第2章 第9节 函数的图象(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第九节　函数的图象 1.会画简单的函数图象，理解函数图象的作用． 2．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 回首教材 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，具体步骤如下． (1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等 )；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等 )，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数图象 平移变换 y＝f(x)的图象y＝f(x＋a)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)＋h的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)－h的图象 对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)的反函数的图象 y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象 翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象 y＝f(x)的图象 y＝f(|x|)的图象 伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象 y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象 [微点提醒] (1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系，如从y＝f(－2x)的图象到y＝f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度，即将x变成x－，这与三角函数中的图象变换是一致的．如把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝sin的图象． (2)“上加下减”只针对函数值f(x)． 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接” (示例分析) |考题品悟| 　 (2023·天津高考) 函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为( D ) A．f(x)＝　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ |追根溯源| 　 (人A必修①P139T4) 函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)可能是(　 ) A．y＝1－x－1，x∈(0，＋∞) B．y＝－x，x∈(0，＋∞) C．y＝ln x D．y＝x－1，x∈(0，＋∞) |发现启迪| 　 高考题与教材习题考查角度非常类似，都是给出函数的图象选择函数的解析式，解决此类问题要抓住函数图象的特征，结合排除法选出解析式，这表明了新高考“少算多想”的理念. 二、复习备考要强化“教材本位” 组——教材信息的发掘训练 1．(北师大必修①P56例3改编) 已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　 ) A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|) 解析：选C　题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，∴题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|). 2．(人A必修①P140T6) 在2 h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　 ) 解析：选B　依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B符合. 3．(人A必修①P82“探究结论”的应用：偶函数的图象关于y轴对称) 函数f(x)＝的图象关于________对称(　 ) A．y轴 B．x轴 C．原点 D．直线y＝x 解析：选A　函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称. 4．(苏教必修①P111T3改编) 若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________. 解析：由f(－1)＝ln(－1＋a)＝0得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1,3)，则2×(－1)＋b＝3，得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 答案： －1 B组——迷点盲点的澄清训练 1．(混淆分段函数的分类标准) 已知函数f(x)＝则函数f(1＋2x)的图象是(　 ) 解析：选B　由题意得，当1＋2x≥0，即x≥－时，f(1＋2x)＝2＋2x；当1＋2x＜0，即x＜－时，f(1＋2x)＝－2x－1，所以f(1＋2x)＝故选B. 2．(函数图象平移法则理解不清) 将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象． 解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1，即得到y＝f(－x＋1)的图象. 答案： y＝f(－x＋1) 题点一　作函数的图象 (自主练通) 作出下列函数的图象： (1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝x2－2|x|－1；(4)y＝. 解：(1)先作出y＝x的图象，保留图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②. (3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③. (4)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图④所示. [思维建模] 函数图象的画法 直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象 转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象 图象 变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响 题点二　函数图象的辨识 例1　(2022·全国甲卷) 函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间的图象大致为(　 ) 解析：选A　法一　取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0；取x＝－1，则y＝cos(－1)＝－cos 1<0.结合选项知选A. 法二　令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数，排除B、D；取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C.故选A. 例2　如图所对应的函数的解析式可能是(　 ) A．f(x)＝(x－1)ln|x| B．f(x)＝xln|x| C．f(x)＝(x－1)ln x D．f(x)＝(x－1)ex(x≠0) 解析：选A　由题图可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而C选项中函数的定义域为(0，＋∞)，故排除C；对于B，由f(x)＝xln|x|，f(－x)＝－xln|x|，所以f(－x)＝－f(x)，即函数为奇函数，排除B；对于D，当0<x<1时，x－1<0，ex>0，所以f(x)＝(x－1)ex<0，排除D. [思维建模] 辨别函数图象的几个关键点 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (5)寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. [针对训练] 1．(2023·德州三模) 函数f(x)＝的图象大致是(　 ) 解析：选D　由函数f(x)＝的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又由f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，可排除A、B选项；当x∈(0,1)时，f(x)<0；当x＝1时，f(x)＝0；当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得x→＋∞时，f(x)→0，可排除C选项. 2．(2024·深圳中学模拟) 已知函数y＝f(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是(　 ) A．y＝x2f(x) B．y＝ C．y＝xf(x) D．y＝x[f(x)]2 解析：选C　对于A，当x<0时，f(x)<0，所以x2f(x)<0，故A不符合题意；对于B，当x<0时，f(x)<0，所以<0，故B不符合题意；对于C，当x<0时，f(x)<0，所以xf(x)>0，且x→－∞时，f(x)→－∞，xf(x)→＋∞；当x>0时，f(x)>0，所以xf(x)>0，且x→＋∞时，f(x)→0，xf(x)→0，故C符合题意；对于D，当x<0时，f(x)<0，则[f(x)]2>0，所以x[f(x)]2<0，故D不符合题意．故选C. 题点三　函数图象的应用 考法(一)　研究函数的性质　 例3　[多选] 已知函数f(x)＝f(－x)，且f(x)的对称中心为(1,0)，当x∈[2,3]时，f(x)＝3－x，则下列选项正确的是(　 ) A．f(x)的最小值是－1 B．f(x)在(－3，－2)上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝－2对称 D．f(x)在(3,4)上的函数值大于0 解析：选AC　根据f(x)＝f(－x)可得f(x)为偶函数，又对称中心为(1,0)，可知f(x)的图象关于(1,0)对称，结合x∈[2,3]时，f(x)＝3－x，可画出f(x)的部分图象如图所示，由图象可知，f(x)的最小值是－1，f(x)在(－3，－2)上单调递增，f(x)的图象关于直线x＝－2对称，f(x)在(3,4)上的函数值小于0，故A、C正确，B、D错误，故选AC. |思维建模| 对于已知解析式或易画出在给定区间上的图象的函数，常借助图象研究其性质： (1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值． (2)从图象的对称性分析函数的奇偶性． (3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性. 考法(二)　解不等式　 例4　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　 ) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 解析：选C　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，由x2f(x)>2f(x)， 得(x2－2)f(x)>0，则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2). |思维建模| 　利用函数的图象解不等式的基本思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解. 考法(三)　求参数的取值范围　 例5　已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是____________． 解析：不妨设a<b<c，画出函数f(x)的图象． ∵f(a)＝f(b)＝f(c)，∴－log2a＝log2b＝－c＋5，∴解得∴8<abc<20. 答案： (8,20) |思维建模| 　求解函数图象应用问题的思维流程 [针对训练] 3.[多选] 函数f(x)的定义域为[－1,1)，其图象如图所示．函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1,0]时，g(x)＝f(x)．则下列结论正确的是(　 ) A．g(1)＝ B．不等式g(x)>0的解集为R C．函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k＋1]，k∈Z D．对于∀x∈R，g(1－x)＝g(x) 解析：选AC　由g(x)满足g(x＋2)＝g(x)，可知函数g(x)是周期为2的周期函数，又函数g(x)是R上的偶函数，所以g(－x)＝g(x)，且当x∈[－1,0]时，g(x)＝f(x)，作出g(x)大致图象如图所示， 由图可知g(1)＝g(－1)＝f(－1)＝，故A正确；不等式g(x)>0的解集为{x|x≠2k，k∈Z}，故B错误；函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k＋1]，k∈Z，故C正确；若对于∀x∈R，g(1－x)＝g(x)，则x＝是g(x)的对称轴，由图象可知x＝不是g(x)的对称轴，故D错误. 4．已知函数f(x)＝则f(x)≤x的解集为(　 ) A．(－∞，0] B．(－1,0] C．(－1,0]∪[1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选C　作出函数y＝f(x)与y＝x的图象，如图，当x≥1时，x≤x，由图象可知，此时解得x∈[1，＋∞)；当－1<x<1时，log4(x＋1)≤x，两函数图象的交点坐标为(0,0)，，结合图象知此时x∈(－1,0]．所以不等式f(x)≤x的解集为(－1,0]∪[1，＋∞). [课时跟踪检测] 1．为了得到函数y＝log2(2x＋2)的图象，只需把函数y＝log2x的图象上所有的点(　 ) A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析：选C　因为y＝log2(2x＋2)＝log2[2×(x＋1)]＝log22＋log2(x＋1)＝log2(x＋1)＋1，所以为了得到函数y＝log2(2x＋2)的图象，只需把函数y＝log2x的图象上所有的点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度. 2．函数f(x)＝1－的图象大致为(　 ) 解析：选C　函数f(x)＝1－的图象是将函数y＝－的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到；又由于函数y＝－的图象关于原点中心对称，所以f(x)＝1－的图象关于(－1,1)中心对称，所以C正确. 3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为(　 ) A．(2,5) B．(－5，－2)∪(2,5) C．(－2,0) D．(－2,0)∪(2,5) 解析：选D　因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在x∈[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5). 4．函数f(x)＝x5－x·ex的图象大致是(　 ) 解析：选B　由f(2)＝32－2e2＝2(16－e2)>0，可排除A、D；由f(－2)＝－32＋2e－2＝2(e－2－16)<0，可排除C；故选B. 5．已知函数f(x)＝|x2－1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　 ) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(1，) D．(1,2) 解析：选C　作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于B点，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)，故选C. 6．函数f(x)＝的大致图象是(　 ) 快审准解：观察B、D选项，发现它们的主要区别是当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f(x)的图象在y轴两侧的变化趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验. 解析：选B　易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，因为f(－x)＝＝－，所以函数f(x)为非奇非偶函数，故排除A；易知当x>1时，f(x)>0，故排除C；因为f＝，f＝，所以f<f，故排除D.故选B. 7．(2024·昆明一模)若将函数y＝f(x)的图象平移后能与函数y＝g(x)的图象重合，则称函数f(x)和g(x)互为“平行函数”．已知f(x)＝2－，g(x)＝互为“平行函数”，则m＝(　 ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析：选B　因为f(x)＝2－，g(x)＝＝＝＝m－，而将函数y＝f(x)的图象平移后能与函数y＝g(x)的图象重合，所以m＝1，经检验符合题意，故选B. 8．已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则y＝f(x)的解析式可能是(　 ) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：选D　函数f(x)在x＝0处无定义，排除选项A；函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，排除选项B；当0<x<1时，cos x>0，ex>e－x，故>0，排除选项C，故选D. 9．[多选] 定义min{a，b}＝设f(x)＝min{(x－1)2，x＋1}，则下列结论正确的是(　 ) A．f(x)有最大值，无最小值 B．当x≤0时，f(x)的最大值为1 C．不等式f(x)≤1的解集为(－∞，2] D．f(x)的单调递减区间为(0,1) 解析：选BCD　由题意得f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示，根据图象，可得f(x)无最大值，无最小值，所以A错误；根据图象得，当x≤0时，f(x)的最大值为1，所以B正确；由f(x)≤1得，(x－1)2≤1，解得0≤x≤2，结合图象，得不等式f(x)≤1的解集为(－∞，2]，所以C正确；由图象得，f(x)的单调递减区间为(0,1)，所以D正确. 10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－1，则不等式f(x)－x2≥0的解集是(　 ) A．[0,1] B．[－1,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：选B　当x≥0时，f(x)－x2＝x－1－x2≥0，即x－1≥x2，作出y＝f(x)与y＝x2的部分图象如图，可得问题转化为当x≥0时，f(x)的图象在y＝x2上方，易得当x＝1时，1－1＝1＝12，所以结合图象可得0≤x≤1，再根据f(x)和y＝x2都是定义在R上的偶函数，图象都关于y轴对称，所以原不等式的解为－1≤x≤1. 11．若关于x的不等式4x－logax≤在x∈恒成立，则实数a的取值范围是(　 ) A. B． C. D． 解析：选A　由题意知关于x的不等式4x－≤logax在x∈恒成立，所以当x∈时，函数y＝4x－的图象不在y＝logax的图象的上方，由图可知解得≤a<1.故选A. 12．已知函数y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝2－x交点的横坐标分别为a，b，则a＋b＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 快审准解：作出函数y＝ex和y＝ln x的图象以及直线y＝2－x的图象，利用反函数的性质即可判断. 　 解析：选B　作出函数y＝ex和y＝ln x的图象以及直线y＝2－x的图象，如图，由函数y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝2－x交点A，B的横坐标分别为a，b，由题意知A(a，ea)，B(b，ln b)，也即A(a,2－a)，B(b,2－b)，由于函数y＝ex和y＝ln x互为反函数，二者图象关于直线y＝x对称，而A，B为y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝2－x的交点，故A，B关于y＝x对称，故a＝2－b，∴a＋b＝2. 13.已知f(x)为R上的增函数，且其部分图象如图所示，那么|f(x)|<1的解集是________． 解析：因为f(x)为R上的增函数，且f(0)＝－1，f(3)＝1，不等式|f(x)|<1，即－1<f(x)<1，所以0<x<3，即|f(x)|<1的解集是(0,3). 答案： (0,3) 14．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为________． 解析：根据函数f(x)是周期为4的偶函数，以及当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，画出函数图象如图所示，由图可知，当x∈(－1,0)时，f(x)<0，xf(x)>0符合题意；当x∈(1,3)时，f(x)>0，xf(x)>0符合题意；综上所述，不等式的解集为(－1,0)∪(1,3)． 答案： (－1,0)∪(1,3) 15．函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值是3，则n－m的最大值为________． 解析：函数f(x)＝x(|x|－2)＝的图象如图，当x≥0时，令x(x－2)＝3，得x1＝－1(舍)，x2＝3，当x<0时，令x(－x－2)＝－1，得x3＝－1－，x4＝－1＋(舍)，结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋. 答案： 4＋ 16．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1) 对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为________． 解析：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1<x－1. 令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，当a>1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0<a<1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x≥2时，f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，解得a≤，所以a的取值范围是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$