第2章 第4节 函数性质的综合应用(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第四节　函数性质的综合应用 题点一　函数的单调性与奇偶性 例1　(2024·陕西一模)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为(　 ) A．(－∞，0)∪[1，＋∞) 　 B．(－1,0)∪(0,1) C．(－∞，0)∪(1，＋∞) 　 D．(－1,0]∪[0,1) 解析：选B　因为函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以函数在(－∞，0)上也单调递增．又因为f(1)＝0，所以f(－1)＝0. 不等式xf(x)<0等价于或 所以－1<x<0或0<x<1，故选B. 规律结论：(1)若奇函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)在[－b，－a]上也具有单调性，且单调性相同； (2)若偶函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)在[－b，－a]上也具有单调性，且单调性相反． 例2　设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1>0且x1＋x2<0，则(　 ) A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)<f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小关系不确定 解析：选A　由x1>0，x1＋x2<0，得0<x1<－x2，又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x1)>f(－x2)，f(x)是偶函数，f(－x2)＝f(x2)，∴f(x1)>f(x2)． [思维建模] 奇偶性与单调性综合的2种题型及解法 (1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． (2)抽象不等式问题，解题步骤是： ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． [针对训练] 1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，则(　 ) A．f(f(2))>f(f(3)) B．f(g(2))<f(g(3)) C．g(g(2))>g(g(3)) D．g(f(2))<g(f(3)) 解析：选D　因为f(x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，f(x)在(－∞，0]上单调递增，对于A，f(2)>f(3)，但无法判断f(2)，f(3)的正负，故A不正确；对于B，g(2)>g(3)，但无法判断g(2)，g(3)的正负，故B不正确；对于C，g(2)>g(3)，g(x)在R上单调递减，所以g(g(2))<g(g(3))，故C不正确；对于D，f(2)>f(3)，g(x)在R上单调递减，g(f(2))<g(f(3))，故D正确． 2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________． 解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜. 答案： 题点二　函数的周期性与奇偶性、对称性 例3　(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：选D　由f(x＋1)是奇函数，知函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(1)＝a＋b＝0，f(0)＝－f(2)．由f(x＋2)是偶函数，知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(3)＝f(1)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．由f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝6，解得a＝－2，所以b＝2，f(x)＝－2x2＋2，故f＝f＝－f＝－＝. 规律结论：函数双对称出周期结论 (1)若函数y＝f(x)的两条对称轴方程分别为x＝a，x＝b，则函数的一个周期为T＝2|a－b|； (2)若函数y＝f(x)的两个对称中心分别为(a,0)，(b,0)，则函数的一个周期为T＝2|a－b|； (3)若函数y＝f(x)的一条对称轴方程为x＝a，一个对称中心为(b,0)，则函数的一个周期为T＝4|a－b|. 例4　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝(　 ) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 快审准解：根据对称性和已知条件得到g(x)是周期为4的函数，从而可得f(x)＝g(x)－7，然后根据条件得到f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值即可求解． 解析：选D　由f(x)＋g(2－x)＝5得f(x)＝5－g(2－x)①.由g(x)－f(x－4)＝7得f(x－4)＝g(x)－7，所以f(x)＝g(x＋4)－7②.由①②得5－g(2－x)＝g(x＋4)－7，即g(x＋4)＋g(2－x)＝12，所以y＝g(x)的图象关于点(3,6)对称，g(3)＝6，又y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以函数g(x)是周期为4的函数，且g(1)＝g(3)＝6，f(x)＝g(x)－7.因为g(4)＋g(2)＝12，所以g(4)＝12－g(2)＝12－4＝8，所以f(1)＝g(1)－7＝－1，f(2)＝g(2)－7＝－3，f(3)＝g(3)－7＝－1，f(4)＝g(4)－7＝1，所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(22)＝5×(－4)＋(－1)＋(－3)＝－24.故选D. [思维建模] 已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解． [针对训练] 3．设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2,3]时，f(x)＝x，则x∈[－2,0]时，f(x)的解析式为f(x)＝(　 ) A．x＋4 B．2－x C．3－|x＋1| D．2－|x＋1| 解析：选C　∵f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2,3]时，f(x)＝x，∴x∈[－2，－1]时，2＋x∈[0,1]，4＋x∈[2,3]，此时f(x)＝f(4＋x)＝4＋x，x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]，此时f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x，综上可得，x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1|. 4．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　 ) A．－50 B．0 C．2 D．50 解析：选C　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 题点三　函数性质的综合应用 例5　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数．若f(x)在(0,3)上单调递减，则下列结论正确的是(　 ) A．f(10)<f(e)<f(ln 2) B．f(e)<f(ln 2)<f(10) C．f(ln 2)<f(10)<f(e) D．f(ln 2)<f(e)<f(10) 解析：选A　∵f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6. 又∵y＝f(x＋3)为偶函数， ∴f(x＋3)＝f(－x＋3)，∴f(10)＝f(4＋6)＝f(4)＝f(1＋3)＝f(－1＋3)＝f(2)． ∵1<e<2,0<ln 2<1，∴0<ln 2<1<e<2. 又∵f(x)在(0,3)上单调递减， ∴f(2)<f(e)<f(ln 2)． 即f(10)<f(e)<f(ln 2)，故选A. [思维建模] 对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． [针对训练] 5．[多选]已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　 ) A．f(x)为偶函数 B．f(x)在[－6，－3]上单调递减 C．f(x)关于x＝3对称 D．f(100)＝9 解析：选ACD　f(x)的图象关于x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x＝－3对称且T＝6，∴f(x)关于x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确． 6．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则f(－25)，f(0)，f(11)的大小关系为____________________． 快审准解：推导出函数f(x)为周期函数，确定该函数的周期，计算可得f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(1)，然后分析函数f(x)在区间[－2,2]上的单调性，即可得出f(－25)，f(0)，f(11)的大小关系． 解析：因为定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为8的周期函数．所以f(－25)＝f(－25＋24)＝f(－1)，f(11)＝f(11－8)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，因为函数f(x)在[0,2]上单调递增，则该函数在[－2,0]上单调递增，故函数f(x)在[－2,2]上单调递增，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(0)<f(11)． 答案：f(－25)<f(0)<f(11) [课时跟踪检测] 1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　 ) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：选D　∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D. 2．已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称．当x>0时，f(x)＝，则f(－2)＝(　 ) A．1 B．3 C．－1 D．－3 解析：选C　因为将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后，得到函数y＝f(x)的图象且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称，所以y＝f(x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1. 3．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为(　 ) A.∪(6，＋∞) B．(－∞，－1)∪ C. D. 解析：选D　∵函数f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(2－x)＝f(2＋x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又∵函数f(x)的定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减， ∴函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增， ∴由f(x－1)>f(2x)得，|(x－1)－2|>|2x－2|，解得x∈. 4．(2024·深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，且f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则f(1)，f(2)与f(4)的大小关系是(　 ) A．f(4)<f(1)<f(2) B．f(2)<f(1)<f(4) C．f(1)<f(2)<f(4) D．f(4)<f(2)<f(1) 解析：选A　因为对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(3－2)＝f[1－(－2)]＝f(3)，又因为f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且2<3<4，所以f(4)<f(3)<f(2)，即f(4)<f(1)<f(2)． 5．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b 解析：选C　当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex单调递增，∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)，又π＞3＞log23＞1＞2－0.2＞0，∴f(－π)＞f(log23)＞f(2－0.2)，∴a＞b＞c. 6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x－1，则使不等式f(log3x)－3<0成立的x的取值范围是(　 ) A．(－∞，9) B．(0,9) C．(9，＋∞) D. 解析：选B　当x>0时，f(x)＝2x－1单调递增且f(x)>0，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0满足f(x)＝2x－1.又函数f(x)在R上是连续函数，所以函数f(x)在R上是增函数，且f(2)＝3，进而原不等式化为f(log3x)<f(2)，结合f(x)的单调性可得log3x<2，所以0<x<9，即原不等式的解集为(0,9)． 特别提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1)． 7．(2024·蚌埠一模)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，若f(0)＝3，则f(2 022)＋f(2 023)＝(　 ) A．0 B．－3 C．3 D．6 解析：选B　根据题意，函数f(x) 满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，则f(－x)＋f(2＋x)＝0.又由f(x)为偶函数，则有f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，在f(1－x)＋f(1＋x)＝0中，令x＝0，可得f(1)＝0，f(2 022)＝f(2)＝－f(0)＝－3，f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝0，所以f(2 022)＋f(2 023)＝－3，故选B. 8．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　 ) A．[－1,1]∪[3，＋∞) 　 B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) 　 D．[－1,0]∪[1,3] 解析：选D　法一　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称．又∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x－1)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上也单调递减，且过(－1，0)和(3,0)，f(x－1)的大致图象如图，当－1≤x≤0时，f(x－1)≤0，∴xf(x－1)≥0；当1≤x≤3时，f(x－1)≥0，∴xf(x－1)≥0(难点：确定分类讨论的边界值)．综上，满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]，故选D. 法二　当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，不符合题意，排除A、C.故选D. 9．(2024·山西联考模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，且y＝f(2x＋2)为奇函数．当x∈(0,1]时，f(x)＝，则f(2 023)＝(　 ) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析：选B　因为函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，所以f(x)关于x＝1对称，即f(2－x)＝f(x)　①. 又因为y＝f(2x＋2)为奇函数，所以f(－2x＋2)＝－f(2x＋2)， 即f(－x＋2)＝－f(x＋2)　②. 由①②知f(x)＝－f(x＋2)， 所以f(x＋2)＝－f(x＋4)＝－f(x)， 即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4. (突破点：当所求函数值自变量非常大时，就要想到利用周期性求解) 所以f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)，令x＝1，则由②，得f(1)＝－f(3)＝1， 所以f(2 023)＝f(3)＝－1. 10．(2024·咸阳模拟)[多选]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正确的是(　 ) A．f(0)是函数的最小值 B．f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．f(x)在[2,4]上单调递增 D．f(x)的图象关于直线x＝2对称 解析：选ABD　∵f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．又∵f(x)在[－2,0]上单调递减，且在R上是偶函数，∴f(x)在[0,2]上单调递增，故f(0)是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，结合周期性可得f(0)是函数的最小值，A正确；∵f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋2)＋f(－x)＝0，∴f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，B正确；∵f(x)在[－2,0]上单调递减，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)在[2,4]上单调递减，C错误；∵f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，D正确． 11．[多选]已知函数f(x－2)是定义在R的偶函数，且对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，总有>0，则(　 ) A．f(－6)<f(0) B．f(0)<f(－3) C．f(0)<f(－6) D．f(－3)<f(0) 解析：选CD　因为对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，>0，不妨设0≤x1<x2，因为>0，所以f(x1－2)－f(x2－2)<0，f(x1－2)<f(x2－2)，所以f(x－2)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递增．因为f(x－2)是偶函数，所以f(x－2)的图象关于y轴对称，故f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(－6)＝f(2)，f(－3)＝f(－1)，则f(－3)<f(0)<f(－6)，故选CD. 12．[多选]设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是奇函数，f(x)是偶函数，则下列说法正确的是(　 ) A．f(1)＝0 B．函数f(x)是以2为周期的周期函数 C．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 D．函数f(x－1)为奇函数 解析：选ACD 选项 分析过程 正误 A f(x＋1)是奇函数→f(－x＋1)＝－f(x＋1)→f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0→f(x)关于点(1,0)对称→f(1)＝0 √ B f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0→f(2＋x)＋f(－x)＝0→f(x)是偶函数→f(－x)＝f(x)→f(2＋x)＋f(x)＝0→f(x＋2)＝－f(x)→f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)→f(x)是以4为周期的周期函数 × C f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)→f(x＋2)＝f(2－x)→y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 √ D 令F(x)＝f(x－1)→F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)→f(x＋1)是奇函数，f(x)是偶函数，f(x＋1)＝－f(1－x)＝－f(x－1)→F(－x)＝－F(x) 其他解法：可结合函数图象的平移变换求解：f(x＋1)的图象关于(0,0)对称→f(x－1)的图象关于(2,0)对称→f(x)的图象关于直线x＝0对称→f(x－1)的图象关于直线x＝1对称→f(x－1)的图象关于(0,0)对称 √ 13．已知偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x－1)的单调递增区间是________． 解析：因为偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x＋1)在区间(－∞，0]上单调递增．又因为f(x－1)＝f((x－2)＋1)，则函数f(x－1)的图象是由函数f(x＋1)的图象向右平移2个单位长度得到，所以函数f(x－1)的单调递增区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2] 14．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－6)＝0，则f(2 022)＝______. 解析：由函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2 022)＝f(6＋252×8)＝f(6)＝f(－6)＝0. 答案：0 15．(2024·大连模拟)已知函数f(x)为定义在R上的函数，对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)成立，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，若f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0的解集为________． 解析：由题意，因为函数f(x)对任意的x∈R均有f(x＋2)＝f(2－x)，所以可得函数f(x)的图象关于x＝2对称，又由f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，2)上单调递增，因为f(－1)＝0，可得f(5)＝f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0，可得－1≤x－1≤5，解得0≤x≤6，所以不等式f(x－1)≥0的解集为[0,6]． 答案：[0,6] 16．(2023·青岛三模)设f(x)为定义在整数集上的函数，f(1)＝1，f(2)＝0，f(－1)<0，对任意的整数x，y均有f(x＋y)＝f(x)f(1－y)＋f(1－x)f(y)．则f(55)＝________. 解析：令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)f(0)＋f(0)f(1)＝2f(0)＝0，∴f(0)＝0；令x＝2，y＝－1，则f(1)＝f2(2)＋f2(－1)＝f2(－1)＝1，又f(－1)<0，∴f(－1)＝－1；令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)f(0)＋f(1－x)f(1)＝f(1－x)，f(x)关于直线x＝1对称；令y＝－x，则f(0)＝f(x)f(1＋x)＋f(1－x)f(－x)＝[f(x)＋f(－x)]f(1＋x)＝0，∵f(1＋x)＝0不恒成立，∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立，∴f(x)为奇函数，∵f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(55)＝f(4×14－1)＝f(－1)＝－1. 答案：－1 17．(2024·南通模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(2＋x)＝f(－x)，f(－2)＝－f(4)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则xf(x－1)>0的解集为(　 ) A．(－2,0)∪(4，＋∞) B．(－∞，－1)∪(5，＋∞) C．(－∞，－2)∪(4，＋∞) D．(－1,0)∪(5，＋∞) 解析：选D　函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，则f(x)关于直线x＝1对称，所以f(－2)＝f(4)＝－f(4)，即f(－2)＝f(4)＝0，又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，则可得函数f(x)的大致图象，如图， 所以由不等式xf(x－1)>0可得， 或解得－1<x<0或x>5，故不等式xf(x－1)>0的解集为(－1,0)∪(5，＋∞)．故选D. 18．(2024·厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，f(x＋1)f(y＋1)＝f(x＋y)－f(x－y)，若f(0)≠0，则f(2 024)＝(　 ) A．－2 B．－4 C．2 D．4 解析：选A　令x＝y＝0，得f(1)f(1)＝f(0)－f(0)＝0，即f(1)＝0.令x＝0，得f(1)f(y＋1)＝f(y)－f(－y)＝0，得f(－y)＝f(y)，∴函数f(x)为偶函数，令x＝y＝1，得f2(2)＝f(2)－f(0)，令x＝y＝－1，得f2(0)＝f(－2)－f(0)＝f(2)－f(0)，∴f2(2)＝f2(0)，∴f(2)＝f(0)或f(2)＝－f(0)，若f(2)＝f(0)，解得f(0)＝0与已知f(0)≠0矛盾，∴f(2)＝－f(0)，即f2(2)＝2f(2)，解得f(2)＝2，f(0)＝－2.令y＝1，得f(x＋1)f(2)＝f(x＋1)－f(x－1)，∴2f(x＋1)＝f(x＋1)－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4.∴f(2 024)＝f(0)＝－2. 19．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＝2－f(x)，f(2－3x)为偶函数，若f(0)＝0，(k)＝123，则n的值为________． 解析：由 解得f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)＝0，从而f(2)＝2－f(0)＝2.因为f(2－3x)为偶函数， 所以f(2－3x)＝f(3x＋2)⇒f(2－x)＝f(2＋x)．当x＝1时有f(1)＝f(3)， 又因为f(1)＋f(3)＝2，所以f(1)＝f(3)＝1. 所以(k)＝30[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝120. 所以(k)＋f(121)＋f(122)＝(k)＋f(1)＋f(2)＝123，即(k)＝123. 答案：122 20．已知函数f(x)＝ln＋x，若f(2x－1)＋f(2－x)>0，则x的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)＝ln(＋x)＋x，定义域为R，且f(－x)＝ln(－x)－x，则f(－x)＋f(x)＝ln(－x)－x＋ln(＋x)＋x＝ln＝ln(x2＋1－x2)＝ln 1＝0，即f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．当x>0时，y＝＋x，y＝ln x，y＝x均单调递增，所以f(x)＝ln(＋x)＋x在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)是奇函数且在R上单调递增．由f(2x－1)＋f(2－x)>0，可得f(2x－1)>f(x－2)，则2x－1>x－2，解得x>－1，即x的取值范围为(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$