第2章 第6节 指数与对数运算(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第六节　指数与对数运算 1.通过对有理数指数幂a(a>0，m，n为正整数，且n>1)、实数指数幂ax(a>0，x∈R)含义的理解，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．理解对数的概念与运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数． 回首教材 1．根式 (1)概念 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质 ①负数没有偶次方根； ②0的任何次方根都是0，记作＝0； ③()n＝a(n∈N*，且n>1)； ④ ＝a(n为大于1的奇数)； ⑤ ＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 2．分数指数幂 (1)正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 4．对数的概念 定义 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质 loga1＝0，logaa＝1，logaax＝x，其中a>0，且a≠1；负数和0没有对数 5．对数的运算 运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： loga(MN)＝logaM＋logaN； loga＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1) 拓展教材(常见结论及应用) 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．对数恒等式 alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)． 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) |考题品悟|　 (2023·新课标Ⅰ卷)[多选]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( ACD ) A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 |追根溯源|　 (人A必修①P141T10)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2.求人听觉的声强级范围． (2)平时常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级． |发现启迪|　 高考题的情境与教材题的情境属于同类型情境，高考题是在教材题基础上的改编命制，通过噪声污染引入新定义，既有现实意义，又体现数学学科的应用价值．这启示我们：在注重情境化命题的当下，教材中的一些情境素材具有较高的研究价值，不可浅尝辄止． 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修①P109T1改编)下列运算正确的是(　 ) A.＝2－π B．a＝ C.8＝ D．(x3－)3＋＝x9 解析：选C　对于A,2－π<0，所以 ＝π－2，错误；对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－(－a)·＝－，错误；对于C，8＝88＝，正确；对于D，(x3－)3＋＝x9－2＝x7，错误． 2．(人A必修①P127T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　 ) A. B. C．2a＋b D．2b＋a 解析：选A　log1210＝＝＝. 3．(人A必修①P127T7 logambn＝logab结论的应用)计算：log89×log2732＝________. 解析：原式＝log2332×log3325＝log23×log32＝. 答案： 4．(苏教必修①P86T8改编)已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________. 解析：由a＋a－＝3，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47. 答案：7　47 B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽略对数式对真数的限制条件)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝(　 ) A．4 B．1 C．4或1 D. 解析：选A　由题意得 ∴由①得x2－5xy＋4y2＝0，∴2－＋4＝0，解得＝4或＝1(不满足②，舍去)，∴＝4. 2．(忽视指数幂的意义)若＝，则实数a的取值范围为________． 解析：由题设得 ＝＝|2a－1|，＝1－2a，所以|2a－1|＝1－2a.所以1－2a≥0，a≤. 答案： 题点一　指数幂的运算(自主练通) 1．[多选]下列运算正确的是(　 ) A.7＝m7·n(m>0，n>0) B.＝＝ C.＝(x＋y)(x>0，y>0) D.＝ 解析：选BD　7＝m7·n－7(m>0，n>0)，故A错误；＝＝，故B正确；与(x＋y)＝不同，故C错误；＝ ＝＝3＝，故D正确． 2．已知a2x＝5，则＝________. 解析：＝＝a2x＋1＋a－2x＝5＋1＋＝. 答案： 3．计算下列各式： (1)0＋2－2×－－(0.01)0.5； (2)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋； (3)－＋＋－π0； (4)(a>0，b>0)． 解：(1)原式＝1＋×－(10－2)＝1＋×－＝. (2)原式＝＋(10－1)－2＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100. (3)原式＝－＋＋(0.4)－1－1＝－＋0.5＋－1＝3. (4)原式＝－9a＋－b＋－＝－9a. [思维建模] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 题点二　对数的运算(自主练通) 1．已知a>1，化简＋－，其结果为(　 ) A. B．4 C．5 D．7 解析：选C　＋－＝＋9＝＋3＝5. 2．(2024·天津模拟)已知2a＝15，log83＝b，则2a－3b＝(　 ) A．25 B．5 C. D. 解析：选B　由题意可得2a＝15⇒a＝log215，b＝log83＝log233＝log23，所以a－3b＝log215－3×log23＝log215－log23＝log2＝log25，所以2a－3b＝2log25＝5. 3．(2024·运城模拟)已知f(x)＝lg 2·lg(10x)＋(lg x)2，则f(5)＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A　f(5)＝lg 2·lg 50＋(lg 5)2＝lg 2·(lg 5＋lg 10)＋(lg 5)2＝lg 2·lg 5＋(lg 5)2＋lg 2＝lg 5(lg 2＋lg 5)＋lg 2＝lg 5(lg 10)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选A. 4．(2024·武汉调研)已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　a2＝m，则a＝m，b3＝m，则b＝m，ab＝mm＝m，logabm＝logmm＝logmm＝，选D. 5．已知m＝2，n＝3，则eln n＋log2(mn)－log2n－的值为________． 解析：因为m＝2，n＝3，所以eln n＋log2(mn)－log2n－＝eln 3＋log26－log23－＝3＋log2－3×＝3＋1－＝. 答案： [思维建模] 对数式化简与求值的策略 策略一 将真数化为底数的指数幂的形式进行化简 策略二 将同底对数的和、差、倍合并 策略三 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用 策略四 利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1 题点三　指数与对数运算的实际应用(自主练通) 1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　 ) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 解析：选C　由题意，得L＝5＋lg V＝4.9，所以lg V＝－0.1，所以V＝10－0.1＝≈≈0.8.故选C. 2．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的十六分之一，则需再经过的时间为(　 ) A．24 min B．26 min C．30 min D．32 min 解析：选A　依题意有ae－8b＝a，即e－8b＝，两边取对数得－8b＝ln＝－ln 2，∴b＝，∴y＝ae－t，当容器中的沙子只有开始时的十六分之一，则有ae－t＝a，∴e－t＝，两边取对数得－t＝ln＝－4ln 2，∴t＝32，∴再经过的时间为32－8＝24(min)． 3．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过t min物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90 ℃的物体，若放在10 ℃的空气中冷却，经过10 min物体的温度为50 ℃，则若使物体的温度为20 ℃，需要冷却(　 ) A．17.5 min B．25.5 min C．30 min D．32.5 min 解析：选C　由题意得50＝10＋(90－10)e－10k，即e－10k＝，∴k＝ln 2，∴θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－ln 2，由20＝10＋(90－10)e－ln 2得，e－ln 2＝，即－ln 2＝ln ＝－3ln 2，解得t＝30，∴若使物体的温度为20 ℃，需要冷却30 min. 4．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：km/s)与燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v＝2 000ln.当燃料质量与火箭质量的比值为t0时，火箭的最大速度可达到v0 km/s.若要使火箭的最大速度达到2v0 km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为(　 ) A．2t B．t＋t0 C．2t0 D．t＋2t0 解析：选D　由题意得v0＝2 000ln(1＋t0)，∴2v0＝4 000ln(1＋t0)＝2 000ln(1＋t0)2＝2 000ln(1＋t＋2t0)，∴＝t＋2t0，即当火箭的最大速度达到2v0 km/s时，燃料质量与火箭质量的比值为t＋2t0. [课时跟踪检测] 1．设a＝log94，则3a的值是(　 ) A．1 B．2 C．4 D．9 解析：选B　由a＝log94，则9a＝4,32a＝4,3a＝2. 2．设9－log3＝3，则8a＝(　 ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C　因为9－log3＝3－2log3＝3log3()－2＝()－2＝－2＝a－1＝＝3，所以a＝，故8a＝8＝(23)＝2. 3．9－(－10)0＋·(log 2)的值等于(　 ) A．－2 B．0 C．8 D．10 解析：选A　9－(－10)0＋·(log 2)＝3－1＋(－2)×2＝－2. 4．点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：m)的关系式为ΔL＝10lg(单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从10 m变化到40 m时，衰减量的增加值约为(　 ) A．9 dB B．12 dB C．15 dB D．18 dB 解析：选B　当r＝10时，ΔL1＝10lg 25π，当r＝40时，ΔL2＝10lg 400π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 400π－10lg 25π＝40lg 2＝40(lg 10－lg 5)≈40×(1－0.7)＝12. 5．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m等于(　 ) A．16 B．10 C．2 D．81 解析：选A　由a>0，b>0，a2＝b4，得a＝b2，而a＋b＝6，则有b2＋b＝6，解得b＝2，所以m＝b4＝24＝16. 6．(2024·咸阳模拟)著名的本福特定律：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数，也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”．意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d＝1,2,3，…，9)的概率为lg.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　 ) A．2.9 B．3.8 C．4.5 D．6.5 解析：选D　根据题意，首位数字是1的概率P1＝lg(1＋1)＝lg 2，首位数字是9的概率P2＝lg＝lg＝1－2lg 3，故＝≈＝≈6.5.故选D. 7．已知3x＝2y＝6，则的值为(　 ) A. B. C．1 D．2 解析：选C　因为3x＝2y＝6，所以x＝log36，y＝log26，所以＝log63，＝log62，＝2＝(log66)2＝1，故选C. 8．某款电子产品的售价y(万元/件)与上市时间x(单位：月)满足函数关系y＝10ax＋b(a，b为常数，且b∈N*)，若上市第2个月的售价为2.8万元，第4个月的售价为2.64万元，那么在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为(参考数据：≈1.732，≈2.236，lg 2≈0.301)(　 ) A．3.016万元 B．2.894万元 C．3.048万元 D．2.948万元 解析：选B　由题得102a＋b＝2.8，104a＋b＝2.64，得104a－102a＋0.16＝0，解得102a＝0.2或102a＝0.8，当102a＝0.2时，b＝2.6，不合题意，舍去，当102a＝0.8时，b＝2，则10a＝，所以y＝()x＋2，当x＝1时，y＝＋2＝2＋≈2.894，所以在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为2.894万元． 9．(2024·晋城模拟)已知0<m<1,0<n<1，且2log4m＝log2(1－n)，则＋的最小值是(　 ) A．18 B．16 C．10 D．4 解析：选B　因为0<m<1,0<n<1，且2log4m＝log2(1－n)，所以log2m＝log2(1－n)，所以m＋n＝1，所以＋＝·(m＋n)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立，所以＋的最小值是16. 10．[多选]地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M＝lg(其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E(单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E＝104.8×101.5M，其中M为地震震级．下列说法正确的是(　 ) A．若地震震级M增加2级，则最大振幅Amax增加到原来的20倍 B．若地震震级M增加2级，则放出的能量E增加到原来的1 000倍 C．若最大振幅Amax增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的1 000倍 D．若最大振幅Amax增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的100倍 解析：选BC　因为M′＝M＋2＝2＋lg＝lg，所以A′max＝100Amax，所以A错误；因为E′＝104.8×101.5M′＝104.8×101.5(M＋2)＝104.8×101.5M＋3＝1 000E，所以B正确；因为M″＝lg＝M＋2，所以E″＝104.8×101.5M″＝104.8×101.5(M＋2)＝104.8×101.5M＋3＝1 000E，所以C正确，D错误． 11．(2024·陕西联考)已知a＝log0.35，b＝log25，则(　 ) A．2a＋b－ab<0 B．b－2a－ab<0 C．a＋3b＋ab>0 D．a－2b>2a＋b 解析：选C　由题意可得＝log50.3<0，＝log52>0，则ab<0，且＋＝＝log50.3＋log54＝log51.2∈(0,1)，即0<<1.因为ab<0，所以2a＋b>ab，则A错误．因为b－2a－(2a＋b)＝－4a>0，所以b－2a>2a＋b>ab，即b－2a－ab>0，则B错误.＋＝＝3log50.3＋log52＝log50.054<－1.因为ab<0，所以a＋3b>－ab，即a＋3b＋ab>0，则C正确．因为a＋3b>－ab>0，所以2a＋b－(a－2b)>0，即2a＋b>a－2b，则D错误． 12．(2024·永州统考)[多选]对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)的形式，两边取常用对数，则有lg N＝n＋lg a，现给出部分常用对数值(如下表)，下列结论正确的是(　 ) 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lg x (近似值) 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 lg x (近似值) 1.041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279 A.510在区间(106,107)内 B．350是15位数 C．若7－50＝a×10m，则m＝－43 D．若m30(m∈N*)是一个35位正整数，则m＝14 解析：选ACD　因为lg 510＝10lg 5≈6.99，lg 106＝6lg 10＝6<6.99，lg 107＝7lg 10＝7>6.99，所以510∈(106,107)，故A正确；因为lg 350＝50lg 3≈23.85,350≈1023.85，所以350是24位数，故B错误；因为lg 7－50＝－50lg 7≈－42.25，所以7－50≈10－42.25，又7－50＝a×10m，则m＝－43，故C正确；lg m30＝30lg m，因为m30(m∈N*)是一个35位正整数，所以34≤30lg m<35，即≤lg m<，即1.133 3≤lg m<1.166 7，则m＝14，故D正确． 13．计算：loga2＋loga0.5－log225×log34×log59＝___________. 解析：loga2＋loga0.5－log225×log34×log59＝loga(2×0.5)－log252×log322×log532＝loga1－8log25×log32×log53＝－8×××＝－8. 答案：－8 14．已知a>0，将化为分数指数幂的形式为________． 解析：＝＝＝a－＝a. 答案：a 15．若3a－loga＝8,3b＋1＋b＝8，则(2b－log a)2 023＝________. 解析：依题意，3b＋1＋b＝3·3b＋log33b＝8.而3a－loga＝8，则3a＋log3a＝8.因为函数y＝3x＋log3x在定义域内单调递增，故a＝3b，即＝1，则log ＝log 3b－log a＝2b－log a＝0，故(2b－log a)2 023＝0. 答案：0 16．已知实数x，y，z满足2x＝6－3y＋1，以及2x＋3y＋1－2x＋1×3y＋2z2＝0，则3＝________. 解析：将2x＝6－3y＋1代入2x＋3y＋1－2x＋1×3y＋2z2＝0，得(6－3y＋1)＋3y＋1－2×(6－3y＋1)×3y＋2z2＝6－12×3y＋6×(3y)2＋2z2＝6[(3y)2－2×3y＋1]＋2z2＝6(3y－1)2＋2z2＝0，故3y－1＝0，z＝0，∴y＝0，z＝0，代入2x＝6－3y＋1＝6－31＝3，∴x＝log23,3＝3＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$