax0－a＝0.∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) |思维建模|　由导数的几何意义求参数范围的方法 利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． [提醒]　注意曲线上点的横坐标的取值范围． [针对训练] 1．(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝－，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　 ) A．3x＋2y－3＝0 B．3x－2y－3＝0 C．2x－3y－2＝0 D．2x－3y＋2＝0 解析：选B　f(1)＝0，切点为(1,0)，f′(x)＝＋，k＝f′(1)＝，所以切线方程为y＝(x－1)，即3x－2y－3＝0. 2．(2023·成都三模)已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝(　 ) A．－1 B．－2 C．－3 D．0 解析：选C　由题意可得y′＝ln x＋1－ae－x，根据导数的几何意义可知，在点x＝1处的切线斜率为1－＝2，解得a＝－e，所以切点为(1，－1)．代入切线方程可得2＋1＋b＝0，解得b＝－3. 3．若函数f(x)＝2ln x＋x2＋mx＋1的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为(　 ) A．(－∞，－4) B．(－∞，4) C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞) 快审准解：由f′(x)>0恒成立列不等式，利用分离常数法，结合基本不等式求得m的取值范围． 　 解析：选C　f(x)的定义域是(0，＋∞)，依题意，f′(x)＝＋2x＋m>0恒成立，即－m<＋2x恒成立，由于＋2x≥2＝4，当且仅当＝2x，x＝1时等号成立，所以－m<4，m>－4. 题点三　两曲线的公切线问题 例5　若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－1和y＝ex－1的公切线，则实数k的值是(　 ) A．e－1 B．e C．0 D．1 快审准解：设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－1，y＝ex－1分别相切于点A(x1，ex1－1)，B(x2，ex2－1)，利用导数求出曲线y＝ex－1在点A处的切线方程，以及曲线y＝ex－1在点B处的切线方程，可得出关于x1，x2的方程组，解出这两个量的值，即可求得k的值． 　 解析：选D　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－1，y＝ex－1分别相切于点A(x1，ex1－1)，B(x2，ex2－1)．对函数y＝ex－1求导得y′＝ex，则k＝ex1，曲线y＝ex－1在点A处的切线方程为y－ex1＋1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x＋(1－x1)ex1－1.对函数y＝ex－1求导得y′＝ex－1，则k＝ex2－1，曲线y＝ex－1在点B处的切线方程为y－ex2－1＝ex2－1(x－x2)，即y＝ex2－1x＋(1－x2)ex2－1，所以化简可得 [思维建模] 求解公切线问题的策略 (1)设直线与曲线y＝f(x)相切于点P(x1，f(x1))，与曲线y＝g(x)相切于点Q(x2，g(x2))； (2)切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x－f′(x1)x1＋f(x1)，同理切线方程也为y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)，即y＝g′(x2)x－g′(x2)x2＋g(x2)； (3)由解出x1，x2，从而得出切线方程． [针对训练] 4．若直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，与曲线y＝(x＋3)2也相切，切点为N(x2，y2)，则2x1－x2的值为(　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选B　因为直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，所以直线l的方程为y＝ex1(x－x1)＋ex1＝ex1x＋(1－x1)ex1.又直线l与曲线y＝(x＋3)2也相切，切点为N(x2，y2)，所以直线l的方程为y＝2(x2＋3)(x－x2)＋(x2＋3)2＝2(x2＋3)x－x＋9，所以两式相除，可得2(1－x1)＝3－x2，所以2x1－x2＝－1. 5．已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为________． 解析：设公共点为P(x0，y0)(x0>0)，则ax＝ln x0.由f(x)＝ax2，得f′(x)＝2ax.由g(x)＝ln x，得g′(x)＝.因为函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点P(x0，y0)处有共同的切线，所以f′(x0)＝g′(x0)，即2ax0＝，得a＝.所以·x＝ln x0，即ln x0＝，得x0＝e.所以a＝＝. 答案： [课时跟踪检测] 1．已知函数f(x)＝2f′(0)x＋ex，则f(2)＝(　 ) A．e2－4 B．e2－1 C．－1 D．e2＋4 解析：选A　因为f(x)＝2f′(0)x＋ex，所以f′(x)＝2f′(0)＋ex，所以f′(0)＝2f′(0)＋e0，解得f′(0)＝－1.所以f(x)＝－2x＋ex，得f(2)＝e2－4. 2．[多选]下列求导运算正确的是(　 ) A．[cos(－2x)]′＝2sin x B．若f(x)＝，则f′(x)＝ C．(e3)′＝3e2 D．(lg 2x)′＝ 解析：选BD　[cos(－2x)]′＝－sin(－2x)·(－2x)′＝2sin(－2x)，故A错误；f′(x)＝＝，故B正确；(e3)′＝0，故C错误；(lg 2x)′＝×(2x)′＝，故D正确． 3．设函数f(x)＝ln(3x＋a)，若f′(0)＝1，则a＝(　 ) A．3 B．e C．ln 3 D．1 解析：选A　由f(x)＝ln(3x＋a)，可得f′(x)＝，由f′(0)＝1，可得＝1，解得a＝3. 4.如图，已知函数f(x)的图象在点P(2，f(2))处的切线为直线l，则f(2)＋f′(2)＝(　 ) A．－3 B．－2 C．2 D．1 解析：选D　由导数的几何意义可得，切线l的斜率为f′(2)＝＝－1，则直线l的方程为y＝－x＋4.又因为点P(2，f(2))在直线l上，所以f(2)＝－2＋4＝2，因此f(2)＋f′(2)＝2－1＝1. 5．(2024·上饶模拟)设f(x)为可导函数，且 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　 ) A．2 B．－1 C．1 D．－ 解析：选D　由导数的几何意义，点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)，因为Δx→0时，→－1，所以f′(1)＝ ＝＝－，所以在点(1，f(1))处的切线斜率为－，故选D. 6．已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　 ) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 解析：选D　因为y′＝aex＋ln x＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.所以解得 7．若曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则实数a等于(　 ) A．－1 B．－ C．－2 D．2 解析：选C　∵y＝2sin x－2cos x，∴y′＝2cos x＋2sin x，∴曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线的斜率k＝y′|x＝＝2cos＋2sin＝2.∵切线与直线x－ay＋1＝0垂直，∴直线x－ay＋1＝0的斜率为－＝－，∴a＝－2. 8．(2024·南通统考)已知f(x)＝(a≠0)是奇函数，则f(x)在x＝0处的切线方程是(　 ) A．y＝x B．y＝2x C．y＝ex D．y＝2ex 解析：选B　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝0，化简可得eax－e2x＋e2x－ax－1＝0，当a＝2时，对任意x∈R方程成立，故f(x)＝＝ex－e－x，所以f′(x)＝ex＋e－x，故k＝f′(0)＝2，所以切线方程为y－f(0)＝2x，即y＝2x. 9．(2024·西安模拟)函数f(x)＝x－aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围是(　 ) A．(1,6) B．(1,3) C．(3,4) D．(4,6) 解析：选C　设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，则k＝f′(x0)＝1－，当a≤0时，k＝1－>0，故不存在k1k2＝－1；当a>0时，满足所以3<a<4. 10．[多选]若直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，则曲线y＝f(x)的方程可以是(　 ) A．f(x)＝x3＋2x2＋8 B．f(x)＝tan x C．f(x)＝e D．f(x)＝ln 解析：选AC　因为直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，所以y＝f(x)在某点处的导数值为.由f(x)＝x3＋2x2＋8，得f′(x)＝3x2＋4x，令f′(x)＝3x2＋4x＝，即6x2＋8x－1＝0，因为Δ＝82－4×6×(－1)>0，所以f′(x)＝有解，故A正确．由f(x)＝tan x，得f′(x)＝，令f′(x)＝＝，可得cos2x＝2，无解，故B不正确．由f(x)＝e，得f′(x)＝e>0，故f′(x)＝有解，故C正确．f(x)＝ln的定义域为，令f′(x)＝－＝，可得x＝－，不符合x>－，所以f′(x)＝无解，故D不正确． 11．若曲线y＝x3－3x2＋ax－1在点x0处的切线经过坐标原点，则x0＝(　 ) A．－ B．2 C．1或－ D．1或2 解析：选C　由题意，得y′＝3x2－6x＋a，设切点的坐标为(x0，y0)，故切线的斜率k＝3x－6x0＋a.由于切线过原点，故切线方程为y＝(3x－6x0＋a)x.又切点为(x0，y0)，即y0＝x－3x＋ax0－1＝(3x－6x0＋a)x0.整理可得2x－3x＋1＝0，即2(x－x)－(x－1)＝0⇔2x(x0－1)－(x0－1)·(x0＋1)＝0⇔(x0－1)(2x－x0－1)＝0，即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，故x0＝1或x0＝－. 12．若过点P(a,0)与曲线y＝xex相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是(　 ) A．[0，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：选D　设切点为(x0，x0ex0)，则y′|x＝x0＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)·ex0(x－x0)．切线过点P(a,0)，代入得－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，即方程x－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a>0，解得a>0或a<－4. 13．(2024·绵阳期中)f(x)＝sin2(2x＋3)的导函数f′(x)＝_________. 解析：由题意得f′(x)＝2sin(2x＋3)×cos(2x＋3)×2＝2sin(4x＋6)． 答案：2sin(4x＋6) 14．(2023·长沙三模)函数f(x)＝xln x在x＝e处的切线方程为_________． 解析：因为f(x)＝xln x，则f(e)＝eln e＝e，又f′(x)＝ln x＋1，则f′(e)＝ln e＋1＝2，所以函数f(x)＝xln x在x＝e处的切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e. 答案：y＝2x－e 15．(2024·大同统考)若函数f(x)＝aln x－在点(1，f(1))处的切线斜率为1，其中a>0，b>0，则ab的最大值为________． 解析：因为f(x)＝aln x－，则f′(x)＝＋，故f(x)在(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝a＋b，所以a＋b＝1.因为a>0，b>0，由基本不等式可得ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故ab的最大值为. 答案： 16．(2024·扬州模拟)若直线l是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex－2的切线，则直线l的方程为________． 解析：设y＝kx＋b与y＝ex－2和y＝ln x的切点分别为(x1，ex1－2)，(x2，ln x2)，由导数的几何意义可得k＝ex1－2＝.曲线y＝ex－2在点(x1，ex1－2)处的切线方程为y－ex1－2＝ex1－2(x－x1)，即y＝ex1－2x＋(1－x1)ex1－2.曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1，则解得x2＝1或x2＝e，所以k＝1或k＝.代入得y＝x－1或y＝x. 答案：y＝x－1或y＝x 17．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$