第2章 第8节 对数函数(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第八节　对数函数 1.了解对数函数的实际意义，会画对数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题． 2．理解对数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 回首教材 1．对数函数的定义 一般地，函数y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，定义域是(0，＋∞). 2．对数函数的图象与性质 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 3.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) 与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1) 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称. [微点提醒] (1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交． (2)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象． (3)底数a与1的大小关系决定了对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性．因此若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接” (示例分析) 考题品悟 (2021·新课标Ⅱ卷) 已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是( C ) A．c<b<a　　　　　 B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 追根溯源 (人A必修①P141T13) 比较下列各题中三个值的大小： (1)log0.26，log0.36，log0.46； (2)log23，log34，log45. 发现启迪 高考题是教材习题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后比较大小，而变形的过程中应用了函数的单调性. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(湘教必修①P126T17) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　 ) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 解析：选D　函数y＝10lg x的定义域和值域都为(0，＋∞)，只有选项D符合题意. 2．(北师大必修①P114例7改编) 已知a＝log0.90.8，b＝log0.80.9，c＝1.41.9，则(　 ) A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a 解析：选D　因为a＝log0.90.8>log0.90.81＝2，b＝log0.80.9<log0.80.8＝1，所以a>2>1>b.因为c＝1.41.9<1.42＝1.96<2，故1<c<2.故选D. 3.(人A必修①P132“探究结论”的应用：同一直角坐标系内函数图象在x轴上方部分远离y轴的对数函数的底数越大) 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________________． 解析：当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0<a<1时，对数函数y＝logax的图象是下降的．对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向，故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是，，，. 答案： ，，， 4．(人A必修①P140T1改编) 函数y＝的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则需满足解得<x≤1. 答案： B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽视对底数的讨论) 若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________． 解析：当0<a<1时，loga<logaa＝1，所以0<a<；当a>1时，loga<logaa＝1，所以a>1. 综上所述，实数a的取值范围是∪(1，＋∞)． 答案： ∪(1，＋∞) 2．(忽略对数函数的定义域) 已知log0.72m<log0.7(m－1)，则实数m的取值范围是________． 解析：∵log0.72m<log0.7(m－1)，∴解得m>1. 答案： (1，＋∞) 题点一　对数函数的图象及其应用 例1　在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是(　 ) 解析：选A　对于A、B，若y＝a－x＝x图象正确，则0<a<1，∴y＝logax＋a单调递减，又x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，A正确，B错误；对于C、D，若y＝a－x＝x图象正确，则a>1，∴y＝logax＋a单调递增，C、D错误. 例2　已知函数f(x)＝|ln x|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　 ) A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) 解析：选C　由f(a)＝f(b)得|ln a|＝|ln b|.如图，根据函数y＝|ln x|的图象及0<a<b，得－ln a＝ln b,0<a<1<b，所以＝b.令g(b)＝a＋4b＝4b＋，根据对勾函数的图象与性质易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)＝5.故a＋4b>5，故选C. [思维建模] (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体步骤如下： ①对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)； ②在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)及函数y＝g(x)的图象； ③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数，由此确定参数的取值或不等式的解的情况. [针对训练] 1．(2024·长沙期中) 若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则函数y＝loga|x|的大致图象是(　 ) 解析：选A　∵|x|≥0，且y＝a|x|的值域为[1，＋∞)，∴a>1.当x>0时，y＝loga|x|＝logax在(0，＋∞)上是增函数．又函数y＝loga|x|＝loga|－x|，∴y＝loga|x|为偶函数，图象关于y轴对称，∴y＝loga|x|的大致图象应为选项A. 2．(2024·顺义模拟) 已知函数f(x)＝log2x－(x－1)2，则不等式f(x)<0的解集为(　 ) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(0,1)∪(2，＋∞) C．(1,2) D．(1，＋∞) 解析：选B　由题意不等式f(x)<0，即log2x－(x－1)2<0，等价于log2x<(x－1)2在(0，＋∞)上的解集，令g(x)＝log2x，h(x)＝(x－1)2，则不等式为g(x)<h(x)，在同一直角坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，可得不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2，＋∞)，故选B. 题点二　对数函数的性质及其应用 考法(一)　比较大小　 例3　(2024·长沙模拟) 已知a＝log21.8，b＝log43.6，c＝，则(　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 解析：选C　因为a＝log21.8＝log41.82，所以a－b＝log41.82－log43.6＝log4<log41＝0，所以a<b.因为a＝log21.8>log2＝＝c，所以a>c.所以b>a>c. 例4　已知a＝3，b＝log2，c＝log，则(　 ) A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．c>b>a 解析：选A　利用函数的单调性，对比出a，b，c三者与特殊值0,1的大小关系，运用中间值法解决问题．因为函数y＝3x为增函数，所以a＝3>30＝1，即a>1；因为y＝log2x为增函数，所以b＝log2<log21＝0，即b<0；因为y＝logx为减函数，所以log1<log<log，即0<c<1，故a>c>b. |思维建模| 　比较对数函数值大小的方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量 过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 考法(二)　解对数不等式　 例5　已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是________． 解析：原不等式⇔①或② 解不等式组①得<x<，不等式组②无解，所以实数x的取值范围是. 答案： 例6　不等式log(＋1)－log(－1)<－的解集是________． 解析：因为log(＋1)－log(－1)<－可化为log<－⇒>⇒1<<3＋2，所以x∈(1,17＋12)，即原不等式的解集为(1,17＋12). 答案： (1,17＋12) |思维建模| 　常见的对数不等式的类型及解题方法 (1)解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，常借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)解形如logaf(x)>b的不等式，应先将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解． (3)解形如logaf(x)>logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式，利用对数函数的单调性“脱去”对数符号，同时应保证真数大于零. 考法(三)　对数函数性质的综合应用　 例7　(2024·邯郸一模) [多选] 已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　 ) A．f(x)的定义域是(－6,4) B．f(x)有最大值 C．不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f(x)在[0,4]上单调递增 解析：选AB　由题意可得解得－6<x<4，即f(x)的定义域是(－6,4)，则A正确；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)<4的解集是(－6，－4)∪(2,4)，则C错误；因为f(x)在(－1,4)上单调递减，所以D错误. |思维建模| 　解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)． (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性. [针对训练] 3．(2023·九江三模) 已知a＝20.2，b＝log0.20.5，c＝log20.2，则(　 ) A．b>a>c B．b>c>a C．a>b>c D．a>c>b 解析：选C　∵a＝20.2>20＝1,0＝log0.21<b＝log0.20.5<log0.20.2＝1，c＝log20.2<log21＝0，∴a>b>c. 4．已知对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，且loga<loga，则关于x的不等式loga(2x－3)>0的解集为__________． 解析：因为loga<loga，当0<a<1时，则有>，无解；当a>1时，则有<，解得a>1，所以a>1，则对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，又关于x的不等式loga(2x－3)>0，所以2x－3>1，解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x－3)>0的解集为(2，＋∞)． 答案： (2，＋∞) 5．(2024·平顶山模拟) 已知函数f(x)＝loga(2－a2x)在区间[3,7]上单调递增，则a的取值范围为__________． 解析：令u(x)＝2－a2x(a>0)，则u(x)＝2－a2x(a>0)在[3,7]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知y＝logau在[3,7]上单调递减，则解得0<a<，即a的取值范围为. 答案： 指、对、幂比较大小的方法 方法(一)　以0,1为中间值法 例1 　已知a＝30.2，b＝20.3，c＝log0.23，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 解析：选A　∵a＝90.1，b＝80.1，∴90.1＞80.1＞0，又∵c＝log0.23＜log0.21＝0，故a＞b＞c.故选A. 例2 　已知a＝0.3，b＝20.2，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a 解析：选C　因为y＝0.3x在R上为减函数，且＞0.2＞0，所以0.3＜0.30.2＜0.30，即0.3＜0.30.2＜1.因为y＝2x在R上为增函数，且0.2＞0，所以20.2＞20＝1，所以0.3＜0.30.2＜1＜20.2，所以b＞c＞a.故选C. [微点拨] 因为指、对、幂函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1(或者－1)比较大小. 方法(二)　作差比较法 例3 　已知20a＝22,22b＝23，ac＝b，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c 解析：选D　分别对20a＝22,22b＝23，ac＝b两边取对数，得a＝log2022，b＝log2223，c＝logab.a－b＝log2022－log2223＝－＝. 由基本不等式，得lg 20·lg 23＜2＝2＜2＝2＝(lg 22)2， 所以(lg 22)2－lg 20·lg 23＞0，即a－b＞0，所以a＞b＞1. 又c＝logab＜logaa＝1，所以a＞b＞c.故选D. [微点拨] (1) 一般情况下，作差，可处理底数不一样的对数比大小. (2)作差的难点在于后续变形处理，注意恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或计算化简，或放缩为具体值，准确计算找对变形方向. 方法(三)　做商比较法 例4 　已知a＝log0.20.3，b＝log0.30.2，c＝log23，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b 解析：选C　由题意，知0＜a＝log0.20.3＜1，b＝log0.30.2＞1，c＝log23＞1，且＝log0.30.2·log32＝·＝. 因为函数f(x)＝x2－x＝2－在上单调递减，且f(0)＝0，且＞lg 3＞lg 2＞0， 所以f(lg 3)＜f(lg 2)＜0，所以＜1，即＜1，所以＜1，即b＜c，故a＜b＜c.故选C. 例5 　已知a＝20.4，b＝3，0.7c＝0.5，则实数a，b，c的大小关系为(　 ) A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 解析：选A　易知a＝20.4＜20.5＝，＝＝＝＝＞1，所以＞a＞b.因为0.72＜0.5＜0.7，所以由0.7c＝0.5，得0.72＜0.7c＜0.7，所以＜c＜2，所以a＜c.所以实数a，b，c的大小关系为c＞a＞b.故选A. 方法(四)　图象交点比较大小 例6 　已知正实数a，b，c满足ec＋e－2a＝ea＋e－c，b＝log23＋log86，c＋log2c＝2，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：选B　ec＋e－2a＝ea＋e－c⇒ec－e－c＝ea－e－2a，故令f(x)＝ex－e－x，则f(c)＝ec－e－c，f(a)＝ea－e－a. 易知y＝－e－x＝－和y＝ex均在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵e－2a＜e－a，故由题可知，ec－e－c＝ea－e－2a＞ea－e－a，即f(c)＞f(a)，则c＞a＞0. 易知b＝log23＋log2＝log23＞2，log2c＝2－c， 作出函数y＝log2x与函数y＝2－x的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在(1,2)内，即1＜c＜2，∴c＜b，∴a＜c＜b. [微点拨] 利用指、对、幂与一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、对勾函数等函数图象，寻找函数图象的交点以比较大小. [课时跟踪检测] 1．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：选B　依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1. 2．(2024·巴中模拟) 已知a＝log32，b＝log311，c＝20.8，则(　 ) A．b>a>c B．b>c>a C．a>b>c D．a>c>b 解析：选B　∵0<a＝log32<log33＝1，b＝log311>log39＝2,1<c＝20.8<2，∴b>c>a. 3．已知函数f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)，则(　 ) A．f(x)有最小值，且最小值为－2 B．f(x)有最小值，且最小值为－1 C．f(x)有最大值，且最大值为－2 D．f(x)有最大值，且最大值为－1 解析：选D　f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)＝log0.5[(x2－2)2＋2]≤log0.52＝－1，所以f(x)有最大值，且最大值为－1，但无最小值. 4．函数f(x)＝x与g(x)＝－log4x的大致图象是(　 ) 解析：选A　因为f(x)＝x在定义域R上单调递减，又g(x)＝－log4x＝logx，所以g(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，故符合条件的只有A. 5.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c是常数，其中a>0且a≠1)的大致图象如图所示，下列关于a，c的表述正确的是(　 ) A．a>1，c>1 B．a>1,0<c<1 C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<c<1 解析：选D　由题图可以看出0<a<1，logac>0，loga(1＋c)<0，故得0<c<1,0<a<1，故选D. 6．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　 ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0) D．∅ 解析：选B　不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1). 7．已知函数f(x)＝log(x2－ax＋4a)在区间[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－2,4] B．[－2,4) C．(－∞，4] D．[4，＋∞) 解析：选A　函数y＝logx在区间[2，＋∞)上单调递减，要使得函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递减，则g(x)＝x2－ax＋4a在区间[2，＋∞)上单调递增，对称轴为x＝，则⇒⇒－2<a≤4. 8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 答案： (4，－1) 9．函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为______． 解析：函数定义域是(0，＋∞)，log2x∈R，f(x)＝log2·log4(4x2)＝(log2x－2)(1＋log4x2)＝(log2x－2)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝2－，所以x＝时，f(x)min＝－. 答案： － 10．函数y＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为________． 解析：由x2－2x－3>0得x<－1或x>3，即y＝log(x2－2x－3)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，则当x∈(－∞，－1)时，t＝x2－2x－3单调递减；当x∈(3，＋∞)时，t＝x2－2x－3单调递增；又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，∴y＝log(x2－2x－3)在(－∞，－1)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，即y＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)． 答案： (－∞，－1) 11．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，其中a>0且a≠1. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若a>1，解关于x的不等式f(x)>0. 解：(1)因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)的定义域(－1,1)关于原点对称， 又f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)当a>1时，由f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)>0可得loga(x＋1)>loga(1－x)， 所以x＋1>1－x>0，故0<x<1，故不等式的解集为(0,1). 12．已知f(x)＝loga(ax－2)(其中a>0且a≠1)． (1)若a＝2，f(x)<2，求实数x的取值范围； (2)若x∈[4,6]，f(x)的最大值大于1，求a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝log2(2x－2)<2， 即有log2(2x－2)<log24，所以解得1<x<3, 故实数x的取值范围是(1,3)． (2)因为a>0，则x∈[4,6]时，4a－2≤ax－2≤6a－2.当a>1时，则f(x)max＝loga(6a－2)>1，解得a>1；当0<a<1时，则f(x)max＝loga(4a－2)>1，解得<a<.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞). 13．已知a＝log32，b＝log43，c＝log54，则(　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：选A　由题意显然a，b，c均大于0，所以＝log32×log34<2＝2，又因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以有0＝log31<log38<log39＝2，所以<2<2＝1，所以a<b.同理可得＝log43×log45<2＝2，又因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以有0＝log41<log415<log416＝2，所以<2<2＝1，所以b<c，综上所述，a<b<c. 14．(2024·广东模拟) [多选] 已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则(　 ) A．当m>时，f(x)的定义域为R B．f(x)一定存在最小值 C．f(x)的图象关于直线x＝－对称 D．当m≥1时，f(x)的值域为R 解析：选AC　若m>，则Δ＝1－4m<0，则二次函数y＝x2＋x＋m的图象恒在x轴的上方，即x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确；若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；由于函数y＝ln为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f(x)＝ln＝ln(x2＋x＋m)的图象，此时对称轴为直线x＝－，故C正确；若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝2＋m－≥，故f(x)的值域不是R，故D错误. 15．函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，若关于实数t的不等式f(log3t)＋f>2f(2)恒成立，则t的取值范围是(　 ) A.∪(9，＋∞) B．∪(3，＋∞) C．(9，＋∞) D． 解析：选A　函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，又logt＝－log3t，则f(log3t)＋f(logt)>2f(2)，即为2f(log3t)>2f(2)，即f(log3t)>f(2)，即f(|log3t|)>f(2)，又因为f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log3t|>2，则log3t>2或log3t<－2，解得t>9或0<t<，所以t的取值范围是∪(9，＋∞). 16．(2024·绵阳期末) 已知函数f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)的定义域为[m，n](0<m<n)，值域为[0,1]．若n－m的最小值为，则实数a的值为(　 ) A. B． C.或 D．或 解析：选C　当a>1时，作出f(x)的大致图象如图1所示，∵f(1)＝0，f＝f(a)＝1，∴由图1可知使值域为[0,1]的满足n－m最小的定义域为， ∴n－m的最小值为1－＝，∴a＝.当0<a<1时，作出f(x)的图象如图2所示． ∵f(1)＝0，f＝f(a)＝1，∴由图2可知使值域为[0,1]的满足n－m最小的定义域为[a,1]，∴n－m的最小值为1－a＝，∴a＝.综上，选C. 易错防范 不要忘了对底数a进行分类讨论． 易错再练 已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________． 答案： 17.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝log2(2x＋1)－kx，g(x)＝f(x)＋2x. (1)求f(x)的解析式； (2)若不等式g(4x－a·2x＋1)>g(－15)恒成立，求实数a的取值范围； (3)设h(x)＝x2－2mx＋5，若存在x1∈[0,2]，对任意的x2∈[1,4]，都有g(x1)≤h(x2)，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意知log2(2－x＋1)＋kx－log2(2x＋1)＋kx＝0，即－2kx＝log2＝－x，所以k＝，故f(x)＝log2(2x＋1)－x. (2)由(1)知，g(x)＝f(x)＋2x＝log2(2x＋1)＋x，易知g(x)在R上单调递增， 所以不等式g(4x－a·2x＋1)>g(－15)恒成立，等价于4x－a·2x＋1>－15，即a<恒成立． 又＝2x＋≥8，当且仅当x＝2时，等号成立，所以a<8，即实数a的取值范围是(－∞，8)． (3)因为存在x1∈[0,2]，对任意的x2∈[1,4]，都有g(x1)≤h(x2)， 所以g(x)在[0,2]上的最小值不大于h(x)在[1,4]上的最小值． 因为g(x)＝log2(2x＋1)＋x在[0,2]上单调递增，所以当x∈[0,2]时，g(x)min＝g(0)＝1. h(x)＝x2－2mx＋5图象的对称轴方程为x＝m，x∈[1,4]，当m≤1时，h(x)在[1,4]上单调递增，h(x)min＝h(1)＝6－2m≥1，解得m≤，所以m≤1； 当1<m<4时，h(x)在[1，m)上单调递减，在[m,4]上单调递增， h(x)min＝h(m)＝5－m2≥1，解得1<m≤2； 当m≥4时，h(x)在[1,4]上单调递减，h(x)min＝h(4)＝21－8m≥1，解得m≤，所以m∈∅. 综上，实数m的取值范围是(－∞，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$