第2章 第10节 函数与方程(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第十节　函数与方程 1.理解函数的零点与方程解的关系．了解函数零点存在定理，并能简单应用． 2．能借用工具用二分法求方程的近似解，了解二分法求方程的近似解具有一般性. 回首教材 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点. (3)函数零点的判定(函数零点存在定理 ) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 3．二次函数图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无 零点个数 _2_ _1_ _0_ [微点提醒] (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上具有单调性，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接” (示例分析) 考题品悟 (2023·天津高考) 若函数f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)∪(1，＋∞)． 追根溯源 (苏教必修①P254T15) 设函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax，其中a∈R. (1)若函数y＝f(x)是R上的偶函数，求a的值； (2)若关于x的方程f(x)＝g(x)有两个解，求a的取值范围． 发现启迪 高考题与教材习题都是根据零点的个数求参数的范围，解决的方法可以数形结合，也可以直接求解确定参数的范围. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修①P155T2改编) 已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　 ) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64 A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B　由题表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 2．(人B必修①P126T3改编) 函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　 ) A．－2 B．－ C. D．2 解析：选B　由题意知，f(1)＝＋a＝0，解得a＝－. 3．(苏教必修①P253T8改编) 已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　 ) A．2 B．－2,0 C. D．0 解析：选D　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去)．综上，函数的零点为0. 组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽略二次项系数为零) 函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为(　 ) A．－ B．0 C. D．0或－ 解析：选D　当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上有a＝0或a＝－. 2．(忽略函数零点存在定理的条件) 设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根所在区间为(　 ) A．(2,2.25) B．(2.25,2.5) C．(2.5,2.75) D．(2.75,3) 解析：选C　因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5,2.75). 题点一　函数零点所在区间的判定 (自主练通) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．[多选] 已知函数y＝f(x)的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则(　 ) x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314 A．f(x)在区间(2,3)上不一定单调 B．f(x)在区间(5,6)内可能存在零点 C．f(x)在区间(5,6)内一定不存在零点 D．f(x)至少有3个零点 解析：选ABD　由所给表格可知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0.又函数y＝f(x)的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)存在零点，即f(x)至少有3个零点，故D正确；对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值，故无法判断f(x)在区间(2,3)上的单调性，故A正确；对于B、C，虽然f(5)<0，f(6)<0，由于不知道函数在(5,6)内的取值情况，所以函数在(5,6)内可能存在零点，故B正确，C错误．故选ABD. 2．函数f(x)＝x－2－ 的零点所在区间是(　 ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：选B　因为函数y＝x－2和y＝－在[0，＋∞)上都单调递减，所以f(x)＝x－2－在[0，＋∞)上单调递减，又f(0)＝4>0，f(1)＝1>0，f(2)＝1－<0，f(3)＝－<0，f(4)＝－<0，故f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在区间是(1,2). 3．[多选] 函数f(x)＝2x2－4ln x－3，则(　 ) A．f(x)在内有零点 B．f(x)在内有零点 C．f(x)在内有零点 D．f(x)在(e，e2)内有零点 解析：选AC　作出函数y＝2x2－3和y＝4ln x的图象，如图所示，由图象可知，f(x)最多有两个零点，因为f＝＋4－3>0，f()＝2e－2－3>0，f(1)＝2－3<0，f(e)＝2e2－4－3>0，f(e2)＝2e4－8－3>0，所以ff(1)<0，f(1)f()<0，由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点，在(1，)内有零点. 4．若x0是方程x＝x的根，则x0属于区间(　 ) A. B． C. D． 解析：选C　构造函数f(x)＝x－x，易知函数f(x)在R上单调递减，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，易知f(0)＝0－0＝1＞0，f＝－＞0，f＝－＜0，f＝－＜0，f(1)＝－1＝－＜0，结合选项，因为f·f＜0，故函数f(x)的零点所在的区间为，即方程x＝x的根x0属于区间. [思维建模] 确定函数零点所在区间的常用方法 利用函数 零点存在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点 数形结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 题点二　函数零点个数的判定 例1　已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　法一：直接法　由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.当x＞0时，得ln x＝3或ln x＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解．所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2，故选B. 法二：图象法　作出函数f(x)的图象，如图，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与直线y＝3的交点个数，作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，故函数y＝f(x)－3的零点个数是2，故选B. 例2　已知函数f(x)定义在R上，且f(－x)＝－f(x)，满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数y＝f(x)－x3的零点个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，可得f(x)为奇函数，又由f(x＋2)＝f(－x)，可得f(x)的对称轴为x＝1，由f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，可得f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，则f(x)的最小正周期为4，函数y＝f(x)－x3的零点即函数y＝f(x)与函数y＝x3图象交点的横坐标．又当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)与函数y＝x3图象如图所示，两函数图象有3个公共点(0,0)，(1,1)，(－1，－1)，则函数y＝f(x)－x3的零点个数是3. [思维建模] 函数零点个数的判定方法 直接求零点 令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 利用函数 零点存在定理 利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 图象法 画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 [针对训练] 1．已知函数f(x)＝则方程f(x)－2|x|＝0的解的个数是(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B　由f(x)－2|x|＝0可得f(x)＝2|x|，则方程f(x)－2|x|＝0的解的个数等于函数y＝2|x|与函数y＝f(x)的图象交点的个数，作出函数y＝2|x|与函数y＝f(x)的图象如图所示，由图可知，函数y＝2|x|与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点，即方程f(x)－2|x|＝0的解的个数为1. 2．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，则函数f(x)在R上的零点的个数是________． 解析：当x>0时，令2x－x2＝0，解得x＝2或x＝4；根据奇函数的对称性，当x<0时，f(x)的零点是x＝－2，x＝－4.又f(0)＝0，所以f(x)在R上共有5个零点. 答案： 5 题点三　函数零点的应用 考法(一)　根据函数零点范围求参数范围 例3　(2023·阳泉三模) 若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)存在零点，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－5) B．(－5，－1) C．(1,5) D．(5，＋∞) 解析：选B　由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)存在零点，所以即解得－5<m<－1，所以实数m的取值范围是(－5，－1). 考法(二)　根据零点个数求参数范围　 例4　(2024·北京西城一模) 设c∈R，函数f(x)＝ 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是(　 ) A．(0,1) B．{0}∪[1，＋∞) C. D．{0}∪ 解析：选D　画出函数g(x)＝的图象如图所示，函数f(x)＝可由g(x)＝分段平移得到，易知当c＝0时，函数f(x)恰有一个零点，满足题意；当c<0时，代表图象向上平移，显然没有零点，不符合题意；当c>0时，图象向下平移，当0<2c<1时，函数有两个零点；当2c≥1时，f(x)恰有一个零点，满足题意，即c≥.综上，c的取值范围是{0}∪. [思维建模] 由函数零点个数或所在区间求参数的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围 分离参数法 先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决 数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解 [针对训练] 3．(2024·自贡模拟) 设函数f(x)＝＋x2－4x有唯一的零点，则实数m为(　 ) A．2 B． C．3 D． 解析：选B　令t＝x－2，则g(t)＝(3t＋3－t)＋t2－4，因为g(－t)＝(3－t＋3t)＋(－t)2－4＝(3t＋3－t)＋t2－4＝g(t)，所以函数g(t)是偶函数．因为函数f(x)有唯一的零点，所以函数g(t)有唯一的零点．则g(0)＝0，即(1＋1)＋0－4＝0，解得m＝. 4．函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是________． 解析：当a＝0时，f(x)＝3，不合乎题意．当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上单调递增，此时函数f(x)在上单调递增．当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上单调递减，此时函数f(x)在上单调递减．因为函数f(x)在区间上有零点，则ff(1)<0，即3(4a＋3)<0，解得a<－. 答案： 5．已知函数f(x)＝若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m的取值范围是________． 解析：结合f(x)的图象，分情况讨论，当m>0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，则⇒0<m<2；当m<0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，则⇒m<－2；当m＝0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．所以m的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2). 答案： (－∞，－2)∪(0,2) 嵌套函数的零点问题 形如y＝fgx的复合函数称此函数为嵌套函数零点相关问题综合性较强，难度稍大，主要涉及判断函数零点的个数或范围.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 1.已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝1的实数根的个数为(　 ) A．7 B．5 C．3 D．2 解析：选B　令f(x)＝t，则f(t)＝1. ①当t≤2时，2|t|－1＝1，∴2|t|＝2，∴|t|＝1，即t＝±1. ②当t>2时，＝1，∴t＝3. 画出函数f(x)的图象，如图所示，若t＝－1，即f(x)＝－1，无解； 若t＝1，直线y＝t＝1与y＝f(x)的图象有3个交点，即f(f(x))＝1有3个不同实根； 若t＝3，直线y＝t＝3与y＝f(x)的图象有2个交点，即f(f(x))＝1有2个不同实根． 综上所述，方程f(f(x))＝1的实数根的个数为5，故选B. 2．(2024·成都模拟) 若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上的解析式为f(x)＝则关于x的方程[f(x)]2＋af(x)－1＝0的解的个数可能为(　 ) A．2或4或5或6 B．2或4或6 C．4 D．6 解析：选C　由题目给出的f(x)的解析式和奇偶性可得f(x)的图象如图，令t＝f(x)，则原方程可化为t2＋at－1＝0，其判别式Δ＝a2＋4>0，故该方程有两个不相等的非零实根t1，t2，且t1t2＝－1，不妨设t1>t2. ①若t1>1时，t1＝f(x)有1解，此时－1<t2<0，t2＝f(x)有3解，所以原方程有4解； ②若t1＝1时，t1＝f(x)有2解，此时t2＝－1，t2＝f(x)有2解，所以原方程有4解； ③若0<t1<1时，t1＝f(x)有3解，此时t2<－1，t2＝f(x)有1解，所以原方程有4解． 综上所述，方程解的个数为4，故选C. 3．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　 ) A．(－1,1] B．(－1,0] C．[0,1] D．[－1,1] 解析：选A　由题意得[f(x)＋a－1][f(x)＋a]＝0，则f(x)＝1－a或f(x)＝－a.作出函数f(x)的图象如图所示，因为关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根，所以或解得－1<a≤1，所以实数a的取值范围为(－1,1]. 4．(2023·杭州二模) 设a∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))恰有3个零点，则实数a的取值范围为________． 解析：当a≥0时，f(x)的大致图象如图1，此时令f(f(x))＝0，可得f(x)＝1，观察图象可解得x＝0或x＝2，即方程有2个根，则此时y＝f(f(x))只有2个零点，不合题意；当a<0时，f(x)的大致图象如图2，此时令f(f(x))＝0，可得f(x)＝1或f(x)＝a，由图易知f(x)＝a恰有一根，则需满足f(x)＝1有两根，而x＝0和x＝2均为f(x)＝1的根，则需满足x<0时，f(x)max<1，又x<0时f(x)＝－x2＋ax的对称轴为x＝，则f(x)max＝f＝<1，解得－2<a<2，则－2<a<0.综上，a的取值范围为(－2,0). 答案： (－2,0) [系统归纳] 一般地，判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令g(x)＝t，求解当f(t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时，x的值的个数即为f(g(x))的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析. [课时跟踪检测] 1．函数y＝4x－2x＋1的零点为(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C　令4x－2x＋1＝0，整理得2x(2x－2)＝0，解得x＝1，所以函数y＝4x－2x＋1的零点为1. 2．函数f(x)＝x3＋sin x－2x的一个零点所在的区间为(　 ) A. B． C. D．(2，π) 解析：选B　连续函数f(x)＝x3＋sin x－2x，由于f(1)＝13＋sin 1－2×1＝sin 1－1<0，f＝3＋sin－2×＝＋1－π＝>0，∴f(1)·f<0，则函数f(x)＝x3＋sin x－2x的一个零点所在的区间为，故选B. 3．[多选] 若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，则下列说法正确的是(　 ) A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点 B．函数f(x)在(3,5)内无零点 C．函数f(x)在[2,5)内有零点 D．函数f(x)在[2,4)内不一定有零点 解析：选ABD　由题意得函数在(1,3)内有零点，在[3,5)内无零点，所以A、B、D正确，C不一定正确. 4．若f(x)＝x＋2x＋a的零点所在的区间为(－2,1)，则实数a的取值范围为(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　因为f(x)＝x＋2x＋a在R上单调递增，且零点所在的区间为(－2,1)，所以只需f(－2)f(1)<0，即(a＋1＋2)<0，解得－3<a<. 5．函数f(x)＝的零点个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　当x≤0时，令2x＋4－3＝0，解得x＝－4＋log23；当x>0时，令2x2－7x＋4－ln x＝0，则2x2－7x＋4＝ln x，在同一直角坐标系中分别作出y＝2x2－7x＋4，y＝ln x的大致图象如图所示，观察可知，它们有2个交点，即函数f(x)有2个零点．综上所述，函数f(x)的零点个数为3.故选C. 6．已知函数f(x)＝恰有2个零点，则a的取值范围是(　 ) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] 解析：选C　当x≥1时，f(x)的零点为1，则x<1必有一个零点，y＝2x－a为一次函数，单调递增，故需2－a>0，即a<2.故选C. 7．若函数f(x)＝x2－4x＋a(e2x－4＋e4－2x)有唯一零点，则实数a＝(　 ) A．2 B． C．4 D．1 解析：选A　由f(4－x)＝(4－x)2－4(4－x)＋a[e2(4－x)－4＋e4－2(4－x)]＝x2－4x＋a(e4－2x＋e2x－4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，要使函数f(x)＝x2－4x＋a(e2x－4＋e4－2x)有唯一的零点，则f(2)＝0，即4－8＋2a＝0，得a＝2. 8．已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是(　 ) A．1<x1<2，x1＋x2<2 B．1<x1<2，x1＋x2<1 C．x1>1，x1＋x2<2 D．x1>1，x1＋x2<1 解析：选A　f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|与y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一直角坐标系中作出y＝|2x－2|与y＝－b的图象如图，可知1<x1<2，－b＝2x1－2＝2－2x2，∴4＝2x1＋2x2>2，∴2x1＋x2<4，∴x1＋x2<2，故选A. 9．[多选] 已知函数f(x)＝－log2x，若0<a<b<1，且满足f(a)f(b)f(c)<0，则下列说法正确的是(　 ) A．f(x)有且只有一个零点 B．f(x)的零点在(1,2)内 C．f(x)的零点不可能在(a，b)内 D．f(x)的零点可能在(c，＋∞)内 解析：选ABC　函数f(x)＝－log2x的定义域为(0，＋∞)，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减．又f(1)＝1－log21＝1>0，f(2)＝－log22＝－<0，所以f(x)有且只有一个零点，且零点在区间(1,2)内，A正确，B正确；因为0<a<b<1，所以f(x)的零点不可能在(a，b)内，C正确；因为函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)>0,0<a<b<1，所以f(a)>f(b)>f(1)>0，又f(a)f(b)f(c)<0，所以f(c)<0，所以当x>c时，f(x)<0，所以f(x)的零点不可能在(c，＋∞)内，D错误. 10．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选D　由已知可得，f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数．又函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，根据已知，作出函数y＝f(x)的图象，以及y＝lg x的图象， 因为lg 10＝1，lg 8<lg 9<1，由图象可知，y＝f(x)与y＝lg x共有9个交点，所以函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为9. 11．(2024·保定期末) 已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a(a∈R)有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则(x1＋x2)x4的取值范围是(　 ) A．[－4，－2) B．[－4，－2] C．(－4，－2) D．(－4，－2] 解析：选A　由题意作函数f(x)＝与y＝a的图象如图，∵方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，∴x1，x2关于x＝－1对称，即x1＋x2＝－2，当|log2x|＝1得x＝2或x＝，则1<x4≤2，故－4≤(x1＋x2)x4<－2，故选A. 12．[多选] 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则下列结论正确的是(　 ) A．m的取值范围为(0,1) B．x3的取值范围为[2，＋∞) C．2x1＋2x2＝2 D．2x1＋x2的最大值为1 解析：选AC　函数f(x)＝图象如图所示，由图可得0<m<1，A正确；当＝1时，x＝2, 故x3>2，B错误；又|2x1－1|＝|2x2－1|，且x1<0<x2<1，故－(2x1－1)＝2x2－1，可得2x1＋2x2＝2，C正确；又2＝2x1＋2x2≥2，可得2x1＋x2≤1，又x1≠x2，故等号不成立，即2x1＋x2<1，D错误．故选AC. 13．函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，则其另一个零点为________． 解析：法一　因为函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，将(1,0)代入得a＋2a＋3＝0，解得a＝－1.所以y＝－x2－2x＋3.令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝－3，所以函数的另一个零点为－3. 法二　由函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，可得方程ax2＋2ax＋3＝0(a≠0)的一个根为1，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－＝－2，所以另一个根为－3.故函数的另一个零点为－3. 答案： －3 14．若函数f(x)＝3|x|－m|x|＋m2－2(x∈R)有唯一零点，则实数m的值为________． 解析：∵x∈R，f(－x)＝3|－x|－m|－x|＋m2－2＝f(x)，∴f(x)是偶函数，根据偶函数的性质，可得f(0)＝0,30＋m2－2＝0，解得m＝±1.当m＝1时，此时f(x)＝3|x|－|x|－1，有唯一零点；当m＝－1时，此时f(x)＝3|x|＋|x|－1，也有唯一零点．故m＝±1时有唯一零点． 答案： ±1 15．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a恰有两个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：由题设y＝a与f(x)有两个交点，根据f(x)的解析式，可得其图象如图所示，当x≤1时，f(x)∈；当x>1时，f(x)∈(0，＋∞)．要使y＝a与f(x)有两个交点，则a≥. 答案： 16．已知函数f(x)＝若存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是________． 解析：作出函数f(x)＝的图象，由图知当x＝5时，f(5)＝－52＋10×5－20＝5，f(x)＝x＋在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，f(2)＝4，令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m，若存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，由图可得4<m<5，因为x＋＝m即x2－mx＋4＝0，所以x1＋x2＝m，因为函数f(x)＝－x2＋10x－20的对称轴为x＝5，所以x3＋x4＝10，所以x1＋x2＋x3＋x4＝m＋10∈(14,15). 答案： (14,15) 17．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：选A　令t＝f(x)，则函数g(t)＝t2＋(a－2)t－2a.由t2＋(a－2)t－2a＝0，得t＝2或t＝－a.f(x)＝|ex－1|＋1＝作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a<2，即－2<a<－1. 18．函数f(x)＝方程[f(x)]2－af(x)－a＋3＝0有6个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 解析：由题设，f(x)图象如图所示， 令t＝f(x)，要使原方程有6个不同的实数解，则t2－at－a＋3＝0有两个不同实根t1，t2且t1<t2.若t1＝0，则－a＋3＝0，则a＝3，此时t2－3t＝0，t2＝3，显然此时不合题意，故由图知0<t1<1<t2<2，即g(t)＝t2－at－a＋3的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，而g(t)图象开口向上，故⇒2<a<. 答案： 19．已知函数f(x)＝ (1)当m＝0时，函数f(x)的零点个数为________； (2)如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为________． 解析：(1)m＝0时，当x≤0时，令x2＋2x＝0可得x＝－2或x＝0，符合题意．当x>0时，令x＋4＝0得x＝－4，不符合题意．综上，当m＝0时，f(x)有2个零点． (2)若m<－2，则f(x)在(－∞，m]上无零点，在(m，＋∞)上至多有一零点，不符合题意；若－2≤m<0，则f(x)在(－∞，m]上有1个零点x＝－2，在(m，＋∞)上无零点 ，不符合题意；若m≥0，则f(x)在(－∞，m]上有2个零点x＝－2，x＝0，在(m，＋∞)上无零点，符合题意．所以m≥0. 答案： (1)2　(2)[0，＋∞) 20．已知f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0仅有一解，则a的取值范围是__________． 解析：若a＝0，则方程f(f(x))＝0有无数个解，故a≠0.∵f(f(x))＝0，∴lg f(x)＝0或＝0(舍去)，∴f(x)＝1，∴lg x＝1或＝1，∴x＝10或a＝x－1.∵关于x的方程f(f(x))＝0仅有一解，∴a＝x－1在x≤0上无解，∴a>－1.综上所述， a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案： (－1,0)∪(0，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$